专题 16 函数性质、方程、不等式等相结合问题 1．【2020 年高考全国Ⅱ卷文数 10】设函数 f  x   x3  1 x 3 ，则 f  x  （ ） A．是奇函数，且在  0 ,  � 单调递增 B．是奇函数，且在  0 ,  � 单调递减 C．是偶函数，且在  0 ,  � 单调递增 D．是偶函数，且在  0 ,  � 单调递减 【答案】A 【思路导引】根据函数的解析式可知函数的定义域为  x x �0 ，利用定义可得出函数 f  x  为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出． 【解析】∵函数 ∴函数 f  x f  x   x3  1 x 3 定义域为  x x �0 ，其关于原点对称，而 f   x    f  x  ， 为奇函数． 1 y  3  x 3 0, + � � , 0 ) 上单调递增，而 x 又∵函数 y  x 在 ( 在 ( 0, +�) 上单调递减，在 ) 上单调递增，在 ( 3 1 f  x   x3  3 � , 0 ) 上单调递减，∴函数 ( x 在 ( 0, +�) 上单调递增，在 ( - �, 0) 上单调递增．故选 A． 2．【2020 年高考全国Ⅱ卷文数 12 理数 11】若 A． ln  y  x  1  0 B． ln( y  x  1)  0 2 x−2 y <3−x−3− y C． ln|x−y|>0 ，则 （ ） D． ln|x−y|<0 【答案】A x x y y 【思路导引】将不等式变为 2  3  2  3 ，根据 f  t   2t  3t 的单调性知 x  y ，以此去判断各个选项 中真数与 1 的大小关系，进而得到结果． 1 / 14 x 【解析】由 2  2  3 x y t t  3 y 得： 2 x  3 x  2 y  3 y ，令 f  t   2  3 ， Q y  2 x 为 R 上的增函数， y  3 x 为 R 上的减函数， f  t  为 R 上的增函数， x  y ， Q y  x  0 ， y  x  1  1 ， ln  y  x  1  0 ，则 A 正确，B 错误； Q x  y 与 1 的大小不确定，故 CD 无法确定，故选 A． 3．【2020 年高考全国Ⅱ卷理数 9】设函数 f  x   ln 2 x  1  ln 2 x  1 ，则 f  x �1 � ,  �� � A．是偶函数，且在 �2 �单调递增 �1 1�  , � B．是奇函数，且在 � � 2 2 �单调递减 1� � �,  � � C．是偶函数，且在 � 2 �单调递增 1� � �,  � � D．是奇函数，且在 � 2 �单调递减 （ ） 【答案】D �1 1� x ��  , � 【思路导引】根据奇偶性的定义可判断出 f  x  为奇函数，排除 AC；当 � 2 2 �时，利用函数单调性的 1� � x �� �,  � 性质可判断出 f  x  单调递增，排除 B；当 2 �时，利用复合函数单调性可判断出 f  x  单调递减， � 从而得到结果． 1� � x x �� � � 【解析】由 f  x   ln 2 x  1  ln 2 x  1 得 f  x  定义域为 � 2 ，关于坐标原点对称， 又 f   x   ln 1  2 x  ln 2 x  1  ln 2 x  1  ln 2 x  1   f  x  ，  f  x 为定义域上的奇函数，可排除 AC； � 1 1� x ��  , � 当 � 2 2 �时， f  x   ln  2 x  1  ln  1  2 x  ， �1 1� �1 1�  , �  , � � Q y  ln  2 x  1 在 � 2 2 �上单调递增， y  ln  1  2 x  在 � � 2 2 �上单调递减， 2 / 14 � 1 1�  , �  f  x 在 � � 2 2 �上单调递增，排除 B； 1� 2x  1 2 � � � x �� �,  � f  x   ln  2 x  1  ln  1  2 x   ln  ln � 1 � 当 ， 2 �时， 2x 1 � � 2x 1 � Q   1 1� � 2 �,  � � 在 2 �上单调递减， f     ln  在定义域内单调递增， 2x 1 � 1� � �,  � � 根据复合函数单调性可知： f  x  在 � 2 �上单调递减，D 正确．故选 D． 4．【2020 年高考山东卷 6】基本再生数 R0 与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感 染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数 模型： I (t )  e rt R0  1  rT 描述累计感染病例数 I (t ) ．有学者基于已有数据估计出 R t 随时间 （单位：天）的变化规律，指数增长率 r 与 0 ， T 近似满足 R0  3.28 ， T 6 ．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例 数增加 1 倍需要的时间约为（ ln 2 �0.69 ） A． 1.2 天 B． 1.8 天 C． 2.5 天 （ ） D． 3.5 天 【答案】B 【思路导引】根据题意可得 t 时间为 1 天，根据 e 0.38( t  t1 ) I  t   e rt  e0.38t ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的  2e 0.38t ，解得 t1 即可得结果． r 【解析】因为 R0  3.28 ， T  6 ， R0  1  rT ，所以 3.28  1 rt 0.38t  0.38 ，所以 I  t   e  e ， 6 t 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 1 天，则 e 3 / 14 0.38( t  t1 )  2e 0.38t ，所以 e 0.38t1  2 ，所以 0.38t1  ln 2 ，所以 t1  ln 2 0.69 � �1.8 天，故选 B． 0.38 0.38 【专家解读】本题的特点是注重知识的应用，本题考查了指数型函数模型的应用，考查指数式与对数式互化， 考查函数与方程思想，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是正确进行指数式与对数式的互化． 5．【2020 年高考山东海南卷 8】若定义在 xf ( x  1) �0 R 上的奇函数 f ( x) 在 (�,0) 单调递减，且 f (2)  0 ，则满足 x 的 的取值范围是 A．  1 , 1 U  3 ,  � （ ） B．  3 ,  1 U  0 , 1 C．  1 , 0 U  1 ,  � D．  1 , 0 U  1 , 3 【答案】D 【思路导引】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 f ( x) 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于 等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果． 【解析】因为定义在 所以 f ( x) 所以当 在 (0, �) R 上的奇函数 f ( x) 在 (�, 0) 上单调递减，且 f (2)  0 ， 上也是单调递减，且 x �(�, 2) �(0,2) 时， f ( 2)  0 f ( x)  0 ，当 ， f (0)  0 ， x �( 2, 0) U (2, �) �x  0 �x  0 � � 时， f ( x)  0 ， � 所以由 xf ( x  1) �0 可得： � 2 �x  1 �0或x  1 �2 或 0 �x  1 �2或x  1 �2 或 解得 1 �x �0 或 1 �x �3 ，所以满足 xf ( x  1) �0 的 x 的取值范围是 一、考向分析： 4 / 14 x0，  1 , 0 U 1 , 3 ，故选 D． 函数性质 单调性 奇偶性 周期性 对称性 最值 二、考向讲解 考查内容 解 题 技 巧 1、用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略 (1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化 为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 单调性 (2)有时，在不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式．如若已知 f(a)＝0，f(x－ b)<0，则 f(x－b)<f(a)．　 2、函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 （1）比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数 的单调性解决． （2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱 掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 3、利用单调性求参数的值或取值范围． (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区 间比较求参数． (2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的． (3)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 1、利用奇偶性求值的类型及方法 (1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解． (2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足 f(－x)＝－f(x)或偶函 奇偶性 数满足 f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能 够确定奇函数的定义域中包含 0，可以根据 f(0)＝0 列式求解，若不能确定则不可用此法． 2、判断函数的奇偶性要注意两点 （1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提． （2）判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇 偶性的等价等量关