专题 03 三次函数型 [高考真题] （2020·浙江·9）已知 a，b �R 且 ab≠0，若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0 在 x≥0 上恒成立，则（ A. a<0 B. a>0 C. b<0 ） D. b>0 【答案】C 【分析】本题的实质是考察三次函数的图象，设 f ( x )  ( x  a )( x  b)( x  2a  b) a 足题意，从形上看则必须在 x≥0 时有两个重合的零点才可以，对 分 a0 与 a0 ，欲满 两种情 况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案. 【解析】因为 f ( x) 的零点为 ab �0 ，所以 a �0 且 b≠ 0 ，设 f ( x )  ( x  a )( x  b )( x  2a  b) ，则 x1  a, x2  b, x3  2a  b 当 a  0 时，则 x2  x3 ， x1 > 0 ，要使 f ( x) �0 ，必有 2a  b  a ，且 b  0 ，即 b  a ， f ( x) �0 ，必有 b  0 . 且 b  0 ，所以 b  0 ； 当 a  0 时，则 x2  x3 ， x1  0 ，要使 综上一定有 b  0 . 故选：C 点评：①本题使用了作三次函数示意图的方法——序轴标根法，它是高次不等式的常用解 法. “序轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”， 所谓序轴就是省去原点和单位，只表 示数的大小的数轴.序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小.为了形 象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过 最后一个点后就不再变方向（自右往左，蛇形穿根，奇（次幂）过偶（次幂）不过），这 种画法俗称“穿针引线法”.用数轴标根法解不等式的步骤：移项、求根、标根、画线、选解. ② 本题要求学生功底扎实,思维层次要高, 尤其对于处理函数、不等式等题型数形结合思想 数轴标根法的优势就体现出来,所谓胸有蓝“图”，一路坦途. [强化训练] 1.若函数 f ( x)  2 x3  ax 2  1( a �R) 最大值与最小值的和为 在 (0, �) 内有且只有一个零点，则 f ( x) 在 [1,1] 上的 ． 【答案】 3 【解析】因为 f (0)  1 ,且由 1 1 f� ( x)  6 x 2  2ax =6x ( x  a )  0 x a x  0 3 3 得: 或 所以函数 f ( x ) 的图象是增-减-增型，且在 x  0 或 1 x a 3 处取得极值 a a � a f ( )  2� ( )3  a � ( )2  1  0 � � 3 3 3 � a 内有且只有一个零点，当且仅当 � 欲使函数在 0 �3 (0, �) 解之得 a  3 . 当 故 x � 1,0 时， f ( x) 增； x � 0,1 时， f ( x) 减， f ( x )max  f (0)  1 ， f ( x )min  min  f (1), f (1)  4 ， 所以 f ( x) 在 [1,1] 上的最大值与最小值的和为 3 ． f� ( x )  ax ( x  2)( x  a) (a �0) f ( x) 2.已知函数 的导函数为 a 极小值，则实数 的取值范围是 【答案】 3.若函数 f ( x) ，若函数 在 x  2 处取到 ．  �, 2  � 0, � f ( x)  x2 x  a 在区间 [0, 2] 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 ． 【答案】 ( �, 0] U[3, �) 2 �x ( x  a ), x �a f ( x)  x x  a  � 2  x ( x  a ), x  a � 2 【解析】 . 函数 f ( x ) 的一个极值点是 x  0 ，所以以 0 为界与 a 比较，进行分类讨论. � ① 当 a  0 时，如图一，由 f ( x)  3 x  2 ax  0 得， x  0 或 2 f ( x)  x 2 x  a 在区间 [0, 2] 上单调递增，只需 ② 当 a �0 时，如图二， f ( x)  x 2 x  a x x 2a 3 ，欲使函数 2a �2 3 ，即 a �3 . 在区间 [0, 2] 上单调递增，满足题意. 综上知，实数 a 的取值范围是 ( �, 0] U[3, �) ． y y a O O a x x （图二 ) （图一） 4.若函数 f ( x)  ( x  2) 2 x  a 在区间 [2, 4] 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 ． 【答案】 ( �, 2] U[5, �) 5.设函数 f ( x)  ax  3 x  1( x �R ) ，若对于任意的 3 则实数 a 的值为 x∈ [ −1,1 ] ． 【答案】4 【解析】若 x  0 ，则不论 a 取何值， f  x  �0 显然成立； 都有 f (x )≥0 成立， 3 1 a� 2  3 x x 当 x  0 即 x �(0,1] 时， f ( x)  ax  3x  1 �0 可化为， 3 设 g  x  3  1  2x  � 1� 3 1 0, �  3 g '  x  � 2 4 g  x x x ，则 x ， 所以 在区间 � 2 � 上单调递增，在区 1 � � �1 � ,1� g  x  max  g � � 4 � 2 �上单调递减，因此 �2 � ，从而 a �4 ； 间� 当x0 即 g '  x  g  x x � 1, 0  3 1 a� 2  3 x x ， 时， f ( x)  ax  3 x  1 �0 可化为 3 3  1  2x  0 x4 在区间  1, 0  上单调递增，因此 g  x  ma n  g  1  4 ，从而 a �4 ，综上 a  4 . 6.已知 a �R, 函数 f ( x)  x 2 x  a ，求函数 y＝f (x)在区间[1,2]上的最小值. 【分析】对 a 进行讨论,结合函数的一阶导数值判断函数在区间上的单调性,进而求出函数 的最小值. 【解析】设此最小值为 m. ①当 3 2 a≤1时， 在区间[ 1， 2]上 ，f ( x)=x −ax . 因为: 2 ¿ f ( x )=3 x 2−2 ax=3 x ( x− a )>0, x ∈(1,2), 3 则 f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以 m=f(1)=1-a.. ② 当 1<a 2 ¿2时，在区间[ 1，2]上 ，f ( x)=x |x−a|≥0, 由f ( a)=0知: m=f ( a)=0 ③ 当 a>2 时，在区间[1，2]上， 2 3 f (x )=ax −x . 2 ¿ f ( x )=2 ax−3 x 2 =3 x( a−x ). 3 . 若 a≥3, 在区间(1，2)内 f/(x)>0,从而 f(x)为区间[1，2]上的增函数， 由此得：m=f(1)=a-1. 若 2<a<3,则 2 1< a<2 3 当 2 2 ¿ 1<x< a时 , f ( x)>0, 从而 f ( x )为区间[1 ， ]上的增函数 ； 3 3 当 2 2 ¿ <x <2 时， 从而 f ( x)为区间[ a ,2 ]上的减函数 . 3 3 因此，当 2<a<3 时，m=f(1)=a-1 或 m=f(2)=4(a-2). 当 7 2<a≤ 时 ， 4( a−2 )≤a−1, 故m =4(a−2 ) 3 当 7 <a<3 时 ，a−1<4(a−2), 故m =a−1 . 3 ; 1−a , 当a ≤1时 ; 0, 当1< a≤2 时 ; 7 4 ( a−2) , 当2<a≤ 时 ; 3 7 a−1, 当a > 时 ; 3 ¿ m= ¿ { ¿ { ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ 综上所述，所求函数的最小值 7.已知函数 f ( x )  x x 2  12 的定义域是 [0, m] ，值域是 [0, am2 ] ，则实数 a 的取值范围 是 . 【答案】 a �1 f ( x) 2 �x �2 3 ， f ( x) 减 ； 当 x �2 3 ， 【 解 析 一 】 易 知 ： 当 0 �x �2 ， 增；当 f ( x) 1 增，且 f (2)  f (4)  16 . 当 0  m �2 时， f ( x ) [0, m] 增 ∴  m( m  12)  am ， 2 2 a  m  12 � 4, � ； m a 2 当 2  m �4 时， am  16 ， 3 当 m �4 时， m(m  12)  am ， 2 2 综上， 2 16 � 1, 4  m2 ； a  m 12 � 1, � m ； a �1 . 【解析二】仅考虑函数 f ( x) 在 x0 时的情况， � 12 x  x3，， x2 3 � f ( x)  � 3 可知 x 2 3．函数 f ( x ) 在 x  2 时，取得极大值 16． �x  12 x，≥ 令 x3  12 x  16 ，解得， x4 ． 作出函数的图象（如图所示）, y 16 O 函数 f ( x) 2 4 的定义域为 x [0, m] ，值域为 [0，am2 ] ，分为以下情况考虑：（1）当 0m2 时， 12 函数的值域为 [0，m(12  m 2 )] ，有 m(12  m 2 )  am 2 ，所以 a  m  m ，因为 0  m  2 ，所 以 a  4 ；（2）当 2 ≤≤ m a  162 ，因为 2 时，函数的值域为 ，有 ，所以 [0 ， 16] 4 am  16 m 2 ≤≤ m 4 ，所以 1 ≤≤ a 4 ；（3）当 m4 时，函数的值域为 [0，m(m 2  12)] ，有 1