4.4 数学归纳法 1 1.在应用数学归纳法证明“凸 n 边形的对角线为 2 n(n-3)条”时,第一步检验 n= (　　 ) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 1 1 1 1 2.利用数学归纳法证明“ 2 n+1 + 2 n+2 +…+ 3 n > 3 (n≥2,且 n∈N*)”的 过程中,由假设当 n=k(k∈N*)时不等式成立,推导当 n=k+1 时不等式也成立时, 该不等式左边的变化是 (　　 ) 1 A.增加 3 k+ 3 1 1 1 B.增加 3 k+ 1 + 3 k+2 + 3 k+ 3 1 1 1 C.增加 3 k+ 3 并减少 2 k +1 + 2 k + 2 1 1 1 1 1 D.增加 3 k+ 1 + 3 k+ 2 + 3 k+ 3 并减少 2 k +1 + 2 k + 2 1 1 1 3 5 3.设 n 为正整数,f(n)=1+ 2 + 3 +…+ n ,计算得 f(2)= 2 ,f(4)>2,f(8)> 2 7 ,f(16)>3,f(32)> 2 .观察上述结果,可推测出一般结论 (　　 ) 2 n+1 A.f(2n)> 2 n+2 B.f(n2)> 2 n+2 C.f(2n)≥ 2 D.以上都不正确 4.用数学归纳法证明“42n-1+3n+1(n∈N*)能被 13 整除”的第二步中,当 n=k+1 时,为 了使用归纳假设,对 42k+1+3k+2 变形正确的是 (　　 ) A.13×42k-1+3(42k-1+3k+1) B.4×42k+9×3k C.(42k-1+3k+1)+15×42k-1+2×3k+1 D.3(42k-1+3k+1)-13×42k-1 5.某个命题与正整数 n 有关,如果当 n=k(k∈N*)时该命题成立,则可得当 n=k+1 时该命题也成立,若已知 n=5 时命题不成立,则下列说法正确的是 (填序号). ① 当 n=4 时,该命题不成立; ② 当 n=6 时,该命题不成立; ③ 当 n=1 时,该命题可能成立; ④ 当 n=6 时,该命题可能成立也可能不成立,但若当 n=6 时命题成立,则对任意 n≥6,该命题都成立. 2 6.已知正项数列{an}满足 a1=1,前 n 项和 Sn 满足 4Sn= ( a n -1 +3 ) 数列{an}的通项公式为 an= (n≥2,n∈N*),则 . 1 1 1 7.已知 f(n)= n+1 + n+2 +…+ 2 n+1 (n∈N*),若 k∈N*,则 f(k+1)-f(k)= . 8.设 α,β 是方程 x2-x-1=0 的两个不等实根,记 an=αn+βn(n∈N*).下列两个命题:① 数列{an}的任意一项都是正整数;② 数列{an}的第 5 项为 10.则① ,② .(填“正 确”或“错误”) 1 1 1 1 1 9.已知 n 为正偶数,当用数学归纳法证明“1- 2 + 3 - 4 +…+ n- 1 - n 1 1 1 =2 n+2 + n+ 4 +…+ 2n ”时,第一步的验证 1 1 1 1 为当 n=2 时,左边=1- 2 = 2 ,右边=2× 4 = 2 ,等式成立; ( ) 若已假设 n=k(k≥2,且 k 为偶数)时等式成立,则还需要用数学归纳法证明当 n= 时等式成立. 2 a 10.已知数列{an}中,a1=2a,an=2a- a (n≥2,n∈N*). n -1 (1)写出 a2,a3,a4; (2)猜想 an 的表达式,并用数学归纳法证明. 11.给出下列不等式: 1 1> 2 1 1+ 2 1 1+ 2 1 1+ 2 , 1 + 3 >1, 1 1 1 1 1 3 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 > 2 , 1 1 + 3 +…+ 15 >2. (1)根据给出不等式的规律,归纳猜想出不等式的一般结论; 12.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn= an 1 + a -1,且 an>0,n∈N*. 2 n (1)求 a1,a2,a3; (2)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法证明. 13.设数列{an}满足 a1=3,an+1=3an-4n. (1)计算 a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明; (2)求数列{2nan}的前 n 项和 Sn. 4.4 数学归纳法 1.C 2.D 3.C 4.A 5.①④ 6.当 n=1 时,a1=1; 2 当 n=2 时,4S2= ( a 1+3 ) =16,所以 S2=4,可得 a2=3; 2 当 n=3 时,4S3= ( a 2+3 ) =36,所以 S3=9,可得 a3=5; 2 当 n=4 时,4S4= ( a 3+ 3 ) =64,所以 S4=16,可得 a4=7; …… 猜想 an=2n-1. 下面用数学归纳法证明: ① 当 n=1 时,a1=1 满足 an=2n-1. ② 假设当 n=k(k∈N*)时,结论成立,即 ak=2k-1,可得 Sk=k2, 则当 n=k+1 时, 2 因为 4Sk+1= ( a k + 3 ) =(2k+2)2=4(k+1)2, 所以 Sk+1=(k+1)2,则 ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)2-k2=2k+1=2(k+1)-1. 所以当 n=k+1 时,结论也成立. 结合①②可知,an=2n-1 对任何 n∈N*都成立. 1 1 7. 2 k +3 - 2 k + 2 . 1 1 1 解析:因为 f(n)= n+1 + n+2 +…+ 2 n+1 (n∈N*), 1 1 1 所以 f(k)= k +1 + k +2 +…+ 2 k +1 (k∈N*), 1 1 1 1 1 f(k+1)= k +2 + k +3 +…+ 2 k +1 + 2 k + 2 + 2 k +3 , 1 1 1 1 1 所以 f(k+1)-f(k)= 2 k + 2 + 2 k +3 - k +1 = 2 k +3 - 2 k + 2 . 8.① 正确,② 错误. 9.k+2 1 1 1 1 1 解析:当 n 为正偶数时,对 1- 2 + 3 - 4 +…+ n- 1 - n =2 1 1 1 + +…+ n+2 n+ 4 2n 用数学归纳法证明如下: ( ) 因为 n 为正偶数,所以先取 n=2, 1 1 1 1 当 n=2 时,左边=1- 2 = 2 ,右边=2× 4 = 2 ,等式成立. 假设当 n=k(k≥2,且 k 为偶数)时,等式成立. 由于是所有正偶数,则应证明当 n=k+2 时,等式也成立. 3 a2 a2 a2 10.解:(1)因为 an=2a- a (n≥2,n∈N*),a1=2a,则 a2=2a- a =2a= 2 a; 2a n -1 1 a2 a2 a3=2a- a =2a- 3 a =2a2 2 a2 2 a a4=2a- a =2a- 4 a =2a3 3 n+1 (2)猜想 an= n a(n∈N*). 2 4 3 a= 3 a; 3 5 a= 4 4 a. 下面利用数学归纳法证明: ① 当 n=1 时,a1=2a,符合猜想. ② 假设当 n=k(k∈N*)时猜想成立,即 ak= k +1 k a, a2 2 k k +2 a 那么当 n=k+1 时,ak+1=2a- a =2a- k +1 a =2a- k +1 a= k +1 a,所以当 k k n=k+1 时猜想成立. 综合①②可知,an= n+1 * n a(n∈N )成立. 1 11.解:将第 1 个不等式左边的 1 写成 1 ,可以看出不等式左边最后一个数的 分母的特点: 1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1, n 猜想不等式左边最后一个数的分母为 2n-1,对应各式右边为 2 , 1 1 1 1 n > 2 (n∈N*). 所以猜想不等式的一般结论为 1+ 2 + 3 + 4 +…+ n 2 -1 (2)用数学归纳法证明你的猜想. 证明:① 当 n=1 时,结论显然成立;　 1 1 1 1 k ② 假设当 n=k(k∈N*)时结论成立,即 1+ 2 + 3 + 4 +…+ k > 2 成 2 -1 立, 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1 k 1+ 2 + 3 + 4 +…+ k + k +…+ k+1 + k+1 > 2 + 2 -1 2 2 -2 2 -1 ( 21 + 2 1+1 +…+ 2 1- 2 + 2 1 - 1 ) k k k+ 1 k+1 1 k k 1 k +1 > 2 +2k× k+1 = 2 + 2 = 2 , 2 即当 n=k+1 时结论也成立. 由①②可知,对任意 n∈N*结论都成立. a1 1 + a -1,得 a1=-1± 2 1 12.解:(1)由 a1=S1= 又因为 an>0,所以 a1= ❑ √3 . ❑ √ 3 -1. a2 1 ❑ ❑ + a -1,所以 a2= √ 5 - √ 3 . 2 2 a3 1 ❑ ❑ + a -1,所以 a3= √ 7 - √ 5 . 因为 S3=a1+a2+a3= 2 3 因为 S2=a1+a2= (2)由(1)猜想 an= ❑ √ 2n+1 - ❑√ 2n - 1 ,n∈N*. 下面用数学归纳法证明: ① 当 n=1 时,由(1)知 a1= ❑ √ 3 -1,猜想成立. ② 假设当 n=k(k∈N*)时,ak= ❑ √ 2 k+ 1 - ❑√ 2 k - 1 成立. 则当 n=k+1 时,ak+1=Sk+1-Sk= √ 2 k +1 -❑√ 2 k - 1 2 所以 a k+1 +2 所以 ak+1= ❑ 所以 ak+1= ❑ ) ( - ak 1 + -1 2 ak ak+ 1 1 1 = + a ❑ 2 √ 2 k +1 - √ 2 k - 1 k+ 1 ❑ 2 ( ak +1 1 + -1 2 ak +1 - ❑ ) = ak+ 1 1 + a 2 k+ 1 ❑ √ 2 k+ 1 , ❑ √ 2 k+ 1 ak+1-2=0, √ 2 k+ 3 - ❑√ 2 k+ 1 , √ 2( k +1 )+1 - ❑√ 2( k +1 )-1 ,即当 n=k+1 时猜想也成立. 综合①②可知,猜想对一切 n∈N*都成立. 13.解:(1)因为数列{an}满足 a1=3,an+1=3an-4n, 所以 a2=3a1-4=5,a3=3a2-4×2=7. 猜想{an}的通项公式为 an=2n+1. 证明如下:① 当 n=1 时,猜想显然成立. ② 假设 n=k(k∈N*)时,ak=2k+1 成立, 则当 n=k+1 时,ak+1=3ak-4k=