导数及其应用—【新课标全国卷】2022 届高考数学二轮复习技能 强化练 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1.若直线 l 的倾斜角为  ，且 0�� �135�，则直线 l 的斜率的取值范围是( ) A. [1, 0] B. (1, 0) C. (�, 1] �[0, �) D. (�, 1) �(0, �) � π� 0, �的函数 2.已知定义在 � f  x  的导函数为 f '  x  ，且满足 f '  x  sin x  f  x  cos x  0 成立，则下列 � 2� 不等式成立的是( ) �ππ� � � A. 2 f � � f � � �6 � �4 � �ππ� �� B. f � � 3 f � � �3 � �6 � �ππ� �� C. 3 f � � 2 f � � 4 �� �3 � D. 2ππ � � �� f � � 3 f � � 2 �3 � �4 �   2 3.设函数 f  x   1  xsinx 在 x  x0 处取得极值，则 1  x0  1  cos2 x0   1 的值为( ) A. 1 4.设函数 B. 0 f  x 在定义域内可导， C. 1 y  f  x D. 2 的图象如图所示，则导函数 A. B. C. D. y  f ' x  的图象为( ) 5.已知 a �R .设函数 �x 2  2ax  2a, x �1, f ( x)  � �x  a ln x, x  1. f  x  �0 若关于 x 的不等式 在 R 上恒成立,则 a 的取值范围为( ) A. [0,1] B. [0, 2] C. [0, e] D. [1,e] 6.如图，在 P 地正西方向 8 km 的 A 处和正东方向 1 km 的 B 处各有一条正北方向的公路 AC 和 BD， 现计划在 AC 和 BD 路边各修建一个物流中心 E 和 F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的 公路 PE 和 PF，设 �EPA   （ 0   π 2 ），为了节省建设成本，要使得 PE  PF 的值最小，此时 AE  ( ) A.4 km B.6 km C.8 km 二、填空题 7.曲线 y  x  3lnx  1 在点  1,1 处的切线方程为___________. D.10 km 3 2 8.已知函数 f  x  是定在 R 上的奇函数，当 x � �, 0  时， f  x   2 x  x ，则 f '  2   _________. 三、解答题 x 2 9.已知函数 f ( x)  xe  a( x  1) （其中常数 e  2.718L 是自然对数的底数）. （1）当 a  0 时，讨论函数 f ( x ) 的单调性； 2 3 2 （2）证明：对任意 a �1 ，当 x  0 时， f ( x)  ex �a( x  x  3 x  1) . x 10.设函数 f  x   e  ax  2 . （1）求 f  x  的单调区间； （2）若 a  1 ， k 为整数，且当 x  0 时，  x  k  f '  x   x  1  0 ，求 k 的最大值   x 2 11.设函数 f  x   e ax  x  1 ，其中 e 为自然对数的底数， e  2.718 （1）当 a  0 时，讨论函数 y  f  x  的单调性； （2）若曲线 y  f  x  在 x  1 处的切线与 x 轴平行，证明：对于任意的 x1 ， x2 � 0,1 都有 f  x1   f  x2   2 1 f ( x)  ln x  ax 2  ax 2 12.已知函数 存在两个极值点 x1 ， x2 ； （1）求 a 的取值范围； （2）求 f  x1   f  x2  的取值范围． 13.已知 e 是自然对数的底数,函数 f  x  ax 2 (a �R ex 且 a �0) f  x (1)当 a  1 时,求函数 的单调区间; (2)当 a  0 时,函数 14.设 f ( x)  f  x 1 的极大值为 e ,求 a 的值 a  x ln x, g ( x)  x3  x 2  3 x . (1)如果存在 x1 , x2 �[0, 2] 使得 g  x1   g  x2  �M 成立,求满足上述条件的最大整数 M ; 1 � � s, t �� , 2 � 2 �,都有 f  s  �g  t  成立,求实数 a 的取值范围. � (2)如果对于任意的 15.已知函数 f  x   e ln x  ax(a �R ) . (1)讨论 f  x  的单调性； x (2)当 a  e 时，证明 xf  x   e  2ex �0 . 参考答案 1.答案：C ,180� ) 上的图象可知直线 l 的斜率的取值范围是 解析：由题意及正切函数在区间 [0� (�, 1] �[0, �) . 2.答案：B 解析：设 因为 则 g  x  f  x sinx ， f�  x  sinx  f  x  cosx  0 g�  x  ， f�  x  sinx  f  x  cosx sin 2 x 0 ， � π� 0， � � g  x 所以 在 � 2 �上单调递减， �ππ� � � f�� f�� �6 � �4 � ππ sin sin 6 4 ，即 则 �ππ� � � 2 f � � f � � �6 � �4 �，故选项 A �ππ� � � f�� f�� �6 � �3 � ππ sin sin 6 3 ，即 �ππ� �� 3 f � � 2 f � � 6 �� �3 �，故选项 B �ππ� � � f�� f�� �4 � �3 � ππ sin sin 4 3 ，即 �ππ� �� 3 f � � 2 f � � �4 � �3 �，故选项 C �π � f�� �3 �的正负不能确定，因此 2π �π � f 2f � � �3 �与 2 错误； 正确； 错误； �� �� �3 �的大小不能确定，故选项 故选 : B. 3.答案：C � 解析： f ( x)   sin x  x cos x ，Q 函数 f ( x ) 在 x  x0 处取得极值， D 不能判断.  x0   � sin 2 x0   1  x02   1  cos 2 x0   1  � 1 cos 2 x0 � ， sin x0 cos x0 � 2cos 2 x0  1  1 �� � . 4.答案：C 解析：由图可知，函数 f  x 在 0  �， 上单 调递减，所以 y f�  x  0 在 0  �， 上恒成 立，排 除选项 B 和 D ； 函数 f  x 在  0, � 上先递减后递增再递 减，所以 y f�  x 在  0， � 上应为负、正、 负的 趋势，即选项 A 错误. 故选 : C. 5.答案：C 解析：解法一 当 a  0 时,不等式 f ( x ) �0 恒成立,排除 D;当 a  e 时, �x 2  2ex  2e, x �1, f ( x)  � �x  eln x, x  1, 当 2 x �1 时, f ( x )  x  2ex  2e 的最小值为 f (1)  1  0 ,满足 f ( x ) �0 ;当 x  1 时,由 f ( x )  x  eln x 可得 f �( x)  1  e xe  x x ,易得 f ( x ) 在 x  e 处取得极小值(也是最小值) f (e)  0 ,满足 f ( x ) �0 恒成立,排除 A,B.故选 C. 2 2 2 解法二 若 x �1, f ( x)  x  2ax  2a  ( x  a)  a  2a ,当 a �1 时,可得 f ( x ) 的最小值为 f (a )   a 2  2a ,令 f (a) �0 ,解得 0 �a �2 ,故 0 �a �1 ;当 a  1 时,可得 f ( x ) 的最小值为 f (1)  1 �0 , 满足条件.所以 a �0 . 若 x  1 ,由 f ( x )  x  a ln x 可得 f �( x)  1  a xa  � x x ,当 a �1 时, f ( x )  0 ,则 f ( x ) 单调递增,故只需 f (1) �0 ,显然成立;当 a  1 时,由 f �( x )  0 可得 x  a ,易得 f ( x ) 的最小值为 f (a )  a  a ln a ,令 f ( a) �0 ,解得 a �e ,故 1  a �e ,所以 a �e .综上, a 的取值范围是 [0, e] . 6.答案：A 解析：因为 PE  PF ， �EPA   ，所以 �PFB   ，在 Rt△ PAE 中， Rt△ PBF 中， 则 f� ( )  PF  PE  AP 8  cos  cos  ，在 � π� PB 1 8 1 8 1  �� 0, �  PE  PF   f ( )   � 2 �， sin  sin  ，则 cos  sin  .设 cos  sin  ， 8sin  cos  8sin 3   cos3  8sin 3   cos3  1 �   f (  )  0 tan   2 2 2 2 2 2 cos  sin  cos  sin  ，令 cos  sin  2 ，当 ，则 0  tan   1 1 1 tan   tan   � � f (  )  0 f (  )  0 2 时，