高考二轮圆锥曲线的综合问题专项训练 （原卷+答案） 考点一　证明问题——等价转化，直击目标 证明问题的两种常见类型 圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置 关系，如：某点在某直线上，某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直 线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)． 2 [例 1]　已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C： 2 x y + 4 3 ＝1 交于 A，B 两点，线段 AB 的 中点为 M(1，m)(m＞0)． (1)证明：k＜－ 1 2 ； FP+ ⃗ FA +⃗ FB ＝0，证明：2| ⃗ FP |＝| (2)设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 ⃗ ⃗ ⃗ FA |＋| FB |. [考查知识]　直线与椭圆的位置关系． [核心素养]　数学运算，逻辑推理． 归纳总结 圆锥曲线中证明题的求解策略 处理圆锥曲线中的证明问题常采用直接法证明，证明时常借助于等价转化思想，化几 何关系为数量关系，然后借助函数方程思想、数形结合思想解决． 对点训练 x2 y2 + 1.已知椭圆 C： ＝1(a>b>0)的离心率为 a2 b2 ❑ √3 2 ，焦距为 2 ❑ √3 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)若斜率为－ 1 2 的直线与椭圆 C 交于 P，Q 两点(点 P，Q 均在第一象限)，O 为坐 标原点，证明：直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列． 2 2 x y + 2．已知椭圆 E： ＝1(a>b>0)的焦距为 2 a2 b2 ❑ √3 ，直线 l1：x＝4 与 x 轴的 交点为 G，过点 M(1，0)且不与 x 轴重合的直线 l2 交椭圆 E 于点 A，B.当 l2 垂直于 x 轴时， 3 ❑√ 3 . △ABG 的面积为 2 (1)求椭圆 E 的方程； (2)若 AC⊥l1，垂足为 C，直线 BC 交 x 轴于点 D，证明：|MD|＝|DG|. 考点二　定点问题——目标等式寻定点 解析几何中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆 (其他曲线过定点太复杂， 高中阶段一般不涉及)过定点的问题，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相 交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动，这类问题的求解一般分为以下三步： 一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变 量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之 一)． 二求：求出定点坐标所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量 的方程． 三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标． [例 2]　[2021·安徽宣城模拟]已知抛物线 C：y2 ＝2px(0＜p＜8)的焦点为 F，点 Q 是抛物线 C 上的一点，且点 Q 的纵坐标为 4，点 Q 到焦点的距离为 5. (1)求抛物线 C 的方程． (2)设直线 l 不经过点 Q 且与抛物线 C 交于 A，B 两点，直线 QA，QB 的斜率分别为 k1，k2，若 k1k2＝－2，证明直线 AB 过定点，并求出此定点． [考查知识]　抛物线的性质． [核心素养]　数据分析，数学运算． 归纳总结 利用目标等式法求解直线和曲线过定点的思路 利用目标等式法求定点指利用目标等式恒成立的条件建立方程(组)，求解定点，用该 法解决问题的关键点如下： (1)坐标化，设出点的坐标，将题目中的已知条件坐标化处理． (2)建立目标等式，利用题目坐标化的结论建立方程 f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ 为参数)． (3)找定点，以方程组 { f ( x ， y )=0, 的解为坐标的点即直线或者曲线过的定点． g ( x ， y ) =0 对点训练 x2 2 [2020·全国卷Ⅰ]已知 A，B 分别为椭圆 E： 2 ＋y ＝1(a>1)的左、右顶点，G 为 a AG · ⃗ GB ＝8.P 为直线 x＝6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB E 的上顶点， ⃗ 与 E 的另一交点为 D. (1)求 E 的方程； (2)证明：直线 CD 过定点． 考点三　定值问题——巧妙消元寻定值 定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量 (斜率、距离、面积、 比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题，其求解步骤一般为： 一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等． 二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的 个数，使其只含有一个变量(或者有多个变量，若是能整体约分也可以)． 三定值：化简式子得到定值．由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关， 故求出的式子必能化为一个常数，所以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值． x2 y2 + [例 3]　[2021·成都石室中学检测]在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 ＝ a2 b2 ❑ 1(a＞b＞0)的离心率为 √3 2 ，短轴长为 2，直线 l 与椭圆有且只有一个公共点． (1)求椭圆的方程． (2)是否存在以原点 O 为圆心的圆满足：此圆与直线 l 相交于 P1，P2 两点(两点均不在 坐标轴上)，且 OP1，OP2 的斜率之积为定值？若存在，求出此定值和圆的方程；若不存在 ， 请说明理由． [考查知识]　直线与椭圆的位置关系． [核心素养]　数学运算，数据处理． 归纳总结 求解圆锥曲线中定值问题常用的方法 (1)引出变量法．解题流程为： (2)特殊法．从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (3)直接法．直接推理，在计算过程中消去变量，从而得到定值． 对点训练 4 x2 y2 + 2 ＝1(a>b>0)的离心率为 1.[2021·河南高三模拟]已知椭圆 C： 2 5 ，右 a b 焦点为 F，O 为坐标原点，点 Q 在椭圆 C 上，FQ⊥OF，且|FQ|＝ 9 5 . (1)求椭圆 C 的标准方程． (2)点 P(m，0)为椭圆 C 长轴上的一个动点，过点 P 且斜率为 于 A，B 两点，证明： 2 2 |PA| +|PB| 3 5 的直线 l 交椭圆 C 为定值． x2 y2 + 2 ＝1(a>b>0)的离心率为 2．[2020·新高考Ⅰ卷]已知椭圆 C： 2 a b ❑ √2 2 ，且 过点 A(2，1)． (1)求 C 的方程； (2)点 M，N 在 C 上，且 AM⊥AN，AD⊥MN，D 为垂足．证明：存在定点 Q，使得| DQ|为定值． 考点四　圆锥曲线中的最值、范围问题——巧设变量，引参搭桥 圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 2 F1，F2 为椭圆 2 x y + ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为 a2 b2 短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有： ①|OP|∈____________ ； ② |PF1|∈____________ ； ③|PF 1| ·|PF2|∈__________ ； ④∠F1PF2≤∠F1BF2. (2)双曲线中的最值 F1，F2 为双曲线 x2 y2 − 2 ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点， 2 a b O 为坐标原点，则有： ①|OP|≥____________；②|PF1|≥____________． (3)抛物线中的最值 点 P 为抛物线 y2＝2px(p＞0)上的任一点，F 为焦点，则有： ①|PF|≥____________ ； ② A(m ， n) 为 一 定 点 ， 则 |PA| ＋ |PF| 有 最 小 值 ； ③ 点 N(a，0)是抛物线的对称轴上一点，则|PN|min＝ {√ ❑ |a|( a ≤ p ) ， 2 2 pa− p ( a＞ p ) ． [例 4]　[2021·全国乙卷]已知抛物线 C：x2＝2py(p＞0)的焦点为 F，且 F 与圆 M： x2＋(y＋4)2＝1 上点的距离的最小值为 4. (1)求 p； (2)若点 P 在 M 上，PA，PB 是 C 的两条切线，A，B 是切点，求△PAB 面积的最大值． [听课记录] [考查知识]　圆与抛物线的方程、性质及三角形面积的最值． [核心素养]　逻辑推理，数学运算． 归纳总结 1.圆锥曲线中的最值问题的求解方法 (1)几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何性质来解决，特别要注 意用圆锥曲线的定义和平面几何有关结论来求最值． (2)代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则考虑先建立目标函数(通常 为二次函数)，再求这个函数的最值．求函数的最值常见的方法有配方法、基本不等式法、 单调性法、三角换元法等． 2．圆锥曲线中的取值范围问题的 5 种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系．从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的 等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参 数的取值范围． 对点训练 2 2 y x + 1.[2021·福建省泉州市模拟]已知椭圆 E： ＝1(a>b>0)的一个焦点为(0， a 2 b2 ❑ √3 )，长轴与短轴的比为 2∶1.直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 E 交于 P、Q 两点，其中 k 为 直线 l 的斜率． (1)求椭圆 E 的方程； (2)若以线段 PQ 为直径的圆过坐标原点 O，问：是否存在一个以坐标原点 O 为圆心的 定圆 O，不论直线 l 的斜率 k 取何值，定圆 O 恒与直线 l 相切？如果存在，求出圆 O 的方 程及实数 m 的取值范围；如果不存在，请说明理由． 2．[2021·华南师大附中模拟]已知椭圆 C： y2 x2 + 2 ＝1(a＞b＞0)的上、下两个焦 2 a b 点分别为 F1 ，F2 ，过点 F1 与 y 轴垂直的直线交椭圆 C 于 M，N 两点，△MNF2 的面积为 ❑ ❑ √3 ，椭圆 C 的离心率为 √3 2 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)已知 O 为坐标原点，直线 y＝kx＋m 与 y 轴交于点 P，与椭圆交于 A，B 两个不同 OA ＋3 ⃗ OB ＝4 ⃗ OP ，求 m 的取值范围． 的点，若存在 m 使得 ⃗ x2 y2 + 2 ＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 3．[2021·湖北省模拟]已知椭圆 C： 2 a b A，B 且左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆