解密 04 三角恒等变换 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 2021 年全国新课标甲 9 2020 课标全国Ⅲ 9 利用两角和与差 的公式与二倍角 公式化简求值 2019 课标全国Ⅱ 10 单独考查三角变换的题目 较少，往往以解三角形为背景， 2018 课标全国Ⅱ 15 在应用正弦定理、余弦定理的 2018 课标全国Ⅲ 4 ★★★★ 同时，应用三角恒等变换进行 化简，综合性比较强，但难度 三角恒等变换的 综合应用 不大．也可能与三角函数等其 他知识相结合． 2021 课标全国Ⅰ 10 2020 课标全国Ⅰ 9 2019 课标全国Ⅰ 17 ★★ 核心考点一 利用两角和与差的公式与二倍角公式化简求值 ☆技巧点拨☆ 公式的常见变形： （1） tan  �tan   tan( � )(1 mtan  tan  ) ； tan  tan   1  tan   tan  tan   tan   1 ． tan(   ) tan(   ) （2）降幂公式： sin 2   1  cos 2 1  cos 2 1 cos 2   sin  cos   sin 2 ； ； ． 2 2 2 2 2 1  sin 2  (sin   cos  ) （3）升幂公式： 1  cos 2  2 cos  ； 1  cos 2  2sin  ； ； 2 1  sin 2  (sin   cos  ) 2 ． （4）辅助角公式： a sin x  b cos x  tan   a  b sin( x   ) ，其中 2 2 cos   a a 2  b2 ,sin   b a 2  b2 ， b a． 2 2 2 例题 1．在 VABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，若 a  b  c  ab sin C ，且 a sin B cos C  c sin B cos A  B．  A．3 2 b 2 ，则 tan A 等于（ ） 1 3 C．3 或  1 3 D．-3 或 1 3 【答案】A 【分析】Q Q cos C   a 2  b 2  c 2 sin C  � tan C  2  C  2ab 2 4， ， a b c sin B � cos C  sin C � sin B � cos A     2 R  sin A � sin A sin B sin C ， B  2 2 2 sin B  sin( A  C )  � sin B  ， 2 2 2 ，  tan B  tan C  3 ，故选：A. ， tan B  1 ， tan A   tan( B  C )   4 1  tan B � tan C  1 1 a   A , B , C a , b , c tan B tan C 3sinC ，则 b  （ 所对的边分别为 ，满足 例题 2．在 VABC 中，角 3 A． 2 3 B． 3 C． 3 D．3 ） 【答案】C cos B cos C a 1 1 a     sin B sin C 3 sin C ， 3sinC ，得 【分析】由 tanB tanC cos B sin C  cos C sin B a  sin B sin C 3 sin C ， 所以 sin( B  C ) a sin(  A) a sin A a    sin B sin C sin B sin C sin B sin C 3 sin C ，所以 3 sin C , 3 sin C ，所以 a sin B sin C  3 sin C sin A ， 因为 sin C �0 ，所以 a sin B  3 sin A  ，由正弦定理得 ab  3a ，解得 b 3  1 ，故选：C 例题 3．已知 sin(   )  sin( 2   )  5 ，且  �(0,  ) ，则 tan(  4 )  （ ） A．  1 7 B． 1 7 C．7 D． 7 【答案】A  1 1 【分析】由 sin(   )  sin( 2   )  5 ，可得 sin   cos   5 ， 1 24 两边平方得 1  2sin  cos   25 ，可得 2sin  cos    25  0 ， 因为  �(0,  ) ，所以 sin   0, cos   0 ，所以 sin   cos   0 ， 24 49 7 2 所以 (sin   cos  )  1  (  25 )  25 ，所以 sin   cos   5 ， 4 3 sin  4  ， 联立方程组，可得 sin   , cos    ，所以 tan   5 5 cos  3 4  1 tan   tan  3 1 4  tan(  )  所以  4 4 1  tan  tan 7 .故选：A. 1  4 3 �� � � � � 1 sin �2  �   ��0, � sin �   � 6 3 2 � � �，则 � 6 � （ ， 例题 4．已知 � ） 6 A． 3 3 B． 3 2 C． 3 1 D． 3 【答案】B  �  5 �� Q  �� 0, �  2  ��  , 6 �6 6 � 2 �， 【分析】  2  � � � 1 sin � 2  �   0 � 6� 3 �，又 � ， � � � � 2 2  � � 2  � 1  sin 2 �2  � ��  , 0 �  cos � ， 6 6� 3 ， 6 �6 � � � � 2 2 �  � �  � 2 2 3 �  � �  � 3 2 2  2 cos 2 �   � 1  cos 2 �   �  sin 2 �   � 1  cos 2 �   � ， ， 6 3 ，解得： 6 � 12 � � 12 � � 12 � � 12 � Q 2   � �  � � �  � 2 2 3 2 3 6   �  �� , 0 �   ��  , 0 �  cos � ， ， ， 6 6 6 �6 � 12 � 12 � � 12 � 3 2 2 6 2 3 �  � sin �   �   ， 6 6 � 12 � � � �  � �  �  �  �   sin �   � sin �    � sin �  � cos  cos �  � sin  6  2 3 � 2  2 3  6 � 2  3 � 6� � 12 4 � � 12 � 4 � 12 � 4 6 2 6 2 3 . 故选：B. � 7π � � π5� cos �   sin �   � 例题 5．已知 � 3 � 5 ，  为第二象限角，则 � 12 � �（ 3 10 A． 10  3 10 B． 10 C．  10 10 10 D． 10 【答案】A 5ππ4π k     k  k�  ， 【分析】因为  为第二象限角，所以 2π2πZ 6 3 3 又因为 � π5� 5ππ sin �   � 2π2ππZ k     k  ，所以 3 5 � � 6 3 ） k�  ， 2 � � 2 5� � ππ5 � �   �  1  sin 2 �   �  1  � 所以 cos � �5 � �  5 ， � 3� � 3� � � � � 7πππππππ � � � � � � � � cos �   � cos �   � � cos �   �cos  sin �  � sin � 所以 � 12 � � 3 � 4� � 3� 4 � 3� 4 �  2 5 2 5 2 3 10 �  �  5 2 5 2 10 ，故选：A. �3 � cos �  2 � cos 2  � （ ） 例题 6．若 tan   2 ，则 �2 A．  7 5 B．  1 5 C． 1 5 D． 7 5 【答案】A 【分析】 2sin cos �3πcos � sin cos �  2 � cos 2  cos 2   sin 2   2sin  cos   2 � � 2   2   sin 2   cos2    1  tan 2   2 tan  1  22  2 �2 7   ， tan 2   1 22  1 5 故选：A. 例题 7．已知函数 f  x   sin x �  sin x  cos x   x �R  ，则（ ） A． f  x  的最大值是 2  B． f  x  的图象关于直线 x  对称 4 �  �  , � � f x C．   在区间 � 4 8 �上单调递增 D． f  x  在区间 [0, 2 ) 内有 4 个极值点 【答案】D  sin x  cos x   【分析】 f  x   sin x �  1  cos 2 x 1  sin 2 x 2 2 � 1 1 2 �2 2 2 � �  �� cos 2 x  sin 2 x 2x  � � � 2  2 �sin � 2 2 � 2 2 4 �， � � � 因为 x �R ，所以 � � 1 2 1 2 1 �sin � 2 x  ��1 �f  x  � 4 � ，所以 2 � 2 ，故 A 错误； 2 1� 2 � � 1 �  � f � �  �sin � 2