2021 年秋高二年数学科月考试卷 一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 2 2 x y + =1 的一个焦点坐标是（ ） 1.椭圆 5 9 A. (2,0) B. (0,2) C. (3,0) D. (0,3) a  2.已知等差数列 n 的前 n 项和为 S n ,若 a3 + a6=9 ,则 S 8 =（ ） A.12 B.24 C.36 D.48 2 y 3.双曲线 − x 2=1 的一条渐近线方程是( ) 4 x A． y= B． y=2 x C． y=4 x 2 D． y= x 4 x2 y 2 4. 已知椭圆 25  16  1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离是 3，则 P 点到另一个焦点的距离为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 7 5．在数列 { a n } 中， a1=2, a n+1= { an +2(n=2 k +1 , k ∈ N )| ，则 a5 等于（ ） A．12 B．14 C．20 D．22 2 2 6．直线 x+ y=m 与圆 x + y =m(m> 0) 相切,则 m =( ) 1 √2 A． B． C． √ 2 D．2 2 2 1 1 2 2   (n �2) a2  {a n } 3 且 an 1 an 1 an 7.已知数列 满足 a1 =1, , 则 a15 等于( ) A． B． C． D． 2 x 8. 已知 F 是椭圆 C： + y 2=1 的左焦点， P 是椭圆 C 上的任意一点，点 Q(4,3) ， 2 ¿ PQ∨+¿ PF∨¿ 则 的最大值为（ ） A． 6 √ 2 B． 3 √ 2 C． 4 √2 D． 5 √ 2 二､多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分. 9.下列四个命题中真命题有( ) A.直线 y=x −2 在 y 轴上的截距为 −2 B.经过定点 A (0,2) 的直线都可以用方程 y=kx+2 表示. C．直线 6 x  my  14  0 (m∈ R) 必过定点 D．已知直线 3 x+ 4 y +9=0 与直线 6 x  my  14  0 平行，则平行线间的距离是 1 10.已知数列 { a n } 其前 n 项和为 S n ，则下列选项正确的是（ A. 若数列 { a n } 为等比数列，且，则 a5 =±8 B. 若数列 { a n } 为等差数列，且，则 a5 =17 ） C. 若数列 { a n } 为等差数列， a1 >0 , S3=S 10 , S n 的最大值在 n=6或 7 时取得 a D. 若数列 { a n } 为等比数列，则 { 2 } 也为等比数列 n 11. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 C 与椭圆 有相同的焦距，且一条 渐近线方程为 x﹣2y＝0，则双曲线 C 的方程可能为（　　） A． B． C． D． 2 12．设 A，B 是抛物线 E： y  x 上的两点， O 是坐标原点，下列结论成立的是（ A．若直线 AB 过抛物线的焦点 F，则 ¿ AB∨¿ 的最小值为 1 B.有且只有两条直线过点 P(1,0) 且与抛物线 E 只有一个公共点 OA ⋅ ⃗ OB 为定值 C．若 OA  OB ，则 ⃗ OA OB �2 D．若 OA  OB ，则 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 抛物线 y=4 x 2 上一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 。 2 14. 已知数列{ an }的前 n 项和为 S n  2n  3n  1 ，则通项公式 an = 。 ） x2 2 15. 已知 是双曲线  y  1 上的一点， F ， F 是双曲线的两个焦点，且 �F PF  60o ，则 1 2 1 2 4 P △ F1PF2 的面积是______. x2 y2  1(a  0, b  0) a2 b2 16.已知双曲线 的左、右焦点 1 分别为 F1 , F 2 ，过点 F1 且斜率为 的直线与双曲线的渐近线在 3 第一象限交于点 P ，若 PF1 ⊥ PF2 ，则双曲线 C 的离心率为 。 C: 三、解答题：本题共 6 小题,共 60 分 17．（本小题 10 分）已知 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和． a5 =S 3=9 （1）求 an 1 a ¿ 3 （2）设 3 ， T n 为数列 { b n } 的前 n 项和，求证： T n< 8 bn =¿ n 18. （本小题 12 分）（1）已知直线 l1 : ax  3 y  1  0 ， l2 :  a  1 x  2 y  1  0 ，若 l1 //l2 ，求 a 的值； （2）已知直线 l 的方程为 3 x  4 y  12  0 ，直线 m 与 l 垂直，且 m 与两坐标轴围成的三角形 面积为 4 ，求直线 m 的方程． 19. （ 本 小 题 12 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 ABC 的 顶 点 坐 标 分 别 是 A(0,0), B (3,3), C (1, 5 ) ， 记 ABC 外接圆为圆 M . （1）求圆 M 的方程； √ 3 ？ 若存在，求点 0< A< 2 π 的个数； （2）在圆 M 上是否存在点 P ，使得 tan A= 3 3 若不存在， 说明理由． 20．（本小题 12 分）已知抛物线 E 关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1,2) 在 抛物线上． (1)求该抛物线 E 的方程及其准线方程． (2)直线 l 过抛物线 E 的焦点 F ，交该抛物线于 A , B 两点，且 ¿ AF∨¿ 3∨BF∨¿ ， 求 AB 的长度 3 x2 y 2 21.（本小题 12 分） 设椭圆 2  2  1(a  b  0) 的短轴长为 4，离心率为 ． 2 a b （1）求椭圆方程 （2）设点 M (2,1) 是直线 l 被椭圆所截得的线段 AB 的中点，求直线 l 的方程． 22. （本小题 12 分）已知双曲线 C : x2 y2   1( a  0, b  0) 经过点  2,3 ，两条渐近线的夹角为 a 2 b2 π ，直线 l 交双曲线于 A，B 两点. 3 （1）求双曲线 C 的方程. （2）若直线 l 过双曲线的右焦点 F2 ，在 x 轴上是否存在点 M (m, 0) ，使得直线 l 绕点 F2 无论 � � 怎样转动，都有 MA� MB  0 成立？若存在，求出 M 的坐标；若不存在，请说明理由. 2021 年秋参考答案 一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1.-5BCBDC 6-10DAD 二､多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分. 9.AC 10. BC 11. AD 12 .ACD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 15 13. 16 0 , (n  1) � an  � 4n  5, (n �2) 15. � 14. 3 16. 5 4 三、解答题：本题共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分 17.解：（1）an＝2n﹣1， （2） ＝ ∴Tn＝b1+b2+…+bn＝ ＝ ， ＝ ＜ 18【答案】（1） a  3 ；（2） 4 x  3 y  4 6  0 或 4 x  3 y  4 6  0 ．． 【解析】 【分析】（1）由平行关系可直接构造方程求得 a 的值； （2）由垂直关系可设 m : 4 x  3 y  C  0 ，可求得直线与两坐标轴的交点，根据三角形面积可构造方程 求得 C 的值，进而得到直线方程. 【详解】（1） Q l1 //l2 ， 2a  3  a  1 ，解得： a  3 ； （2）Q m  l ， 可设 m 的方程为： 4 x  3 y  C  0 ， 令 x0 Qm 得： y  C C ；令 y  0 得： x   ； 3 4 与两坐标轴围成的三角形面积为 ， 4 1 C �C� ��  � 4 ，解得： ， 2 3 �4� C  �4 6  直线 m 的方程为： 4 x  3 y  4 6  0 或 4 x  3 y  4 6  0 ． 19. 20 解：（1）抛物线 E 的方程： y 2=4 x （2） ¿ AB∨¿ 16 3 3 x2 y2 21. 设椭圆 2  2  1( a  b  0) 的短轴长为 4，离心率为 ． 2 a b （1）求椭圆方程 （2）设点 M (2,1) 是直线 l 被椭圆所截得的线段 AB 的中点，求直线 l 的方程． 【答案】（（2） x  2 y  4  0 . 【解析】 【分析】（1）根据题目条件可以求出 a ， b 的值，然后写出椭圆的方程，联立直线方程与椭圆方程，使  �0 求解； （2）采用点差法求解出斜率，然后写出直线的方程. 【详解】解：（1）因为离心率 e  c 3 3 2 2  ，所以 c  a ， a 2 4 又因为椭圆的短半轴长 b  2, a  b  c ， 2 所以 a 2  16, b 2  4 2 ，即椭圆方程为 2 x2 y 2   1， 16 4 （2）设 A  x1 , y1  , B  x2 , y2  ，由 M (2,1) 在椭圆内， 过点 M (2,1) 的直线与椭圆有两个交点, 再由椭圆的对称性可确定直线 AB 的斜率一定存在. �x12  4 y12  16 �  x1  x2   x1  x2   4  y1  y2  �  y1  y2   0 ， 则 �2 2 �x2  4 y2  16 整理得： y1  y2 x1  x2 1   x1  x2 4  y1  y2  2 所以斜率 k   1 ，所以直线 的方程为 x  2 y  4  0 ． l 2 【点睛】本题考查