阿盟一中 2021-2022 学年高二上学期第一次段考 理科数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上， 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应 题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均 无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1．用斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图为  OAB （如图），且 OA  OB  1 , 则原三角形的面积为. 2 A． 2 B． 1 a, b 2．已知直线 a Pb, a P ，则 ，平面 b P A．0 3．在 ，则以下三个命题：①若 ；③若 a P , b P ，则 B．1 VABC 中,角 A, B, C 4．已知 sin   所对的边分别为 B． a, b, c a P ；②若 ,若 ） D．3 C a  4 b  3 c  13 , , ,则 （ C． 60�  2 4 C． B．51  an  ，则 ．其中真命题的个数是（ ） D．120� 2 2 或 4 4   an  中， a1  2 ， 2an 1  2an  1 ，则 a101 的值为（ A．52 6．数列 a∥ b, b � 1 ，则 tan   3 2 A． 4 5．在数列 a∥ b D． 2 C．2 B． 45� A． 30� A．  C． 2 为等差数列，满足 21 2 a2  a4  L  a20  10 A  BCD 2 2 或 3 3 D．49 ，则数列  an  前 21 项的和等于 C．42 的外接球是球 O，正三棱锥底边  ） C．50 B．21 7．已知正三棱锥 D． D．84 BC  3 ，侧棱 AB  2 3 ，点 E 在线段 BD 上，且 2BE  DE ，过点 E 作球 O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围 是（ ） 9 � � ,3 � � A． �4 � B．  2 ,3  C．  2 , 4  11 � � , 4 � � D． �4 � 8．如果函数 （ y  sin  2 x    的图象关于直线 x  π 对称，那么   取最小值时 的值为 ） π A． � 3 B． 9．已知圆锥的高为 2 2 A． π 3 ，底面半径为 B． C．  2 π 2 π D． � 2 ，则此圆锥的侧面展开图的面积是（ 4 C． 2 2 D． 10．在 ABC 中，已知 2a cos B  c ， sin A sin B (2  cos C )  sin A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．锐角非等边三角形 D．钝角三角形 2 ） 2 C 1  ，则 ABC 为 2 2 11．已知函数 f（x）=loga（x2﹣2ax）在[4，5]上为增函数，则 a 的取值范围是（ ） A．（1，4） 12．已知动直线 B．（1，4] l : ax  by  c  2  0(a  0, c  0) c 2 最大距离为 3，则 2a  c 的最小值为（ A． 9 2 C．（1，2） B． 9 4 恒过点 P(2, n) D．（1，2] ，且 Q(5, 0) 到动直线 l 的 ） C．3 D．9 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．  2  1)  ____________． 13．已知 sin       2 cos      ，则 sin  (2 cos 2 14．若圆锥的侧面展开图是圆心角为 90�的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为_ __________. �x  y  2 �0, � �x  2 y  5 �0, 15．已知实数 ， 满足不等式组 � 目标函数 ，则 的 z  2 log 4 y  log 2 x � y  2 �0, x y z 最大值为__________． 16．已知实数 a，b，c，d 满足 a c 1 4   ，则 (a  c) 2  (b  d ) 2 的最小值为_______ b d 3 3 _____ 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． uuu r uuu r uuur 2 BP  k PC . 17．在平面直角坐标系内，点 A  0,1 ， B  0, 1 ， C  1,0  ，点 P 满足 AP � （1）若 k  2 ，求点 P 的轨迹方程； （2）当 k  0 时，若 uuu r uuu r  AP  BP max 4 ，求实数  的值. 2 18．在平面四边形 ABCD 中， �ADB  3 ， AB  7 . （1）若 BD  5 ，求 △ ABD 的面积； （2）若 BC  BD ， �BAC  19．如图，在几何体  35 ， BC  ，求 sin �ABD . 6 8 ABC  A1B1C1 中，平面 A1 ACC1 ⊥底面 ABC ，四边形 2 方形， B1C1 / / BC ， Q 是 A1 B 的中点，且 AC  BC  2 B1C1 ， �ACB  3 A1 ACC1 是正 （1）证明： （2）求直线 B1Q AB //平面 与平面 A1 ACC1 A1 BB1 ； 所成角的正弦值. 4 20．已知函数 f ( x)  x  , x �[1，2]. x （1）判断函数 f ( x) 的单调性并证明； （2）求函数 y  f ( x) 的值域； 2 （3）设 F ( x)  x  16 4  2a ( x  ) ， 2 x �[1, 2] ， a �R ，求函数 y  F ( x) 的最小值 g ( a) . x x 21．如图，正三棱柱 （1）求证： B1C // （2）求三棱锥 22．已知函数 ABC  A1B1C1 平面 A1 BD D  A1C1 B f  x  的底面边长是 2，侧棱长是 3 ， D 是 AC 的中点． ； 的体积． log 4  x  1  x  0 P x , y n �N * x 1 的图象上有一点列 n  n n  ，点 Pn 在   * x 轴上的射影是 Qn  xn , 0  且 xn  4 xn 1  3  n �2, n �N  ， x1  3 ． （Ⅰ）求数列  xn  的通项公式； 2 （Ⅱ）对任意的正整数 n ，当 m � 1,1 时，不等式 3t  3mt  的取值范围； 1  yn 恒成立，求实数 t 4 1 1 1 8  � � �   nSn 3 ． （Ⅲ）设四边形 PnQnQn 1Pn 1 的面积是 S n ，求证： S1 2S2 答案 1．B 2．A 3．C 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 9．C 10．A 11．C 12．C 13． 2 5 14． 4 :1 15．1. 16． 81 25 17． 解:（1）设 P  x, y  uuur uuu r uuur AP   x, y  1 BP   x, y  1 PC   1  x,  y  ,则 , , , uuu r uuu r uuur 2 AP � BP  2 PC , 因为 k  2 ,所以 2  x, y  1  2 �  1 x  y2 � 所以  x, y  1 � � �, 化简整理得  x  2 2  y2  1 故点 P 的轨迹方程为 （2）因为 k 0  x  2 ,所以 , 2  y2  1 uuur uuu r AP � BP  0 , . 所以 x2  y 2  1 , uuur uuu r2 uuur2 uuu r2 2  AP  BP   AP  BP 所以 2 2  2 � x 2  y  1 � x 2   y  1 �  �   2  2 2  y  2 2  2  y � 1,1  , 2 当 2  2  0 ,即 1    1 时,  uuu r uuu r  AP  BP max  2  2  2 2  2 2  2  4 �16 ,不合题意,舍去； 2 当 2  2 �0 ,即  �1 或  �1 时， uuu r uuu r   AP  BP  max 2  2 2  2  2 2  2  16 ,解得   �2 . 18． 2 2 2 BD � cos �ADB ， 解：（1）在 △ ABD 中，由余弦定理得 AB  AD  BD  2 AD � �1� 7 2  AD 2  52  2 AD �5 �� � � 2 �，整理得 AD 2  5 AD  24  0 ， 即 解得 AD  3 ，或 AD  8 (舍去)； 1 2 1 2 15 3 S△ ABD  �AD �BD �sin  �3 �5 �sin  所以 2 3 2 3 4 .  � � � � �ABD   � 0  � �BCA     �   �   3 �，则 6 � 2� 3 . � （2）设 在 VABC 中，由正弦定理得 AB BC  ， sin �ACB sin �BAC 35 7  8 即 � 4. � � sin  ，所以 � sin �   � sin �   � 6 �3 � �3 � 5