4.2.1 等 差 数 列 的 概 念 复习回顾 1. 数列的定义： 按确定的顺序排列的一列数叫做数列 . 数列中的每一个数都叫做数列的项 . 2. 数列的通项公式： 如果数列的第 n 项 an 与它的序号 n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个 式子就叫做这个数列的通项公式 。 3. 数列的递推公式： 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么 这个式子叫做这个数列的递推公式 . 情境导入 圜丘坛是我国明朝嘉庆年间建立的一个三层露天圆台，别名祭天 台，有圜丘，皇穹宇、神厨、三库及宰牲亭等组成。其位于天坛南部， 为皇帝冬至日祭天大典的场所。 课堂导入 请看下面几个问题中的数列 . 1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成 , 最中间是圆形的天心石 , 围绕 天心石的是 9 圈扇环形的石板 , 从内到外各圈的石板数依次为 9,18,27,36,45,54,63,72,81. (1) 2.S,M,L,XL,XXL,XXXL 型号的女装上衣对应的尺码分别是 38,40,42,44,46,48. (2) 3. 测量某地垂直地面方向上海拔 500 米以下的大气温度 , 得到从距离 � 地面 20 米起每升高 100 米处的大气温度（单位： C ）依次为 25,24,23,22,21. (3) 课堂导入 4. 某人向银行贷款 a万元 , 贷款时间为 n年 . 如果个人贷款月利为 r, 那么按照等额本金方式还款 , 他从某月开始 , 每月应还本金b � 月支付给银行的利息（单位 : 元）依次为 ar , ar  br , ar  2br. , ar  3br ,... a元 �, � � � 12n � 每 (4) 思考 : 在代数的学习中 , 我们常常通过运算来发现规律 . 例如 , 在 指数函数的学习中 , 我们通过运算发现了甲、乙两地旅游人数的变化 规律 . 类似地 , 你能通过运算发现以上数列的取值规律吗 ? 概念学习 ① 9 ， 18 ， 27 ， 36 ， 45 ， 54 ， 63思考：我们常通过运算来发 ， 72 ， 8 1. 现规律。你能通过运算发现 ② 38 ， 40 ， 42 ， 44 ， 46 ， 48.数列①—③的取值规律吗？ 对于①，我们发现 ③ 25 ， 24 ， 23 ， 22 ， 21. 18=9+9 ， 27=18+9....81=72+9 ， 换一种写法，就是 18-9=9 ， 27-18=9....81-72=9. 如果用 {an} 表示数列①， 那么有 a2-a1=9 ， a3- a2 =9 ， ...a9-a8=9. 这表明，数列①有这样的取值规律：从第 2 项起，每一项与它的 前一项的差都等于同一个常数。数列②—③也有这样的取值规律 等差数列的定 义 • 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于 同一个常数，这个数列就叫做等差数列。 • 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示 。 • 符号表示： an+1 - an=d （ d 为常数， n∈N* ） 【注意】 ① 判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断： an+1-an 是不是同一个常数？ ② 公差 d 是每一项（第 2 项起）与它的前一项的差，千万别 把被减数与减数弄颠倒了！！ ③ 公差可以是正数，负数，也可以为 0. 练习 判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差 （ 1 ） 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 2 ， 4 ， 6× ， 8 ， 10 （2） 3，3，3，3，3，3 a1=3 ，公差 d=0 常数 （ 3 ） 3x ， 6x ， 9x ， 12x ， 15x列 a1=3x 公差 d= 3x （ 4 ） 95 ， 82 ， 69 ， 56 ， 43 ，a30 1=95 公差 d= － 13 （ 5 ） 1 ， 1.1 ， 1.11 ， 1.111 ， 1.1111 × （ 6 ） 1 ，－ 2 ， 3 ，－ 4 ， 5 ，－ 6 （ 7 ） 11 5 3 2 7 1 1， ， ， ， ， ， 12 6 4 3 12 2 × 1 a1=1 公差 d=12 概念学习 等差中项 想一想，一个等差数列最少有几项 ？ 它们之间有什么关系？ a b A  a b  A  2 A a  b  A  2 称A为a与b的等差中项 练习 （ 1 ） 3 和 7 的等差中项是多少？ （ 2 ） 3 和 11 的等差中项是多少？ 答案： 3 和 7 的等差中项是 5 ， 3 和 11 的等差 中项是 7 变式：数列： 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11 ， 13… （ 1 ） 7 是哪两项的等差中 项？ （ 2 ） 5 和 7 的等差中项是多少？ (1)647和895; 1 3 (2)  12 和24 . 3 5 思考 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ • 若已知等差数列 {an} 的首项和公差，你能否根据等差数列 的定义推导出等差数列的通项公式？ 方法 1 ： 由等差数列的定义可得an+1-an=d a2=a1+d a3=a2+d= （ a1+d ） +d=a1+2d 不完全归纳法 a4=a3+d= （ a1+2d ） +d=a1+3d … 能用累加方法 an=an-1+d=a1+ （ n-1 ） d （ n ≥ 2 ） 求通项公式吗 又∵当 n=1 时，上式也成立 ？ ∴an=a1+ （ n-1 ） d 等差数列的通项公 式 a1 、 an 、 n 、 d 知三 求一 an a1  (n  1)d 首项 a1 公差 d 的等差数列 {an} 的通项公式为 练习 4 求下列等差数列的通项公式 （ 1 ） 9 ， 18 ， 27 ， 36 ， 45 ， 54 ， 6 3 ， 72... （ 2 ） 38 ， 40 ， 42 ， 44 ， 46 ， 48... （ 3 ） 25 ， 24 ， 23 ， 22 ， 21. • 等 差数列的 通项 公式的 一 般形式 ： an ＝ am ＋ （ n － m）d 概念学习 思考 : 观察等差数列的通项公式 , 它与熟悉的哪一类函数有 关? ① 公差 d≠0 的等差数列 {an} 的图象是点（ n ， an ）组成 的集合，这些点均匀分布在直线 f(x) ＝ dx ＋ (a1 － d) 上 . ② 任给一次函数 f(x) ＝ kx ＋ b （ k ， b 为常数），则 f(1) ＝ k ＋ b， (2) ＝ 2k ＋ b ，…， f(n) ＝ nk ＋ b ，构成一个等差数列 {nk ＋ b} ， 典型例题 例 1 (1) 已知等差数列 a 的通项公式为 an  5求  2n的公差 ,  an  n 和首项 . (2) 求等差数列 8,5,2, 的第 ... 20 项 . 分析 :(1) 已知等差数列的通项公式 , 只要根据等差数列的定义 , 由 an  an 1即可求出公差 d d； (2) 可以先根据数列的两个已知项求出通项公式 , 再利用通项公式求数列 的第 20 项 . 典型例题 解 : (1)当n 2时,由an 5  2n, 得 an  1 5  2(n  1) 7  2n. 于是, d an  an  1 (5  2n)  (7  2n)  2. 当n 1时, a1 5  2 3.   an 首 首 首 d  2, 首 首 a1 3. (2)由题意知, a1 8, d 5  8  3, 于是, an 8  3(n  1) 11  3n,  a20 11  3 20  49. 所以, 这个数列的第20项是  49. 例 2 401 是不是等差数列5,9,13的项 ,... ? 如果是 , 是第几项？ 解 : 由a1  5,d  9  得这个数列的通项公式为 5   4, an  5  4  n  1  4n  1. 令 4n  1 解这个关于 的方程n, 得 401, 所以 , 401 是这个数列的项 , 是第 100 项 . n=100. . 练习 1 在等差数列中，已知 a5=10 ， a12=31 ，求首项与公差 解：设数列的首项为 a1 与公差为 d 由题意可知 解得   a1  4 d 10 a1 11d  31 a1 2 d 3 即这个等差数列的首项是 - ２，公差是 ３. 归纳：在等差数列 {an} 的通项公式中 a1 、 d 、 an 、 n ， 知三求一 练习 2 . 已知等差数列  an  , 求 a中 4  a8  20,a7  12. a4 . �  a1  3d    a1  7d   20, 解：由题意 , 得 � a1  6d  12, � a1  5d  10, � 即� a1  6d  12, � a =0, � d  2, � 1 解得 � 所以 a4  a1  3d  6. 练习 3. 在 7 和 21 中插入 3 个数 , 使这 5 个数成等差数列 . 思考 : 下列数列是否为等差数列？ （1） （2） 等差数列的判定与证 例 . 已知数列 {an} 满足 a1 ＝ 2 ， an ＋ 1 ＝ . 明 （ 1 ）数列 {} 是否为等差数列？说明理由；（ 2 ）求 an.