白城市第十四中学 2021-2022 学年度上学期期中考试 高三数学试题（理） 第 I 卷（选择题） 一、选择题（共 12 个小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1.设集合 A． A   x || x | 1 (1, 0) 2.若复数 ， B   x | x( x  3)  0 B． z (0,1) ，则 A U B  （ C． ( 1,3) ） D． (1,3) 1 i 1  ai 为纯虚数，则实数 a 的值为（ ） 1 C． 2  B． 0 A． 1 3． 已知命题 p : x0 �R, x02  2  3 x0 ，则命题 p D． 1 的否命题为 A． �p : x0 �R, x02  2 �3 x0 B． �p : x �R, x 2  2 �3 x C． �p : x �R, x 2  2  3 x D． �p : x0 �R, x02  2 �3 x0 4． 下列各组向量中，可以作为基底的是 A. r r e1  (0, 0), e2  (1, 2) B. r r 1 3 e1  (2, 3), e2  ( ,  ) 2 4 C. r r e1  (3, 5), e2  (6,10) D. r r e1  ( 1, 2), e2  (5, 7) 5．已知锐角  满足 A. 1 4 6.等差数列 cos(  B.   )  cos 2 ，则 sin  cos  等于 4 1 4 C. 2 4 D.  2 4  an  的公差不为零，首项 a1  1 ， a2 是 a1 和 a5 的等比中项，则数列  an  的 前 9 项之和是（ ）A．9 B．10 C．81 D．90 �x  y  3 �0 � 7． 设 ,则 满足约束条件 �x  y �0 的最小值是 �x �2 z  3x  y x, y � A. 5 4 B. C. 3 D. 11 1 1 f ( x)  x 2  ( ) x 8 已知命题 p : x0 �R ，sin x0  cos x0  3 ；命题 q : 函数 2 有一个零点，则 下列命题为真命题的是 （A） p �q （B） 9． 已知等差数列 项和为 A. Sn ，则 {an } p �q （C） 的公差不为 0 ， a1  1 �q ，且 （D） a2 , a4 , a8 p �(�q ) 成等比数列，设 {an } 的前 n Sn  n( n  1) 2 ( n  1) 2 B. 2 C. n2  1 2 D. n( n  3) 4   f ( x)  sin(2 x  ) g ( x)  cos(2 x  ) 10.将函数 3 的图象向右平移 a 个单位得到函数 4 的 图象，则 a 的值可以为（ 5 A． 12 ） 19 C． 24 7 B． 12 41 D． 24 SBCD uuur 1 uuu r 1 uuur  AD  AB  AC 11. 在 ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且 ，则 S ABD 3 2 1 A. 6 1 B. 3 12.已知过曲线 则 x0 y  ex 的取值范围是（ 1 C. 2 上一点 ） 2 D. 3 P ( x0 , y0 ) 作曲线的切线，若切线在 y 轴上的截距小于 0 时， 1 ( , �) B． e A． (0, �) C． (1, �) D． (2, �) 第 II 卷（非选择题） 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分．把答案填在横线上） 13．函数 y  2 x 4 ( x  0) 的最大值为　　　　　. x log (5  x) ，x  4 � f ( x)  � 2 ， 14.已知函数  f ( x  2) ，≥ x 4 则 f (9)  � . 15. 已 知 向 量 a ，b 满 足 | a | 2 ，a  (b  2a ) ， 向 量 a 在 向 量 b 方 向 上 的 投 影 为 1 ， 则 | a  b | .   16. 若 f ( x)  a sin x  b cos x ， 且 f (  x )  f (  x) ， 则 直 线 ax  by  c  0 的 倾 斜 角 为 3 3 . 三、解答题（本小题满分 70 分） 3 a1  , an 1  3an  1 n �N   . a   n 17. （本小题满分 10 分） 已知数列 满足 2 1 b  a  n n b （1）若数列  n  满足 2 ，求证：  bn  是等比数列； （2）求数列  an  的前项和 Sn . 18（本小题满分 12 分）.已知 b2 ，且 （1）求 B ABC 2b cos B  a cos C  c cos A 的大小；（2）求 ABC 的内角 A ， B ， C a b c 的对边分别为 ， ， ，若 ． 面积的最大值． 19（本小题满分 12 分）.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共 生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某 网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题 仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占 80% ．现从参与关注生态 文明建设的人群中随机选出 200 人，并将这 200 人按年龄分组：第 1 组 2组 [25,35) ，第 3 组 [35, 45) ，第 4 组 [45,55) ，第 5 组 [55, 65) [15, 25) ，第 ，得到的频率分 布 直方图如图所示． （1）求出 a 的值；（2）求这 200 人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点 值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）； （3）现在要从年龄较小的第 1,2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这 5 人中随机 抽取 3 人进行问卷调查，求这 2 组恰好抽到 2 人的概率． ABC 中， A, B, C 对边为 a, b, c ， 20．（本小题满分 12 分）锐角 ( b 2  a 2  c 2 ) sin( B  C )  3ac cos( A  C ) bc （1）求 A 的大小； （2）求代数式 a 的取值范围. 21.（本小题满分 12 分）数列 等差数列.（Ⅰ）求数列 {an } {an } Sn Sn  2an  a1 ， a1 ，， a3  1 a4 n 的前 项和 满足 且 成 的通项公式；（Ⅱ）设 22．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x)  bn  nan ， 求数列 {bn } n 的前 项和.  x 2  ax  a ( x  0, a �R ) . ex （1）当 a  1 时，求函数 f ( x ) 的极值；（2）设 g( x)  f ( x)  f � ( x) ，若函数 g ( x ) x 1 在 (0,1) U (1, �) 内有两个极值点 x1 , x2 ，求证： g ( x1 )gg ( x2 )  4 e2 白城市第十四中学 2021--2022 学年度上学期期中考试 1. B 2.B 3.C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.A 9.ABC 10.BD 11.BC 12.AC 13. 3.704 m2x0 g 2h 14. C 25g 小于等于 3 15.（1）3.24x10-5N 0 16.（1） k 17.(1). Q2 r2 √ gR 2 （2） Q 1 k r  mg 2 (2) 12 mgR 座位号