绵阳南山中学高中 2019 级 12 月月考数学试题（理科） 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）组成，共 4 页. 满分 150 分，考试时间 120 分钟. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A. M   x | 2 �x �3  2,3 2. 若直线 B.  2, 2 x  ay  2  0 A. -1 或 0 N   x | log 2 x �1  0, 2 C. 与直线 C. 1 或 0 B. -1 ， D. ，则 M I N  （  0,3 a2 x  y 1  0 垂直，则 a  （ ） D. 1 r r r r r r b  1 a a  2, 0  ， 3. 平面向量 a 与 b 的夹角为 60°， ，则  2b 等于（ A. 3 B. 2 3 C. 4 ） ） D. 12 6 2� � 4. � x  x �的展开式中的常数项为（ � � A. 60 B. -60 5. 已知函数 A. 1 C. 250 D. -250 y  f  2x   x B. -1 C. 5 ） 是奇函数，且 f  4   1 ，则 f  4  （ ） D. -5 6. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ A. 至少有一个白球与都是红球 B. 恰好有一个白球与都是红球 C. 至少有一个白球与都是白球 D. 至少有一个白球与至少一个红球 ） c c  p :  x � R , 2sin x  cos x � 3 q : a  b  0 7. 已知命题 ；命题 且 c  0 ， a b .现有下列四个命题：  �p  �q ；③  �p  � �q  ；④ p � �q  . ① p �q ；② 其中真命题是（ A. ①② ） B. ①④ C. ②③ D. ③④ 8. 已知某种商品的广告费支出 x （单位：万元）与销售额 y （单位：万元）之间有如下对应数据： x y 2 4 5 6 8 30 40 50 60 70 根据上表可得回归方程为 A. 75 万元 B. 85 万元 yˆˆ bx  a ，计算得 C. 95 万元 bˆ  7 ，则当投入 10 万元广告费时，销售额的预报值为（ D. 105 万元 ） 9. 已 知 函 数 f  x  是 定 义 在 R上 的 奇 函 数 ， 满 足 f  x   log 2  3 x  1 A. 4 B. 2 C. -2 10. 若点 P 在曲线 上，则 A. 9 ，则 C1 : PQ  PR B. 10 D. f  2021 等于（ f  x  2  1 �3 � x ��  ,0� ， 且 当 f  x � 2 �时 ， ） log 2 7 x2 y 2 2 2 2 2  1 ，点 Q 在曲线 C2 :  x  5   y  1 上，点 R 在曲线 C3 :  x  5   y  1 16 9 的最大值是（ C. 11 ） D. 12 f  x f�  x ，满 足 f �  x   f  x  且 f  x  3 为 偶 函 数 ， 11. 已 知 定 义 在 R 上 的 可 导 函 数 的导函数为 f  6  1 A. ，则不等式  3, � B. f  x   ex  1, � 的解集为（ ）  0, � D. C. 12. 已知圆 M :  x  m   y  m 2 2 2  6, �  m  0  在椭圆 C: x2 y 2   1 a  b  0  的内部，点 A 为 C 上一动点.过 a2 b2 A 作圆 M 的一条切线，交 C 于另一点 B ，切点为 D ，当 D 为 AB 的中点时，直线 MD 的斜率为 2 2 ， 则 C 的离心率为（ 2 1 A. 2 B. 2 ） 3 C. 2 6 D. 4 二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知复数 z 3i 1  i ，则 z  ___________. 14. 执行如图所示的程序框图，若输入 x3 ，则输出 y 的值为__________. 15. 已知点 P  1, 2  在抛物线 E : y 2  2 px  p  0  上，过点 M  1, 0  且斜率大于零的直线 l 交抛物线 E 于 A, B uuuur uuur AM  3MB ，则直线 l 的倾斜角为__________. 两点，若 �7 5 � , � 16. 已知函数 f  x   sin   x       0,  �R  在区间 � �12 6 �上单调，且满足 �2 f� 下列结论：① �3 � � 0 ；②若 � �7 f� �12 � �3 � �  f � �.有 � �4 � �5 � f �  x � f  x  ，则函数 f  x  的最小正周期为  ；③关于 x 的方程 �6 � 2 13 � � , � f  x   1 在区间  0, 2  上最多有 4 个不相等的实数解；④若函数 f  x  在区间 �3 6 � 上恰有 5 个零点， � �8 � ,3 则  的取值范围为 � �3 � �. 其中所有正确结论的编号为_____________. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第 17-21 题为必考题，每个试题考生必 须作答.第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答. 17.（本小题满分 12 分） � �   f  x   2sin   x    �   0, 0    � x f x 已知函数 ， 的图象相邻两条对称轴间的距离为 ，   2 � � 2 3 为函数 f  x （1）求函数 （ 2 的一个零点. f  x ） 的解析式； 求 函 18.（本小题满分 12 分） 数 f  x 在  0,   上 的 单 调 递 增 区 间 . 已知公差不为 0 的等差数列 （1）求数列 （2）设  an  的首项 a1  2 ，且 a1  1 、 a2  1 、 a4  1 成等比数列.  an  的通项公式； 1 3 , n �N * S  ， S n 是数列  bn  的前 n 项和，求使 n 19 成立的最大的正整数 n . an an 1 bn  19.（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别 a, b, c .下述三个条件： ① cos 2 A  3cos A  1  0 ；② 3sin A  3 cos A  2 3 ；③ a sin B  3b cos A . 选其中一个条件完成下列问题： （1）求 A ； 3 3 （2）若 a  7 ， ABC 的面积为 2 ，求 ABC 的周长. 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C: x2 y 2   1 a  b  0  的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线 l : x  y  2  0 a 2 b2 与 以 原 点 为 圆 心 ， 以 椭 圆 （1）求椭圆 C k1  k2  4 的 短 半 轴 长 为 半 径 的 圆 相 切 MA, MB 交椭圆于 A, B 两点，设两直线的斜率分别为 k1 , k2 ，证明：直线 AB 过定点，并求出该定点. 21.（本小题满分 12 分） � a� a f  x   x ln x  � 1  �x  已知函数 � 4� 4 . （1）当 a  0 时，求曲线 （2）若对任意 . 的方程； （2）设 M 是椭圆的上顶点，过点 M 分别作直线 且 C x � 0,1 y  f  x ，不等式 在点  1, f  1  处的切线方程； f  x  0 恒成立，求正整数 a 的最小值. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 ， �x  3  3cos  22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 的参数方程为 � y  3sin  C � 半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）求 C （  为参数）.以坐标原点为极点， x 轴正 � � 2  sin �   � 1  0 ，点 P 的极坐标为  1,   . � 4� l 的普通方程和 的直角坐标方程； （2）若 C 与 l 交于 M , N 两点，求 PM  PN 的值. 【选修 4-5：不等式选讲】 23. 已知函数 f  x  x 1  x  3 . （1）求不等式 f  x  �1 的解集； 1 1  2 2 f x （2）记   的最大值为 m ，且正实数 a、b 满足 a  b  m ，求 a b 的最小值. 参考答案 1-5 CABAB 13. 5 6-10 BABCB 14. 15 �7 16. ① 因为 f � �12  15. 3 11-12 CC 16. ①②④ 7 3 � �3 � 12  4 �2 2  �  f � �且 ，所以 f � � �4 � �3 2 3 � � 0 .① 正确； � 5 �5 � 6  5 2  5    T � T   ② 因为 f �  x � f  x  所以 f  x  的对称轴为 x  ， ②正确； �6 � 3 12 4 4 2 12 �7 5 � , � ③ 在一个周期内 f 