第一章 集合 (1)一.元素与集合的概念 1.元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用 小写阿拉丁字母 a，b，c，… 表示。 2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称集），常用大写阿拉丁字母 A,B,C,…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素是一样的。 4.集合中元素 3 个特性： 确定性：设 A 是一个给定的集合， x 是某一具体的对象，则 x 或者是 A 的元素，或者不是 A 的元素，二者必居其一，不能模棱两可． 互异性： 对于一个给定的集合，它的任意两个元素是不能相同的。集合中相同的元素只能算 是一个。如方程 x 2x 1 0 有两个重根 x1 = x 2 =1，其解集只能记为1 2 ，而不能 记为1,1。 无序性：集合中的元素是不分顺序的．如a, b 和 b, a 表示同一个集合． 特别提醒：集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l，0）和点（0， l）表示 不同的两个点，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个集合。 一．集合的含义 例一．下列说法正确的是（　　） A．0 与{0}的意义相同 B．某市文明市民可以组成一个集合 C．集合 A＝{（x，y）|3x+y＝2，x∈N}是有限集 D．方程 x2+2x+1＝0 的解集只有一个元素 练 1．判断下列元素的全体可以组成集合的是（　　） ① 湖北省所有的好学校； ② 直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点； ③n 的近似值； ④ 不大于 5 的自然数． A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 练 2．下列几组对象可以构成集合的是（　　） A．某校核酸检测结果为阴性的同学 B．某校品德优秀的同学 C．某校学习能力强的同学 D．某校身体素质好的同学 二．集合的确定性、互异性、无序性 例 2．如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 练 1．若△ABC 的三边长 a，b，c 可构成集合 M＝{a，b，c}，则△ABC 不可能是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 练 2．集合{2a，a2﹣a}中 a 的取值范围是（　　） A．{a∈R|a≠0 或 a≠3} B．{a∈R|a≠0} C．{a∈R|a≠0 且 a≠3} D．{a∈R|a≠3} 二.元素与集合的关系 1.一般地，如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A ，记作 a  A ；如果 a 不是集合的元 素，就说 a 不属于 A ，记作 a  A 。 三．元素与集合关系的判断 例 3．下列元素与集合的关系中，正确的是（　　） A．﹣2∈N B．0∉N* C． ∈Q D． ∉R 练 1．设集合 A＝{x|x＞3}，则（　　） A．∅∈A B．0∈A C．2∈A D．4∈A 练 2．若 a+2∈{1，3，a2}，则 a 的值为（　　） A．﹣1 或 1 或 2 B．﹣1 或 1 C．﹣1 或 2 D．2 三.集合的表示方法 1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。如，由方程 2 x  1  0 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1} 2.描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内 表示集合的方法。如：不等式 x  3  2 的解集可以表示为：{x  R | x  3  2} 或 {x | x  3  2}。 3.韦恩图法：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。如：集合1，2，3，4 可用韦恩图表示为： 四．集合的表示法 例 4．方程组 A．{1，6} 的解的集合是（　　） B．{x＝3，y＝2} C．{（1，6）} D．{（3，2）} 练 1．下列说法正确的是（　　） A．{0}是空集 B．{x∈R|x2+x+1＝0}不是空集 C．集合 A＝{y|y＝x2，x∈R}与 B＝{s|s＝（t+1）2，t∈R}是同一个集合 D．集合 中元素的个数是有限的 练 2．集合{x∈Z|（3x﹣1）（x﹣4）＝0}可化简为（　　） A． B．{4} 四.集合的分类 1. 按照集合中元素个数分： C． D． 2. 按照按照集合中元素的形式，性质及属性分： 五.集合间的基本关系 集合与集合之间的关系： 概念 子集 图示 性质 一般地，对于两 任何一个集合是它本身 B 个集合 A,B,如 A 的子集，即 A⊆A；对 果集合 A 中任 于 集 合 A,B,C ， 如 果 意一个元素都 A⊆B 且 B⊆C ， 那 么 是集合 B 中的 A⊆C 或 元素，就称集 合 A 为 集合 B 的 子集，记作 A⊆B A（B） 或 B⊇A，读作“A 包 含 于 B”( 或 “B 包含 A”) 集合相等 一般地，如果集 A⊆B 且 B⊆A⇔A=B； 合 A 的任何一 A=B 且 B=C，则 A=C 个元素都是集 合 B 的元 A（B） 素 ，同 时集 合 B 的任何一个元 素都是集合 A 的元素， 那么集合 A 与集 合 B 相等，记 作 A=B 真子集 如 果 集 合 A⊆B, A⊊B 且 B⊊C,则 A⊊C； 但存在元素 A⊆B ， 且 A≠B ， 则 x∈B, 且 x∉A 就称集合 A 是 B A 集合 B 的真子 集，记作 A⊊B （2）空集 不含任何元素的集合叫做空集，用符号∅表示。 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 （3）集合中子集的个数 由 n 个元素组成集合 A，则有： A⊊B n （1）A 的子集个数是 2 n （2）A 的真子集个数是 2 －1 n （3）A 的非空子集个数是 2 －1 n （4）A 的非空真子集个数是 2 －2 五．集合的包含关系判断及应用 例 5．已知集合 C＝{（x，y）|y＝x}，集合 D＝{（x，y）| }，则下列正确的是（ 　） A．C＝D B．C⊆D C．C⫋D D．D⫋C 练 1．已知集合 A＝{x|x≥﹣1}，B＝{x|﹣1≤x≤1}，则（　　） A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．A∩B＝∅ C．3 D．4 练 2．下列关系中正确的个数是（　　） ① ； ② ； ③{0，1，2}⊊{0，1，2}； ④{0，1}＝{（0，1）}． A．1 B．2 六．集合的相等 例 6．已知集合 A＝{a，b，1}，B＝{﹣1，2，a2}，若 A＝B，则 ab 的值为（　　） A．1 B． C．﹣1 D．1 或 练 1．设 a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}，若 P＝Q，则 a﹣b＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 练 2．设 a，b∈R，集合 P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，﹣b}，若 P＝Q，则 a+b＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 七．集合中元素个数的最值 例 7．已知集合 M＝{（x，y）|x，y∈N*，x+y＜3}，则 M 中元素的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 练 1．已知集合 M＝{（x，y）|x，y∈N*，x+y≤2}，则 M 中元素的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 练 2．集合 A＝{x|﹣1≤x＜2，x∈Z}中的元素个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 八．空集的定义、性质及运算 例 8．下列四个集合中，是空集的是（　　） A．{x|x+3＝3} B．{（x，y）|y2＝﹣x2，x，y∈R} C．{x|x2≤0} D．{x|x2﹣x+1＝0，x∈R} 练 1．下列四个集合中，是空集的是（　　） A．{0} B．{x|x＞8，且 x＜5} C．{x∈N|x2﹣1＝0} D．{x|x＞4} 练 2．如果 A＝{x|ax2﹣ax+1＜0}＝∅，则实数 a 的取值范围为（　　） A．0＜a＜4 B．0≤a＜4 C．0＜a≤4 D．0≤a≤4 九．子集与真子集 例 9．集合{x∈N|﹣4＜x﹣1＜4，且 x≠1}的非空真子集的个数为（　　） A．31 B．30 C．15 D．14 练 1．已知集合 A＝{x|x∈N*， A．8 ∈N*}，则集合 A 的子集个数为（　　） B．16 C．32 D．64 练 2．已知集合 S＝{x|ax＝1}是集合 T＝{x|x2﹣1 ＝0}的子集，则符合条件的实数 a 的值共（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．无数个 集合的运算 1. 并集的定义及性质 定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素组成的集合叫做集合 A 与集合 B 的 并集，记作 A∪B，即{x|x∈A 或 x∈B}. 性质： ① A∪A＝A ② A∪∅＝∅ ③A∪B＝B∪A ④ A⊆（A∪B），B⊆（A∪B）， ⑤A⊆B⟺ A∪B=B 十．并集及其运算 例 10．已知集合 A＝{x∈Z||x|＜3}，B＝{x|x≥0}，则 A∪B＝（　　） A．{x|x≥0} B．{0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．{x|x≥0 或 x＝﹣1 或 x＝﹣2} 练 1．集合 M＝[﹣1，1]，N＝{x|x2﹣2x≤0}，则 M∪N＝（　　） A．[﹣1，1] B．[0，1] C．[﹣1，2] D．[﹣1，0] 练 2．若集合 A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|0＜x＜2}，则 A∪B＝（　　） A．{x|﹣1≤x＜2} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|0≤x≤2} 2.交集的定义及性质 （1） 定义：一般地，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合叫做 A 与 B 的 交集，记作 A∩B,即 A∩B＝{x|x∈A,且 x∈B}. （2） 性质： ① A∩A＝A ② A∩∅＝∅ ③ A∩B＝B∩A ④ （A∩B）⊆A，（A∩B）⊆B， ⑤A⊆B⟺ A∩B=A 十一．交集及其运算 例 11．已知集合 A＝{x|0≤x＜3}，B＝{x∈N|x2≤4}，则 A∩B＝（　　） A．{1，2} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2} 练 1．已知集合 M＝{x|x＝2n，n∈Z}，N＝{x|x＝n+2，n∈Z}，则 M∩N＝（　　） A．∅ B．M C．N D．R 练 2．已知集合 A＝{x|x＝m2+1，m∈N}，B＝{y|y＝n4+1，n∈N}，则 A∩B＝（　　）