新课程高一年级期末全真模拟试卷一 数学 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1. ¿ 2 已知合集 A={x∨x −3 x−4 <0 } ， B={−4,1,3,5} ，则 A ∩B=¿ A. {−4,1 } 2. 3. 命题“ ∃ x ∈( 0,+ ∞) ， x+ C. { 3,5 } D. { 1,3 } 1 ≥ 3 ”的否定是 () x 1 A. ∃ x ∈(0,+ ∞) ， x+ x ≤ 3 1 B. ∃ x ∈( 0,+ ∞) ， x+ x <3 1 C. ∀ x ∈(0,+∞ ) ， x+ x <3 1 D. ∀ x ∈(0,+∞) ， x+ x ≤ 3 ¿ 已知角 α 的终边经过点 P (3,−1 ) ，则 2 sin α +cos α =¿ A. 4. B. { 1,5 } 1 3 ❑ −2 B. 3 C. ❑ √ 10 D. 10 ¿ 下列各组函数 f ( x)与 g( x ) 的图象相同的是 ¿ ¿ √ 10 2 ¿ 2 ❑ A. f (x)=x , g (x)=( √ x ) { x B. f (x)=¿ x∨, g( x)= −x (x ≥ 0) (x <0) 0 C. f (x)=1, g(x )=x 2 2 D. f (x)=x , g ( x)=(x +1) 5. 若幂函数 f (x)=(a2 −5 a−5) x A. 1 B. 6 −1 a 2 在 (0,+∞) 上单调递增，则 a=( ) C. 2 D. −1 ¿ 6. ¿ 已知函数 y=log (x+ 3)−1¿ 其中 a> 0 且 a ≠ 1¿ 的图象恒过定点 A ，若点 A 也在函数 a ¿ f (x)=3 x +b 的图象上，则 A. 7. 8 9 B. 已知函数 f (x)=2 x 的值为 ¿ 7 9 C. ¿ 5 9 D. 2 9 的定义域是 [0 ,3] ，设 g( x)=f (2 x )−f (x+ 2) ¿ ，则函数 g( x) 的最值为 ¿ ¿ 8. A. 最大值为 −3 ，最小值为 −4 B. 最大值为 32 ，最小值为 −4 C. 最大值为 32 ，最小值为 −3 D. 最小值为 −4 ，无最大值 已知函数 [x ] [ x], x≥0 { x 的最大整数 ¿ ，若 f ( x )−ax=0 有且仅有 3 个零点， f ( x )= 1 ¿ 表示不超过 , x <0 x ¿ 则实数 a 的取值范围是 ¿ A. ¿ ¿ B. ¿ C. ¿ D. ¿ 二、多选题：本大题共 4 小题，每个小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目 要求的 9. ¿ 若 a>b>0 ， d <c <0 ，则下列不等式成立的是 ¿ A. ac >bc B. a−d >b−c C. 1 1 < d c ¿ 3 3 D. a >b 10. 下列命题中正确的是 ( ) A. 200 π 和 1711 ° 均是第一象限角 9 α B. 若 sin α ⋅ tan α >0 且 cos α ⋅ tan α < 0 ，则角 2 为第二或第四象限角 2 C. 若某扇形的面积为 2 .5 c m ，半径为 r cm ，弧长 l 满足 2 r+ l=7 cm ，则该扇形圆心角的弧度 数是 4 5 π 2π D. 若 θ ∈(0 , π ) ，且角 θ 与角 7 θ 的终边相同，则 θ 的值是 3 或 3 11. 已知正数 a ， b ，则下列不等式中恒成立的是 () 1 ≥2 ❑√ 2 √ ab 1 1 B. (a+ b)( a + b )≥ 4 A. a+b + ❑ C. a2 +b2 ❑ ≥ 2 √ ab ❑ √ ab D. 2 ab ❑ > √ ab a+b 12. 若函数 f ( x) 同时满足： ① 对于定义域上的任意 x ，恒有 f (x)+ f (−x )=0 的任意 x 1 , x 2 ，当 x 1 ≠ x2 时，恒有 ¿ f ( x 1)−f ( x2 ) < 0 ，则称函数 f (x) 为“理想函数” . 下列四个 x 1−x 2 函数中，能被称为“理想函数”的有 ¿ ¿ 1 A. f (x)= x ❑ 2 B. f ( x)=ln( √1+ x + x) x 1−2 C. f (x)= x 1+2 ② 对于定义域上 D. f (x)= { 2 −x , x ⩾ 0 2 x , x< 0 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡中的横线上 13. 已知函数 f (x)= { 2+ log 1 x , x>1 4 x 2+4 , x ≤ 1 1 2 ，则 f (f ( ))=¿ _____ 14. 已知 log a 2<1 ，则 a 的取值范围______________ 15. 如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼 成的一个大正方形，如果小正方形的面积为 4 ，大正方形的面积为 100 ，直角 三角形中较小的锐角为 α ，则 tan α =¿ x 2y 16. 已知 x> 1, y >1, x+ y=4, 则 x−1 + y−1 的最小值为 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ¿ 2 17. 已知 p ：实数 x 满足 x −10 x+21<0 ， q ：实数 x 满足 x 2−7 mx+6 m 2 ≤0 ¿ 其中 m>0 ¿ (1) 若 m=1 ，且 p∧ q 为真，求实数 x 的取值范围 (2) 若 ￢ p 是 ￢ q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围 3π 3π ) cos( −α ) ta n2 (π−α) 2 2 π cos ( +α) sin( π + α ) 2 sin (−α− 18. 已知 f (α)= (1) 化简 f (α ) (2) 若 f (α)=2 ，求 sin 2 α −3 sinαcosα 的值 f ( x )=log 1 (−x+1 ) 19. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且 x ≤ 0 时， 2 (1) 求 f ( 3 ) + f (−1 ) (2) 求函数 f ( x ) 的解析式 (3) 若 f ( a−1 ) <−1 ，求实数 a 的取值范围 20. 近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题． 某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售 ¿ ¿ 的统计规律：每生产该型号空气净化器 x ¿ 百台 ¿ ，其总成本为 P( x)¿ 万元 ¿ ，其中固定成本为 12 万元，并且每生产 1 百台的生产成本为 10 万元 ¿¿ 总成本 ¿ 固定成本 +¿ 生产成本 ¿ . 销 { ¿ −0.5 x 2+ 22 x (0 ≤ x ≤ 16) ¿ Q( x)= ¿ 售收入 Q(x)¿ 万元 满足 ，假定该产品产销平衡 ¿ 即生产的产 224 (x >16) 品都能卖掉 ¿ ，根据以述统计规律，请完成下列问题： (1) 求利润函数 y=f ( x) 的解析式 ¿¿ 利润 ¿ 销售收入 −¿ 总成本 ¿ (2) 工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？ 2 21. 已知函数 f (x) 为二次函数，且 f (x−1)+ f (x )=2 x + 4 (1) 求 f ( x) 的解析式 (2) 若 g( x)=f ( x)−kx 在 [0,2] 上的最小值为 1 ，求 k 的值 x −x 22. 已知函数 f (x)=e + a e 是 R 上的偶函数，其中 e 是自然对数的底数 (1) 求实数 a 的值 (2) 探究函数 f (x) 在 ¿ 上的单调性，并证明你的结论 (3) 若函数 g( x)=f (2 x )−2 m[f (x )−m]−8 有零点，求实数 m 的取值范围 答案和解析 一、单选题：D C C B D AAA 二、多选题：BD BD ABC 三、填空题： CD 3 4 ( 0,1 ) ∪ ( 2,+ ∞ ) 1 9 ❑ + √2 2 四、解答题： 17、解： (1) 当 m=1 时，解得 q ： 1≤ x ≤ 6 2 由 x −10 x+21<0 ，解得 p ： 3< x <7 当 p∧ q 为真时，解得： 3< x ≤ 6 即 x 的取值范围为 ¿ (2) 因为 m>0 ，由 x 2−7 mx+6 m2 ≤0 解得： m≤ x ≤ 6 m ，即 q ： m≤ x ≤ 6 m ❑￢ p 是 ❑￢ q 的必要不充分条件等价于 p 是 q 的充分不必要条件 所以 3 {6m⩽ m⩾ 7 ，解得： 即实数 m 的取值范围为 7 ⩽ m⩽3 6 [ ] 7 ,3 6 3π 3π )cos( −α ) tan2 (π −α ) cos α (−sin α )ta n2 α 2 2 = =−tanα π (−sin α )(−sin α ) cos( + α )sin (π + α ) 2 sin (−α − 18、解： (1) f (α )= (2) 若 f (α )=−tanα=2 ，可得 tanα=−2 si n2 α −3 sin α cos α = 2 2 si n α−3 sin α cos α ta n α−3 tan α 10 = = =2 2 2 2 5 si n α + co s α ta n α +1 19、解： (1)∵ f ( x) 是定义在 R 上的偶函数 x ≤ 0 时， (2) 令 x> 0 ，则 −x <0 ， f (−x )=log 1 ( x+1 )=f ( x ) 2 ∴ x >0 时， f ( x )=log 1 ( x +1 ) 2 (3)∵ f ( x )=log 1 (−x +1 ) 2 则 f ( x )= { lo g 1 (−x +1), x ≤ 0 2 lo g 1 ( x+ 1) , x >0 2 在 ¿ 上为增函数 ∴ f ( x) 在 (0,+∞) 上为减函数 ¿ a−1∨¿< f (1) f¿ ∵ f ( a−1 ) <−1=f ( 1 ) ，所以 ∴∨a−1∨¿ 1