《5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象》 教学设计 本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教 A 版（2019）第五章《三角函数》的第四节《三 角函数的图象与性质》。以下是本节的课时安排： 课 时 内容 所 在 正弦函数、余弦函数的图象 教材第 196 页 正弦函数、余弦函数的性质 教材第 201 页 正切函数的图象与性质 教材第 209 页 位置 新 教 材 内容 分析 核 心 素 养 对于画正弦函数的图象，教材 借助对图象特征的观察获取函数 教材首先通过诱导公式，先 突出了单位圆的作用，充分利 的性质是一个基本方法。教材通 从代数的角度获得正切函数 用了三角函数周期性的特点， 过探究，引导学生明确三角函数 的周期性与奇偶性，将正切 从画函数图象上任一点出发， 性质的研究内容，选择适当的研 函数在整个定义域内的性质 明确作图的原理，再画出具有 究方法。 主线 ) 归结为区间 特点，最后画出足够多的点， 图象与性质，利用正切函数 得到对正弦图象的直观认识。 的定义，可以得到正切函数 借助已知的直线函数图象来画 值的变化趋势，从而确定函 余弦函数的图象，加强了两者 数的单调性，体现了数形结 的联系，体现了化归思想。 2 上的 通过正弦余弦函数的图象及应 通过图象，引导学生探究正弦、 合的思想。 通过图象，引导学生探究正 用，提升直观想象的核心素养. 余弦函数的性质，培养直观想象 切函数的性质，培养直观想 的核心素养。 象的核心素养。 培养 教 学 [0， π 代表性的点，初步感受图象的 三角函数的图象 本节的主要内容是正弦函数的图象，过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函 数等，此前还学了锐角的正弦函数和任意角的正弦函数，在此基础上来学习正弦 函数 y=sinx 的图象，为今后正弦函数的性质、余弦函数、正切函数的图象与性质，函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象的研究打好基础，起到了承上启下的作用，因此，本节的学习有着极其重要的地位。 1. 理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余弦函数的图象的方法，培养直观想象的核心素养； 2.通过利用 y=sinx, x∈R 的图象，作出 y=cosx,x∈R 的图象的方法，培养逻辑推理的核心素养。 3.通过正弦函数与余弦函数的图象的应用，提升直观想象的核心素养。 重点：正弦函数、余弦函数的图象的画法及应用； 难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系． （一）新知导入 1. 创设情境，生成问题 将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆(如图(1)所示).在漏斗下 方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动， 同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫 做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移 s(纵坐标)随时间 t(横坐标)变化的情况.图(2)就 是某个简谐运动的图象. 【想一想】　通过上述实验，你对正弦函数、余弦函数图象的直观印象是怎样的？ 提示：正、余弦函数的图象是“波浪起伏”的连续光滑曲线. 2.探索交流，解决问题 【探究 1】从画函数 y=sinx ， x ∈［０，２ π］的图象开始．在［０，２ π］上任取一个值 x 0 ， 如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值 sin x 0 并画出点 T（ x 0 ， sin x 0 ）？ 【提示】在直角坐标系中画出以原点 O 为圆心的单位圆，⊙O 与 x 轴正半轴的交点为 A（１，０）． 在单位圆上，将点 A 绕着点 O 旋转 x 0 弧度至点 B，根据正弦函数的定义，点 B 的纵坐标 y 0=sin x 0 ．由此，以 x 0 为横坐标， y 0 为纵坐标画点，即得到函数图象上的点 T（ x 0 ， sin x 0 ）. 【探究 2】若把 x 轴上从０到２ π 这一段分成１２等份，使 x 0 的值分别为 0, π , 6 π , 3 π ,… 2 2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周 12 等分，你能否按上述画点 T（ x 0 ， sin x 0 ）的方法，画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点？ 【提示】作出 12 个点，如图所示， 【探究 3】如何作出函数 y=sinx ， x ∈［0,2π］的图象？ 【提示】利用信息技术，可使 x 0 在区间［0,2π］上取到足够多的值而画出足够多的点 T（ x 0 ， sin x 0 ）,将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数 y=sinx ， x ∈［0,2π］的 图象. 【设计意图】通过探究，作出正弦函数的图象，深化对正弦函数的定义的理解，提高学生概括推理的 能力。 （二）正弦函数的图象 【思考 1】根据函数 y=sinx ， 象吗？ x ∈［0,2π］的图象，你能作出函数 y=sinx ， x ∈R 的图 【提示】由诱导公式一可知，函数 y=sinx ， x ∈ ［２ kπ，２（k＋１）π ］ ，k∈Z 且 k≠０的 图象与 y=sinx ， x ∈［0,2π］的图象形状完全一致．因此将函数 y=sinx ， x ∈［0,2π］ 的图象不断向左、向右平移（每次移动 2π 个单位长度），就可以得到正弦函数 y=sinx ， x ∈R 的图象。 正弦函数的图象 正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线． 【思考 2】在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？ 【提示】　观察图，在函数 y=sinx ， x ∈［0,2π］的图象上，以下五个点： π 3π （ 0 ,0 ） ，（ ， 1 ）， （ π ，0 ） ，（ ，−1） ，（ 2 π ， 0） 2 2 【思考 3】你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数 的图象变换为余弦函数的图象？ 【提示】对于函数 y=cosx ， 由诱导公式 cosx=sin ⁡( x + π π ) 得， y=cosx=sin x+ , x ∈R 2 2 ( ) ． ( π2 ) , x 而函数 y=sin x+ ∈R 的图象可以通过正弦函数 y=sinx ， 个单位长度而得到．所以，将正弦函数的图象向左平移 x ∈R 的图象向左平移 π 2 π 个单位长度，就得到余弦函数的图象 2 余弦函数的图象： 【思考 4】类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间［0，2π］上相应的五个关键点 【提示】画余弦函数 y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是 (0,1)，( π 3π ，0)，(π，－1)，( ，0)，(2π，1)． 2 2 【设计意图】通过探究让学生获得五点法作图的简便画法，提升直观想象的核心素养。 （三）典型例题 1.“五点法” 作正弦、余弦函数的图象 例 1. 用“五点法”作出下列函数的简图． (1)y＝1＋sin x，x∈[0,2π]； (2)y＝-cos x，x∈[0,2π]. 【解析】　 (1)列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋sin x 1 2 1 0 1 描点连线 ： (2)列表： x 0 cos x 1 -cos x -1 描点连线，如图 π π 2π 0 －1 0 1 0 1 0 -1 【变式探究 】你能利用函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，通过图象变换得到 y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图 象吗？同样地，利用函数 y＝cosx，x∈[0,2π] 图象，通过怎样的图象变换就能得到函数 y＝cosx，x∈[0,2π] 的图象？ 【提示】将 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向上平移 1 个单位，得到 y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象；将函数 y＝cosx，x∈[0,2π] 图象关于 x 轴对称得到 y＝-cosx，x∈[0,2π] 的图象。 【类题通法】简单三角函数图像画法 1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即 y＝sin x 或 y＝cos x 的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与 x 轴的交点. 2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换. 【巩固练习 1】画出函数 y＝|sinx|，x∈R 的简图． 【解析】【方法一】】按三个关键点列表： x 0 sinx 0 1 0 y＝|sinx| 0 1 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来． π 【方法二】先作出函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，使 x 轴上方图象不变，x 轴下方的图象作关于 x 轴对 称的图象，再进行左右平移，每次 π 个单位，得到 y＝|sinx|，x∈R 的图象。 2.正弦函数、余弦函数图象的简单应用 例 2　求函数 f(x)＝lg sin x＋的定义域. 【解析】由题意，得 x 满足不等式组即 作出 y＝sin x 的图象，如图所示. 结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π). 例 3.　在同一坐标系中，作函数 y＝sin x 和 y＝lg x 的图象，根据图象判断出方程 sin x＝lg x 的解的个 数. 【解析】建立平面直角坐标系 xOy，先用五点法画出函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右 连续平移 2π 个单位，得到 y＝sin x 的图象. 描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到 y＝lg x 的图象，如图所示. 由图象可知方程 sin x＝lg x 的解有 3 个 【类题通法】 正弦函数、余弦函数图象的简单应用 1.解不等式问题：三角函数的定义域或不等式可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的 取舍. 2.方程的根(或函数零点)问题：三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这 正是数形结合思想方法的应用. 【巩固练习 2】1.函数 y＝的定义域为_________________________________. 【解析】　由题意知，自变量 x 应满足 2sin x－1≥0， 即 sin x≥.由 y＝sin x 在[0,2π]的图象，可知≤x≤π， 可得 y＝的定义域为，k∈Z. 【答案】　，k∈Z 2. 若函数 f(x)＝sin x－2m－1，x∈[0,2π]有两个零点，求 m 的取值范围. 【解析】由题意可知，sin x－2m－1＝0，在[0,2π]上有 2 个根.即 sin x＝2m＋