2021-2022 学年度高中数学选择性必修二期末模拟试卷（二） 一、单选题 15 1．记 S n 为等比数列  an  的前 n 项和，且 an  0 ，若 S 2  6 ， S 4  ，则 a2  2 1 A．1 5 B．2 C．4 D． 2 2．《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽 图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长 为 b1 , b2 , b3 , b4 , b5 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知 A．64 B．96 a1  288 ， C．128 (单位:cm)成等差数列，对应的宽 a5  96 ， b1  192 ，则 b3  D．160 3．已知 f（x）＝x3﹣ax 在[1，+∞）上是单调增函数，则 a 的最大值是 10 A．0 B．1 4．已知等差数列  an  C．2 的公差 d �0 ，且 a4 2  a6 2  40d  a82  a10 2 D．3 ，则该数列  an  的前 13 项的和为（ ） A． 65 2 B． C． 65 130 D． 150 5．已知 1，a1，a2，9 四个实数成等差数列，1，b1，b2，b3，9 五个数成等比数列，则 b2（a2﹣a1） 15 等于（ ） A．8 6．已知函数 20 B．﹣8 f  x    x 2  x  1 e x C．±8 ，则 f  x B． x  y  1  0 C． 2 x  y  1  0 D． 2 x  y  1  0 AB 9 8 在 (0，f (0)) 处的切线方程为（ A． x  y  1  0 7．已知二次函数 f  x   D． ） 1 2 x  1 ,过点 M a, 0 作直线 l , l 与 f  x  的图象相切于   A, B 两点,则直线 1 2 4 A．过定点 ( 0,1) B．过定点 C．过定点  a,1 D．过定点  0, 2   a, 2  8．设定义在 (0, �) 的函数 f  x  的导函数为 f �  x  ，且满足 f� ( x)  f ( x)  3 x ，则关于 x 的不等式 3 25 �x � �  1� f ( x  3)  f (3)  0 的解集为（ �3 � A．  3, 6  B．  0,3 ） C．  0, 6  D．  6, � 1 2 x 9．若函数 f  x   x e  ax  a ln x 有 个零点，则实数 的取值范围是（ a 2 2 A．  0, e  B．  0, 2e  C． ( x)  10．已知定义域为 (0, �) 的函数 f ( x) 满足 f � 30  e, � D． ）  2e, � f ( x) 1 2  2 ，且 f (e)  ， 为自然对数的底数， x e e x f ( x) a  x   2 �0 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） 若关于 的不等式 a x x x A． [1, �) B． [2, �) � �  e3  2 e 2  2 , �� � D． � e � e 2 � � , �� C． � e � � 二、多选题 11．已知函数 35 f ( x )  x 图像经过点 ，则下列命题正确的有（ ）． B．若 x  1 ，则 f ( x )  1 A．函数为增函数 D．若 0  x1  x2 ，则 C．函数为奇函数 12．（多选题）关于函数 (8, 2) f  x   lg f  x1   f  x2  x2  1  x �0  x ，则下列说法正确的是（ 2 ） �x  x �  f �1 2 � � 2 � 5 A．其图象关于 y 轴对称 f  x B．当 x  0 时， 40 C． D． f  x f  x 的最小值是 是增函数；当 x  0 时， f  x 是减函数 lg 2 无最大值，也无最小值 三、填空题 S7  13．已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a3，a5，a10 成等比数列，则 a7 _________. 14．若等差数列 45  an  的前 n 项和为 15．已知在等比数列 16．已知  an  中， f ( x)  2 x3  6 x2  3 Sn a1  1 ， 且 S4  52, a4  a7  50 a1 , a2 , a3  1 ，对任意的 ，则 a10a11  成等差数列﹐则 x �[2， 2] 都有 f ( x ) �a  an  ___________. 的通项公式 an  _________． a ，则 的取值范围为_______. 17．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=2，且 a2，a4，a8 成等比数列.则数列{an}的通项公 式为___________. e x  ax  a  0 的解集为 (m，n) ( n  0 )，且 (m，n) 中只有一个整数，则实数 18．若关于 x 的不等式 x � 50 a 的取值范围是_________． 四、解答题 19．在公差不为零的等差数列 （1）求数列 （2）令 bn  {an } {an } 中， a3  8 且 a3 ， a11 ， a43 成等比数列. 的通项公式; 1 a  an  2 ，求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . 2 n 55 20．已知函数 f  x   ln x  k  x  为 f  x  导函数． e x （其中 k �R, e  2.71828L 是自然对数的底数）， f � y  f  x (1, f (1)) （1）当 k  2 时，其曲线 在点 处的切线方程； 60 （2）若 x � 0,1 时， f�  x  0 都有解，求 k 的取值范围；  1  0 ，试证明：对任意 （3）若 f � x  0, f �  x  e 2  1 x 2  x 恒成立. 65 21．已知等差数列 {an } 中， a1  a4  a7  15 ， a2 a4 a6  45 ，求此数列的通项公式． 70 75 bn 1  an 1  an 22．已知数列{an}满足 an+2+an=2an+1（ n �N ），数列  bn  满足 bn （ n �N * ），且 * a1=b1，a3=5，a5+a7=22. （1）求 an 及 bn； * （2）令 cn=anbn， n �N ，求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 80 23．设数列  an  的前 n 项和为 Sn ，对任意正整数 n ， 3an  2S n  2 . （Ⅰ）求数列 85 （Ⅱ）求证：  an  的通项公式； Sn 2 Sn  S n12 . 90 1 3 2 24．已知函数 f ( x)  x  x  3ax(a �R ) . 3 （1）若 10 f  x 在 x  1 时，有极值，求 a 的值； （2）在直线 x  1 上是否存在点 P ，使得过点 P 至少有两条直线与曲线 y  f  x 相切？若存在，求 出 P 点坐标；若不存在，说明理由.参考答案 95 1．B 因为 S 4 �2 S 2 ，所以公比 q �1 ， � a1 2 �1  q (1  q )  6 5 1 � 1  q 2  , q 2  � a 15 4 4 因此 � 1 (1  q 4 )  � 1 q 2 � 1 1 Q an  0  q  , a1  4  a2  4 �  2 2 2 100 故选：B 2．C 由题意，五种规格党旗的长 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 d (单位:cm)成等差数列，设公差为 ， a5  a1 96  288  48 ， 因为 a  288 ， a5  96 ，可得 d  5  1  3 1 可得 105 a3  288  (3  1) �(48)  192 ， a � b 192 �192 a1 a3  b3 = 3 1   128 a1 288 . 又由长与宽之比都相等，且 b1  192 ，可得 b1 b3 ，所以 故选：C. 3．D 解：∵f（x）＝x3﹣ax 在[1，+∞）上是单调增函数 ∴f′（x）＝3x2﹣a≥0 在[1，+∞）上恒成立． 110 即 a≤3x2 ∵x∈[1，+∞）时，3x2≥3 恒成立 ∴a≤3 ∴a 的最大值是 3 故选 D． 115 4．A 2 2 2 2  a  d    a5  d   40d   a9  d    a9  d  ， ∵ a4  a6  40d  a8  a10 ，∴ 5 2 即 2 2 a92  a52  20d ,  a9  a5   a9  a5   4d  a9  a5   20d , a9  a5  5 ∴ a1  a2  L  a13  2 ， 13 13 65  a1  a13    a5  a9   ， 2 2 2 故选：A 120 5．A 设等差数列的公差为 d，等比数列的公比为 q， 则有 1  3d  9 解之可得 d ， 1� q4  9 ， 8 2 3 ， q  3， 8  b2  a2  a1   1�q 2 �  8 . 3 125 故选：A. 6．D 解： Q f  x    x 2  x  1 e x 求导得： f�  x    2 x  1 e x   x 2  x  1 e x   x 2