河南省温县一中 2021-2022 学年上学期高二开学月考 试题 文科数学试卷 满分 150 分，时间：120 分钟 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．若虚数 z 满足 z (1  i) | z | ，则 z  （ ） A． 1  i B． 1  i C． 1  i D． 1  i 2．如图 1、图 2 分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图．根据统计图，下 列对两户居民旅游支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是 （　　） 2 A．甲户比乙户大 B．乙户比甲户大 C．甲、乙两户一般大 D．无法确定哪一户大 3．已知 m，n 是两条直线．α，β 是两个平面，下列说法正确的是 （ ） A．若 m∥n，n∥α，则 m∥α B．若 α⊥β，m⊂α，则 m⊥β C．若 m∥α，n⊂α，则 m∥n D．若 m⊂α，m⊥β，则 α⊥β 4．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．其中，田忌的上等马优于齐王的中等马 ， 劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌 的下等马劣于齐王的下等马．若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各 1 匹， 且双方各自随机选 1 匹马进行 1 场比赛，则田忌的马获胜的概率为 （　　） A． B． C． D． 5 ．如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，已知 ，则 （　　） ＝ A． B． C． D． 6．四名同学各掷骰子 5 次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果， 可以判断出一定没有出现点数 6 的是 （　　） A．平均数为 3，中位数为 2 B．中位数为 3，众数为 2 C．平均数为 2，方差为 2.4 D．中位数为 3，方差为 2.8 7．已知向量 ， 满足| |＝1，| |＝2， 与 的夹角为 ，向量 是与 同向的单位向 量，则向量 + 在向量 上的投影向量为 （　　） A． B．2 C．﹣ D．﹣2 8．如图，无人机在离地面高 200m 的 A 处，观测到山顶 M 处的仰角为 15°、山脚 C 处 的俯角为 45°，已知∠MCN＝60°，则山的高度 MN 为 （　　） A．300m B． m C． m D．275m  f ( x)  sin(3 x  ) 6 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 6 倍（纵坐标不 9． 将函数 变），再将所得到的图象向右平移 m(m  0) 个单位长度，得到函数 g ( x) 的图象． 若 g ( x) 为奇函数，则 m 的最小值为 （　　）   A． 18 B． 9 10．在 VABC 中，下列说法错误的是 　） A．若 A  B ，则 sin A  sin B  C． 6 B．存在 VABC 满足 cos A  cos B �0 C．若 sin A  cos B ，则 VABC 为钝角三角形 D．若 C   ，则 sin C  sin 2 A  sin 2 B 2  D． 3 （ 11．在棱长为 2 的正方体 ABCD  A1 B1C1 D1 中，平面   B1 D ，则以平面  截正方体 所得的截面面积最大时的截面为底面，以 B1 为顶点的锥体的外接球的表面积为 （　　） A． B． 12 25 3 C． 20 3 D． 6 2 x  3, x �0 � � f x    � 12 ． 已 知 函 数 ，若存在三个实数 ，使得 2 x m �n �q �2  1 , x  0 1 1 1 f  m   f  n   f  q  成立，则 2m  2n  2q 的取值范围是 （　　） �5 1 �  2 2 � C． 2, 2 2 �2 2 �  B． � , A．  0,1  D．  0,1 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，设＝a，＝b，＝c，A1C1 与 B1D1 的交点为 E，则＝____ ____. 14.已知 A(3,2,-4),B(5,-2,2),则线段 AB 中点的坐标为　　　　. 15．在空间四边形 ABCD 中，·＋·＋·＝________. 第 13 题 第 14 题 16．(多填题 2+3)如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，设 AD＝AA1 ＝1，AB＝2，P 是 C1D1 的中点，则·＝________，与所成角的大小为________． 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ． 17 (1) 已 知 直 线 求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限； (2) 为使直线 l 不经过第二象限，求 a 的取值范围。 l ： 5ax  5 y  a  3  0 。 18．如图，长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点 P 为 DD1 的中点． （1）求证：直线 BD1∥平面 PAC； （2）求异面直线 BD1 与 AP 所成角的大小． 19．某校高二（9）班决定从 a，b，c 三名男生和 d，e 两名女 生中随机选 3 名进入学生会． （1）求“女生 d 被选中”的概率； （2）求“男生 a 和女生 e 恰好有一人被选中”的概率． 20．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，点 E 是底面 ABCD 对角线 AC 上一点，PE＝2 ，△PCD 是边长为 2 的正三角形，DE＝CE＝BE，∠CED＝120°． （1）证明：PE⊥平面 ABCD； （2）若四边形 ABED 为平行四边形，求四棱锥 P﹣ABCD 的体积． 21．如图，在△ABC 中，AB＝2，DC＝ ，CB 的垂直平分线交边 AC 于点 D． （1）求 AD 的长； （2）若 AD＞AB，求 sin∠ACB 的值． 22．某市供水管理部门随机抽取了 2021 年 2 月份 200 户居民的用水量，经过整理得到如下 的频率分布直方图． （1）求抽取的 200 户居民用水量的平均数； （2）为了进一步了解用水量在[6，8），[8，10），[10，12]范围内的居民用水实际情 况，决定用分层抽样的方法抽取 6 户进行电话采访． （ⅰ）各个范围各应抽取多少户？ （ⅱ）若从抽取的 6 户中随机抽取 3 户进行入户调查，求 3 户分别来自 3 个不同范围的 概率． 文科数学答案 1-5 AADCC 6-10 CBADB 11-12 BB 13、－a＋b＋c 14、(4,0,-1) 15、0 16、1,60°. (1) Q 17 ． 证 明 ： 直 线 l 为 5ax  5 y  a  3  0 a(5 x  1)  (5 y  3)  0 即 ， ， 5x  1  0 � � 5 y  3  0 ， � � 1 x � � 5 解得 � 3 ， �y  � 5 �1 3 � �, �  不论 a 为何值，直线 l 总过第一象限的点 �5 5 �， 即直线 l 过第一象限. (2) Q 解：根据题意，画出图形，如图所示： 直 线 l 不 经 过 第 二 象 限 ， a  3�0 ， 即 a�3 ， 的 l a 的取值范围是 斜 率 a 满 足 a�3 ， {a | a�3}. 18． 【解答】（1）证明：设 AC 和 BD 交于点 O，则 O 为 BD 的中点． 连结 PO，又因为 P 是 DD1 的中点，所以 PO∥BD1． 又因为 PO⊂平面 PAC，BD1⊄平面 PAC 所以直线 BD1∥平面 PAC． （2）解：由（1）知，PO∥BD1，所以∠APO 即为异面直线 BD1 与 AP 所成的角． 因为 ， 所以 且 PO⊥AO， ． 又∠APO∈（0°，90°]，所以∠APO＝30° 故异面直线 BD1 与 AP 所成角的大小为 30°． 19． 解：（1）从 a，b，c 三名男生和 d，e 两名女生中任选 3 名的可能选法有 abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，共 10 种选法， 其中女生 d 被选中的有 abd，acd，ade，bcd，bde，cde，共 6 种选法， 所以女生 d 被选中的概率 ； （ 2 ） 据 （ 1 ） 求 解 知 ， 男 生 a 和 女 生 e 恰 好 有 一 人 被 选 中 有 abc，abd，acd，bce，bde，cde，共 6 种选法， 所以“男生 a 和女生 e 恰好有一人被选中”的概率 20． 解：（1）证明：∵DC＝DP＝CP＝2 ，ED＝EC， ∠CED＝120°， ∴ED＝EC＝2， ∵ ， ∴PE⊥ED，PE⊥EC， ∵ED，EC 是平面 ABCD 内的两条相交线， ∴PE⊥平面 ABCD； （2） 当四边形 ABED 为平行四边形时， ∵BE＝DE， ∴四边形 ABED 为菱形， 结合∠CED＝120°， 可得：AE＝2，MD＝ ∴SABCD＝2S△ACD ＝2× ＝4 ， ∴VP﹣ABCD＝ ， ． ＝ ． 故四棱锥 P﹣ABCD 的体积为： ． 21． 解：（1）在△ADB 中，由余弦定理可得， ， 整理得 20AD2﹣64AD+35＝0， 即（2AD﹣5）（10AD﹣7）＝0， 所以 或 ； （2）因为 AD＞AB，由（1）得 ， 所以 AC＝AD+DC＝4， 在△ABC 中，由余弦定理得 所以 ， ， 由 ，得 ， 在△ABC 中，由正弦定理得 则 ， 所以 ． ， 22． 解 ： （ 1 ） 抽 取 的 200 户 居 民 用 水 量 的 平 均 数 +9×0.05+11×0.025）×2＝5.2（立方米）． （2）（ⅰ）将用水量在[6，8），[8，10），[10，12]范围内的居民数分成三层，各层 频率分别为 0.075×2＝0.150，0.050×2＝0.100，0.025×2＝0.050， 所以用水量在[6，8）范围内的应抽取 （户）， 用水量在[8，10）范围内的应抽取 （户）， 用水量在[10，12]范围内的应抽取 （户）． （ⅱ）记“3 户分别来自 3 个不同范围”为事件 A，抽取的用水量在[6，8）范围内的 3 户 分别记为 a1，a2，a3， 抽取的用水量在[8，10）范围内的 2 户分别记为 b1，b2，抽取的用