2021-2022 学年新人教（2019）A 版高中数学选择性必修第一册 第三章 质量评估卷 (附答案解析) (时间:120 分钟　分值:150 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目 要求的. 1.已知 A(0,-5),B(0,5),|PA|-|PB|=2a(a>0),当 a=3 和 a=5 时,点 P 的轨迹分别为(　　) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和两条射线 C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线 2.抛物线 x2=4y 的焦点坐标是(　　) A.(0,2) B.(2,0) C.(0,1) D.(1,0) 3.已知双曲线的实轴长为 2,焦点为(-4,0),(4,0),则该双曲线的标准方程为(　　) x2 y2 A. =1 12 4 2 x2 y2 B. =1 4 12 2 y C.x =1 15 y D. -x2=1 15 2 x2 y2 4.若 a>1,则双曲线 =1 的离心率 e 的取值范围是(　　) a2 ( a+ 1) 2 A.( ❑ √2 ,2) C.(2,5) ❑ √2 B.( D.(2, ❑ √5 2 , ❑ √5 ) ) 2 x y 2 2 2 + 2 =1(a>b>0)的一个焦点为圆 x +y -6x+8=0 的圆心,且短轴长为 8,则椭圆 a b 5.已知椭圆 的左顶点为(　　) A.(-3,0) B.(-4,0) C.(-10,0) D.(-5,0) x2 y2 6.若椭圆 + =1 的弦 AB 的中点为(-1,-1),则弦 AB 的长为(　　) 4 2 ❑ A. √ 30 3 B. 2 ❑√ 6 3 ❑ C. √ 10 3 ❑ √ 15 D. 3 x2 y2 7.设 F1,F2 分别是双曲线 C: =1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点.过点 F2 作双曲线 a2 b2 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 P.若|PF1|= A. C. ❑ √5 ❑ √3 ❑ √6 |OP|,则双曲线 C 的离心率为(　　) B.2 D. ❑ √2 8.已知 F1,F2 是椭圆与双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且|PF1|>|PF2|,线段 PF1 的垂直平分线 2 过 F2,若椭圆的离心率为 e1,双曲线的离心率为 e2,则 e + 1 A. ❑ √6 e2 的最小值为(　　) 2 B.3 C.6 ❑ √3 D. 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对 的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分. 9.已知曲线 C:mx2+ny2=1,下列说法正确的是(　　) A.若 m=0,n>0,则 C 是两条直线 B.若 m=n>0,则 C 是圆,其半径为 ❑ √n C.若 m>n>0,则 C 是椭圆,其焦点在 x 轴上 D.若 mn<0,则 C 是双曲线,其渐近线方程为 y=± B.渐近线方程为 C.离心率为 ❑ √2 ❑ √7 - m x n x2 y2 =1,则下列说法正确的是(　　) 9 7 10.已知双曲线的方程为 A.焦点坐标为(± √ ❑ ,0) x±3y=0 4 3 ❑ D.焦点到渐近线的距离为 11.已知椭圆 C: √ 14 4 x2 y2 + =1 内一点 M(1,2),直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,且 M 为线段 AB 的中点, 4 8 则下列结论正确的是(　　) A.椭圆的焦点坐标为(2,0),(-2,0) B.椭圆 C 的长轴长为 2 ❑ √2 C.直线 l 的方程为 x+y-3=0 D.|AB|= 4 ❑√ 3 3 12.已知抛物线 y2=8x 的焦点为 F,点 A 是抛物线上的动点,设点 B(-2,0),当 | AF | | AB | 取得最小值时,满足 (　　) ❑ A.AB 的斜率为± √2 3 B.|AF|=4 ❑ √ 5+1 C.△ABF 内切圆的面积为 π 2 ❑ √2 D.△ABF 内切圆的面积为(24-16 )π 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若抛物线 y2=2px(p>0)经过点(2,1),则 p=__________. 2 14.直线 l:y=kx+2 与椭圆 C: x 2 +y2=1 有公共点,则 k 的取值范围是__________. 15.在平面直角坐标系 Oxy 中,设 P 为两动圆(x+2)2+y2=(r+2)2,(x-2)2+y2=r2(r>1)的一个交点,记动 点 P 的轨迹为 C,给出下列三个结论: ① 曲线 C 过坐标原点; ② 曲线 C 关于 x 轴对称; ③ 设点 P(x,y),则有|y|<2|x|. 其中,正确结论的序号是______________. 16.已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F1PF2= 双曲线的离心率为 e2,则 π 3 ,椭圆的离心率为 e1, 1 3 = 4. 2 + e1 e22 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 17.(10 分)求与椭圆 2 x y + =1 有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程,并求出这条双曲线的 144 169 实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程. 18.(12 分)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的通径长为 4. (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)若直线 l 与抛物线 C 交于 P,Q 两点,M(3,2)是线段 PQ 的中点,求直线 l 的 方程. x2 y2 19.(12 分 ) 已 知 椭 圆 E: + =1(a>b>0) 的 离 心 率 为 a2 b2 ❑ √3 2 ,且过点 ( √3 , 12 ) ❑ ,直线 l:y=x+m 与 y 轴交于点 P,与椭圆 E 交于 M,N 两点. (1)求椭圆 E 的标准方程; MP =3 ⃗ PN ,求实数 m 的值. (2)若 ⃗ 20.(12 分 ) 已 知 抛 物 线 C:y2=2px(p>0) 的 焦 点 为 F, 点 M 为 抛 物 线 C 上 一 点 ,|MF|=8, 且 ∠ OFM= 2π 3 (O 为坐标原点). (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,求△AOB 面积的最小值. 2 21.(12 分)已知椭圆 C1: 2 x y =1(a>b>0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合,椭圆 C1 的中心 2 + a b2 与抛物线 C2 的顶点重合.过 F 且与 x 轴垂直的直线交椭圆 C1 于 A,B 两点,交抛物线 C2 于 C,D 两点,且|CD|= 4 3 |AB|. (1)求椭圆 C1 的离心率; (2)若椭圆 C1 的四个顶点到抛物线 C2 的准线距离之和为 12,求椭圆 C1 与抛物线 C2 的标准方程. 22.(12 分)已知三个条件:① 离心率 e= 1 2 ;② 椭圆 C 过点 (1 , 32 ) ;③△PF1F2 面积的最大值为 ❑ √3 在这三个条件中任选一个,补充在下面(横线处)问题中,并解决下面两个问题. x2 y2 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 且斜率为 k 的直线 l 交椭圆于 设椭圆 C: a2 b2 P,Q 两点,已知椭圆 C 的短轴长为 2 ❑ √3 ,_______ __. (1)求椭圆 C 的方程; | PQ | (2)若线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 N,求证: | N F | 1 为定值. . 2021-2022 学年新人教（2019）A 版高中数学选择性必修第一册 第三章 质量评估卷 (附答案解析) (时间:120 分钟　分值:150 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目 要求的. 1.已知 A(0,-5),B(0,5),|PA|-|PB|=2a(a>0),当 a=3 和 a=5 时,点 P 的轨迹分别为 (　　) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和两条射线 C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线 解析:当 2a<|AB|时,表示双曲线的一支;当 2a=|AB|时,表示一条射线. 答案:D 2.抛物线 x2=4y 的焦点坐标是(　　) A.(0,2)B.(2,0) C.(0,1)D.(1,0) p 2 =1,焦点在 y 轴上,开口向上,所以焦点坐标为(0,1). 解析:因为抛物线 x2=4y 中,p=2, 答案:C 3.已知双曲线的实轴长为 2,焦点为(-4,0),(4,0),则该双曲线的标准方程为(　　) x2 y2 x2 y2 A. =1B. =1 12 4 4 12 y2 y2 =1D. -x2=1 15 15 C.x2- 解析:由题意,得 c=4,a=1,所以 b2=c2-a2=16-1=15.因为双曲线以(-4,0),(4,0)为焦点,所以双曲线的标 2 准方程是 x2- y =1. 15 答案:C x2 y2 =1 的离心率 e 的取值范围是(　　) a2 ( a+ 1) 2 4.若 a>1,则双曲线 A.( ❑ √2 ,2)B.( C.(2,5)D.(2, ❑ √2 ❑ √5 以当 a>1 时,0< ❑ c a 2 √5 ) ) 解析:由题意,得 e = 2 , () 2 a +( a+ 1) = 2 a 1 2 a <1,所以 2<e <5,所以 2 ❑ √2 =1+ <e< 1 a 2 ( ) 1+ ❑ √5 .因为 1 a 是随着 a 的增大而减小的,所 . 答案:B x2 y2 5.已知椭圆 + =1(a>b>0)的一个焦点为圆 x2+y2-6x+8=0 的圆心,且短轴长为 8,则椭圆 a2 b2 的左顶点为(　　) A.(-3,0)B.(-4,0) C.(-10,0)D.(-5,0) 解析:因为圆的方程可化为(x-3)2+y2=1,所以圆心坐标为(3,0),所以 c=3.由题意,知 b=4,所以 a= √ b2 +c 2 ❑ 答案:D =5.因为椭圆的一个焦点为(3,0),所以椭圆的左顶点为(-5,0). x2 y2 +