2020-2021 学年北京十九中高二（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，共 48.0 分） 1．设 z＝（2+i）i，则复数 z 的虚部为（　　） A．2i B．2 C．1 D．i 2．直线 l 经过原点和（1，﹣1），则它的倾斜角是（　　） A．45° B．﹣45° C．135° D．45°或 135° 3．已知圆（x+1）2+y2＝2，则其圆心和半径分别为（　　） A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C．（1，0）， D．（﹣1，0）， 4．经过点 A（8，﹣2），斜率为﹣2 的直线方程为（　　） A．x+2y﹣4＝0 5．在复平面内，复数 A．第一象限 B．x﹣2y﹣12＝0 C．2x+y﹣14＝0 D．x+2y+4＝0 对应的点位于（　　） B．第二象限 C．第一象限 D．第四象限 6．抛物线 y2＝4x 上一点 P 到焦点 F 的距离为 5，则 P 点的横坐标为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直，AB＝ ，AF＝1，M 在 EF 上， 且 AM∥平面 BDE，则 M 点的坐标为（　　） A．（1，1，1） ，1） B．（ ， ，1） C．（ ， ，1）D．（ ， 上一点 P 到一个焦点的距离为 3，则点 P 到另一个焦点的距离为（ 8．已知椭圆 ） A．2 B．5 C．6 D．7 9．圆 x2+y2+4x﹣2y+1＝0 截 x 轴所得弦的长度等于（　　） A．2 B．2 C．2 10．已知点 M（﹣2，0），N（2，0），动点 P 满足条件 D．4 ．则动点 P 的 轨迹方程为（　　） A． C． ﹣ 11．设点 A（﹣ （x＞0） B． ＝1（x＞0） D． ，0），B（ ，0），M 为动点，已知直线 AM 与直线 BM 的斜率之积 为定值 ，点 M 的轨迹是（　　） A． B． C． D． 12．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 C：（x2+y2）3＝4x2y2 被称为“四叶玫瑰线”（如图 所示）．给出下列三个结论： ① 曲线 C 关于直线 y＝x 对称； ② 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 1； ③ 存在一个以原点为中心、边长为 界）． 的正方形，使曲线 C 在此正方形区域内（含边 其中，正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题（本大题共 4 小题，共 16.0 分） 13．已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（﹣2 椭圆的标准方程是 　 14．椭圆 + ，0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该 　． ＝1 的离心率 e＝　 　． 15 ． 如 图 所 示 ， 在 长 方 体 ABCD﹣A1B1C1D1 中 ， AB ＝ BC ＝ 2， AA1 ＝ 1 ， 则 BC1 与 平 面 BB1D1D 所成角的余弦值为 　 　． 16．已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果 （4，2，0）， ＝（2，﹣1，﹣4）， ＝（﹣1，2，﹣1）．对于结论：① AP⊥AB；② AP⊥AD；③ 面 ABCD 的法向量；④ ∥ ．其中正确的是 　 ＝ 是平 　． 三、解答题（本大题共 2 小题，共 36 分） 17．（18 分）已知抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，点 M（2，m）为其上一点，且| MF|＝4． （1）求 p 与 m 的值； （2）如图，过点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点，求直线 OA、OB 的斜率之积． 18．（18 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形，四边形 ADPQ 是梯形， PD∥QA，∠PDA＝ ，平面 ADPQ⊥平面 ABCD，且 AD＝PD＝2QA＝2． （Ⅰ）求证：QB∥平面 PDC； （Ⅱ）求二面角 C﹣PB﹣Q 的大小； （Ⅲ）已知点 H 在棱 PD 上，且异面直线 AH 与 PB 所成角的余弦值为 DH 的长． ，求线段 参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，共 48.0 分） 1．设 z＝（2+i）i，则复数 z 的虚部为（　　） A．2i B．2 C．1 D．i 【分析】根据复数的运算性质计算出 z，即可得到答案． 解：z＝（2+i）i＝﹣1+2i， 所以 z 的虚部为 2， 故选：B． 2．直线 l 经过原点和（1，﹣1），则它的倾斜角是（　　） A．45° B．﹣45° C．135° D．45°或 135° 【分析】利用斜率的计算公式先求出直线的斜率，再利用正切函数求出直线的倾斜角． 解：∵直线 l 经过坐标原点和点（1，﹣1）， ∴直线 l 的斜率 k＝ ＝﹣1， ∴直线 l 的倾斜角 α＝135°． 故选：C． 3．已知圆（x+1）2+y2＝2，则其圆心和半径分别为（　　） A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C．（1，0）， D．（﹣1，0）， 【分析】利用圆的标准方程，即可得出结论． 解：圆（x+1）2+y2＝2 的圆心为（﹣1，0）， 半径为 ． 故选：D． 4．经过点 A（8，﹣2），斜率为﹣2 的直线方程为（　　） A．x+2y﹣4＝0 B．x﹣2y﹣12＝0 C．2x+y﹣14＝0 【分析】先求出直线方程的点斜式，然后化为一般式即可． D．x+2y+4＝0 解：由题意得，经过点 A（8，﹣2），斜率为﹣2 的直线方程为 y+2＝﹣2（x﹣8）， 即 2x+y﹣14＝0． 故选：C． 5．在复平面内，复数 A．第一象限 对应的点位于（　　） B．第二象限 C．第一象限 D．第四象限 【分析】先对复数进行化解，然后由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案． 解： ＝ ＝ 对应点（ ）在第一象限． 故选：A． 6．抛物线 y2＝4x 上一点 P 到焦点 F 的距离为 5，则 P 点的横坐标为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， 已知|MF|＝5，则 M 到准线的距离也为 5，即点 M 的横坐标 x+ ，将 p 的值代入，进而 求出 x． 解：∵抛物线 y2＝4x＝2px，∴p＝2， 由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， ∴|MF|＝5＝x+ ，∴x＝4， 故选：B． 7．如图，正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直，AB＝ 且 AM∥平面 BDE，则 M 点的坐标为（　　） ，AF＝1，M 在 EF 上， A．（1，1，1） B．（ ， ，1） C．（ ， ，1）D．（ ， ，1） 【分析】设 AC、BD 交于点 O，连结 OE，由已知推导出 OAME 是平行四边形，从而 M 是 EF 的中点，由此能求出点 M 的坐标． 解：设 AC、BD 交于点 O，连结 OE， ∵正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直，AB＝ ，AF＝1 M 在 EF 上，且 AM∥平面 BDE， ∴AM∥OE，又 AO∥EM，∴OAME 是平行四边形， ∴M 是 EF 的中点， ）， ∵E（0，0，1），F（ ∴M（ ）． 故选：C． 8．已知椭圆 上一点 P 到一个焦点的距离为 3，则点 P 到另一个焦点的距离为（ ） A．2 B．5 C．6 D．7 【分析】先根据条件求出 a＝5；再根据椭圆定义得到关于所求距离 d 的等式即可得到结 论． 解：设所求距离为 d，由题得：a＝5． 根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于 2a 得：2a＝3+d⇒d＝2a﹣3＝ 7． 故选：D． 9．圆 x2+y2+4x﹣2y+1＝0 截 x 轴所得弦的长度等于（　　） A．2 B．2 C．2 D．4 【分析】首先令 y＝0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长． 解：令 y＝0，则圆的方程转换为 x2+4x+1＝0， 所以 x1+x2＝﹣4，x1x2＝1， 所以 ＝ ． 故选：B． 10．已知点 M（﹣2，0），N（2，0），动点 P 满足条件 ．则动点 P 的 轨迹方程为（　　） A． C． ﹣ （x＞0） B． ＝1（x＞0） D． 【分析】根据已知条件，结合双曲线的定义可得，点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点的双曲 线的右支，即可求解． 解：由题意可知，点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点的双曲线的右支， ∵点 M（﹣2，0），N（2，0），动点 P 满足条件 ∴ ， ∴ ∴动点 P 的轨迹方程为 故选：A． ， （x＞0）． ， 11．设点 A（﹣ ，0），B（ ，0），M 为动点，已知直线 AM 与直线 BM 的斜率之积 为定值 ，点 M 的轨迹是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合斜率公式，即可求解． 解：设动点 M（x，y）， 则 ， （x≠ ）， ∵直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为定值 ， ∴ ，化简可得， 故点 M 的轨迹方程为 ， ． 故选：C． 12．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线 C：（x2+y2）3＝4x2y2 被称为“四叶玫瑰线”（如图 所示）．给出下列三个结论： ① 曲线 C 关于直线 y＝x 对称； ② 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 1； ③ 存在一个以原点为中心、边长为 界）． 其中，正确结论的序号是（　　） 的正方形，使曲线 C 在此正方形区域内（含边 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【分析】对于①，用（y，x）替换方程中的（x，y），方程形式不变，即可求解，对于 ②，设点 P（x，y）是曲线上任意一点，则（x2+y2 ）3 ＝4x2y2 ，则点 P 到原点的距离为 ，再结合基本不等式的公式，即可求解，对于③，由②可知，包含该曲线的以 原点为圆心的最小的圆的半径为 1，所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切 圆，即可求得正方形的边长最短为 2，即可求解． 解：对于①，用（y，x）替换方程中的（x，y），方程形式不变， 所以曲线 C 关于直线 y＝x 对称，故①正确， 对于②，设点 P（x，y）是曲线上任意一点，则（x2+y2）3＝4x2y2， 则点 P 到原点的距离为 ， 由（x2+y3）3＝4x2y2≤ ，解得 ，故②正确， 对于③，由②可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为 1， 所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形