高二数学试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合题目要求的． 1．从个体编号为 1, 2,3�,1000 的总体中，用系统抽样(等距)的方法抽取 20 个个体，若 抽取的第一个个体的编号为 3, 则抽取的最后一个个体的编号为（ ） A． 903 B． 953 2．直线 l 经过点 围是（ A  1, 2  C． 963 ，在 x 轴上的截距的取值范围是  3,3 ，则其斜率 k 的取值范 ） 1� � 1,  � � 5� A． � C． D． 973 � 1� 1, � � B． � 2 � 1 �5 �  �, 1 �� � , �� � D． 1 �2 �  �, 1 �� � , �� � 3．更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种求最大公约数算法，下图 是该算法的程序框图，如果输入 a  102 ， b  238 ，则输出的 a 值是（ A．17 4．已知点 B．34 M  2, 0  ，过点 N  2, 0  C．36 作直线 2ax   a  b  y  4b  0 ） D．68 （ a ， b 不同时为 0） 的垂线，垂足为 H ，则 A． 2 5 3 B． P  ABC 5．在三棱锥 OP  底面 MH ABC 中， ，则点 2 3 A． 3 O 的最小值为（ ） 2 52 C． AB  BC 到平面 ， PAB 2 5 1 AB  BC  2 2 的距离为（ 3 B． 3 ， D． PA  2 2 7．经过圆 B． 6 C ： ABCD  A1B1C1D1 的中点， 中， 的圆心，并且与直线 ） 3 2 D． 2 C． 11 x2  y 2  6 x  5  0 AC 8 3 D． 3 �A1 AB  �A1 AD  �BAD  60� AB  AD  1 A1 A  2 AC1  ， ， ，则 （ A． 3 是 ） 4 3 C． 3 6．平行六面体（底面是平行四边形的棱柱） O ，点 2 5 x  y 1  0 垂直的直线方程（ ） A． C． x y3 0 x y3 0 8．已知双曲线 A． 4 x2  D． C : ( x  4)2  y 2  4 引切线，切点分别是 A．  4 7 x  y 3  0 x  y 3  0 y2 1 a 的一条渐近线与直线 x－2y＋3＝0 垂直，则 a＝（ C． 2 B． 3 9．已知圆 C B． E ， ，从动圆 F B．  ，则 28 9 D．1 M : ( x  4  7 cos  )2  ( y  7sin  ) 2  1 uur uuu r CE � CF 的最小值是（ C． 4 7 ） P 上的动点 向圆 ） D．  7 2 10．某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了 200 名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在 50 分至 100 分之间，进行适当 分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的 是（ ） A．直方图中 x 的值为 0.004 B．在被抽取的学生中，成绩在区间[70，80）的学生数为 15 人 C．估计全校学生成绩的样本数据的 80%分位数约为 93 分 D．估计全校学生的平均成绩为 84 分 x2  y 2  1 11．若一动点 C 在曲线 程是（ A． 上移动，则它和定点 B  3, 0  的连线的中点 P 的轨迹方 ）  x  3 2  y2  4 B．  x  3 2  y2  1 2 � 3� 2 x  � y  1 D． � � 2� C．  2 x  3  4 y 2  1 2 12．如图，菱形 ABCD 边长为 2， �BAD  60�， E 为边 AB 的中点，将 VADE 沿 DE 折 起，使 A 到 是（ A� ） C ① BD  A� ，且平面 A� DE  平面 BCDE ，连接 A� B, A� C ，则下列结论中正确的个数 3 ② 点 B 到平面 A�CD 的距离为 2 ③ 异面直线 BC 与 3 所成角的余弦值为 4 A� D A． 0 个 B． 1 个 C． 2 个 D． 3 个 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．某工厂生产 A ， B ， C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为 2 : 3 : 5 ，现用 分层抽样的方法抽出容量为 n 的样本，样本中 A 型产品有 12 件，那么样本容量 n 为___ ________. 14．把某校三年级一班 40 人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表： 统计量 平均成绩 标准差 第一组 90 6 第二组 80 4 组别 全班学生的标准差为___________ 15．在 VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 c cos A  a cos C  2 ， AC 边上的高为 3 ，则 �ABC 的最大值为__________ 16．如图， E ， F 分别是四边形 ABCD 的边 AD ， BC 的中点， AB  1 ， CD  2 ， �ABC  75� �BCD  45� EF ， ，则线段 的长是___________. 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 VABC 的三个顶点 A  m, n  ， B  2,1 ， C  2,3  ． （1）求 BC 边所在直线的方程； （2） BC AD 边上中线 的方程为 2x  3 y  6  0 ，且 VABC 7 的面积等于 ，求点 A 的坐 标． 18．（本小题满分 12 分） 发展特色农业是我国农业结构战略调整的要求，某县为了响应国家的号召，特地承包 了一块土地，已知土地的使用面积 x（单位：公顷）与相应的管理时间 y（单位：月） 的关系如下表所示： 土地使用面积 x 1 2 3 4 5 管理时间 y 8 11 14 24 23 调查了某村 300 名村民参与管理的意愿，得到 2 �2 列联表的部分数据如下表所示： 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 140 60 女性村民 40 总计 总计 （1）画出散点图，判断土地使用面积 x 与管理时间 y 是否线性相关，并根据相关系数 r 说明相关关系的强弱；（若 r �0.75 ，认为两个变量有很强的线性相关性，r 值精确 到 0.001） （2）补全 2 �2 列联表，并判断是否有 99.9%的把握认为该村的村民的参与管理意愿与 性别有关. � x  x   y  y  n 参考公式： r i i 1 i � x  x  � y  y  n i 1 2 n i i 1 � y 参考数据： y  16 ， 5 i 1 i 2 i   y  206 ， 515 �22.7 . 19．（本小题满分 12 分） 抛物线的焦点 F 是圆 x2＋y2－4x＝0 的圆心． （1）求该抛物线的标准方程； （2）直线 l 的斜率为 2，且过抛物线的焦点，若 l 与抛物线、圆依次交于 A、B、C、D，求|AB|＋|CD|． 20．（本小题满分 12 分） 如图所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱 AA1=2，M，N 分别 为 A1B1，A1A 的中点. （1）求 BN 的长； （2）求 A1B 与 B1C 所成角的余弦值. 21．（本小题满分 12 分） 如图所示，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB⊥AC，AB＝AC，四边形 BCC1B1 为菱形， BC＝2，∠BCC1＝  BC 3 ，D 为 1 1 的中点． （1）证明：B1C1⊥平面 A1DB； （2）若 AC1＝2，求二面角 C1﹣A1B1﹣C 的余弦值． 22．（本小题满分 12 分） 函数 有 y  f  x 的定义域 D   x x �R f  x1   f  x2   f  x1 x2  （1）求 f  1 （3）若 x  1 时， x �0 ，对定义域 D 内任意两个实数 x1 ， x2 ，都 成立． 的值并证明 （2）若 x  1 时， 且 f  x  0 f  x  0 y  f  x 为偶函数； ，解关于 x 的不等式 ，且不等式 f  x  3 �0 ． f  2 x 2  3x  3 �f  x 2  2 x  2   f  a  数 x 恒成立，求非零实数 a 的取值范围． 对任意实 答案 1．B2．D3．B4．B5．A6．C7．D8．A9．D10．D11．C1 2．C 13．60 14． 51  15． 3 16． 7 2 17． （1） x  2 y  4  0 （2） A  3, 4  或 A  3,0  18．（1）散点图见解析，相关，线性相关性很强；（2） 列联表见解析，有把握. 19．（1）y2＝8x；（2）6. 20． （1） 3 （2） 30 10 21． （1）证明见解析 （2） 15 5 22． （1） f  1  0 ，证明见解析 （2）  2,3 � 3, 4 � 3 � � 3�  ,0� U� 0, � � 2 � � 2� （3） �