4.2.2 等差数列前 n 项和 ◆前 n 项和公式的基础运算 1．（2021·河南·高三月考（理））设等差数列 S9  （  an  Sn ，若 a3  a7  14 ，则 ） A．20 B．35 C．45 2．（2021·重庆巴蜀中学高二期中）已知等差数列 a6  8 的前 n 项和为 ，则数列  an  的公差为（ A．1  an  D．63 Sn 的前 n 项和为 ，若 S8  16 ， ） B．2 C．3 D．4 3．（湖南·长沙一中一模（理））设 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和，若 S 8=4 a 3 ， a7 =−2 ，则 a9 =¿ ________. 4．（2022·上海·高三专题练习）等差数列 为 290，则 an 1  ◆等差数列 （ A．4043 共 2n +1 项，其中奇数项和为 319，偶数项和 _______. S n 与a n 的应用 1．（2021·全国·高三专题练习（理））设 a2021   an  Sn 是数列  an  的前 n 项和，若 S n  n 2  2n ，则 ）． B．4042 C．4041 D．2021 1 1 1 2n  L   Sn n  1 ， 2．（2021·江苏·高二专题练习）已知数列  an  的前 n 项和为 Sn ，且 S1 S2 则数列 A．  an  的通项公式为（ a n  2 n B． ） an   n C． 3．（2021·河南新乡·高二期中（理））已知数列 （1）证明：  an  an  2 n  an  D． 的前 n 项和为 Sn an  n ，且 S n  2n2  n . 是等差数列. � 1 � � � （2）求数列 �an an 1 的前 n 项和 Tn . ◆等差数列前 n 项和最值问题 1．（2021·全国·高二课时练习）已知{an}是等差数列，a1＝－26，a8＋a13＝5，当{an}的前 n 项和 Sn 取最小值时，n 的值为（ A．8 ） B．9 C．10 D．11 2．（2021·山东·胶州市教育体育局教学研究室高二期中）已知等差数列 Sn ， a1  0 ，公差 d 0 A．6 或 7 ， a5  3a7 ．若 Sn n 取得最大值，则 的值为（ B．7 或 8 3．（2021·全国·高二课时练习）设等差数列 当 n＝__________时， Sn C．8 或 9 {an }  an  的前 n 项和为 ） D．9 或 10 的前 n 项和为 Sn ，且 S 2016  0, S 2017  0 最大． ◆等差数列前 n 项和综合应用 1．（2020·河南开封·高二期中（文））已知等差数列 a1  a2  L  a10  （ ）  an  的通项公式为 an  5  n ，则 ，则 A．24 B．25 C．26 D．27 2．（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Sn′，如果 Sn a11 7n  1  � S n 4n  27 (n∈N*)，则 b11 的值是（ A． 7 4 B． ） 3 2 C． 4 3 D． 78 71 3．（2021·江苏苏州·高二期中）《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题： “今有大夫､不更､簪褭､上造､公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次渐多，問各幾 何？”意思是：“有大夫､不更､簪褭､上造､公士（爵位依次变低）5 个人共出 100 钱，按照爵 位从高到低每人所出钱数成等差数列，这 5 个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出 28 钱，则不更出的钱数为（ A．14 ） B．16 C．18 4．（多选）（2021·全国·高二课时练习）记 Sn 为等差数列  an  的前 n 项和，则（ ） S6 S3 S9 B． 3 ， 6 ， 9 成等差数列 A． S3 ， S6  S3 ， S9  S6 成等差数列 C． D．20 S9  2 S 6  S3 D． S 9  3  S 6  S3  巩固提升 一、单选题 1．等差数列 A．  an  范围是（  18,19  a4  3 ，则 S7  （ 21 B． 2 19 2 2．设等差数列 A． 中，  an  的前 n 项和为 ） C．19 Sn ，若 a3  a8  a5  9 D． ，且 S20  0 ， 21 S 21  0 ，则 ） B．  19, 20  C．  20, 21 D．  21, 22  a1 的取值 3．若数列 为（  an  满足 a1  18 ， an1  an  3  n �N *  ，则数列  an  的前 n 项和最小时， n 的值 ） B．6 或 7 A．6 4．设 Sn 为等差数列 A．75 a n  2n  C．7 或 8 的前 n 项和，且 B．141 a2  7 ， D．9 S7  49 ，则 a7  C．7 （ ） D．99 5．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的数学命题：“九百九十六斤绵，分给八子做盘缠， 次第每人多十七，要将第七数来言.”题意是：把 996 斤绵分给 8 个儿子做盘缠，按照年龄从 大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多 17 斤绵，那么第 7 个儿子分到的绵是（ ） A．167 斤 B．184 斤 C．191 斤 D．201 斤 S n 6．设数列  an  的前 n 项和为 S n ， a1  1 ， an  n  2( n  1) ，（ n �N * ），若 S1  S S2 2  L L  n   n  1  2013 ，则 n 的值为（ 2 n A．2012 B．2014 二、多选题 7．设等差数列  an  的前 n 项和为 C．1007 Sn ．若 S3  0 A． Sn  n  3n 2 C． A． C． an  2n  34 a1  a2  L  a16  272 ， D． S n  n 2  33n D．1006 a4  6 B． an  3n  6 8．已知数列{an}的 n 项和为 ）． Sn  ，则（ ） 3n 2  9n 2 an  2n ，则下列说法正确的是（ ） B．S16 为 Sn 的最小值 D．使得 Sn  0 成立的 n 的最大值为 33 9．设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则（ ） 1 A．an＝－ 2n1 1, n  1, � � �1 1  , n �2, n �N * B．an＝ � n  1 n � �1 � � � C．数列 �Sn 为等差数列 1 1 1 +  ..   S100 －5050 D． S1 S 2 10．已知数列{an}满足 a1＝1，nan+1﹣（n+1）an＝1，n∈N*，其前 n 项和为 Sn，则下列选项 中正确的是（　　） A．数列{an}是公差为 2 的等差数列 B．满足 Sn＜100 的 n 的最大值是 9 C．Sn 除以 4 的余数只能为 0 或 1 D．2Sn＝nan 三、填空题 11．已知数列  an  是等差数列， Sn 为其前 n 项和， a1  1 ， S3  6 ，则数列  an  的公差 d  ________． 12．数列{an}为等差数列，它的前 n 项和为 Sn，若 Sn＝(n＋1)2＋λ，则 λ 的值是________. 13．设等差数列  an  的前 n 项和为 Sn ，若 S k 1  12, S k  0, S k 1  15 ，则正整数 k  _______ _． 14．把正整数排成如图（a）的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中 的所有偶数，可得如图（b）三角形数阵，现将图（b）中的正整数安小到大的顺序构成一 个数列  an  ，若 ak  2015 ，则 k  _____. 四、解答题 15．等差数列 （1）求 （2）若  an   an  的前 n 项和为 （2）若 a3  a5  26, S5  45 ． ，求 n 的最小值． 16．在公差不为 0 的等差数列 bn  ，已知 的通项公式； Sn  240 （1）求数列 Sn  an   an  中，前 n 项和为 Sn ， S4  2  a4  1 的通项公式； 1 an � an 1 ，求数列  bn  的前 n 项和为 Tn ． Sn n  17．已知数列  an  的前 n 项和为 S n ， an  1 2 ， a2  3 . ， a22  a62  a42  a52 ． （1）求证：数列  an  是等差数列； （2）从下面两个条件中选一个，求数列 ①  bn  的前 101 项的和 T101 . a  1, n 为奇数 � n bn  �n 2an , n  为偶数 ；② bn  an sin 2 . � 参考答案 ◆前 n 项和公式的基础运算 1．D 依题意，数列 所以 S9 =(  an  是等差数列，所以 a3  a7  2a5  14 ，所以 a5  7 ， a1 +a9 ) �9 =9a5 =63 2 ， 故选：D． 2．D S8  又 8  a1  a8  2  4  a1  a8   4  a4  a5   16. 2a5  a4  a6  a4  8 所以 所以 8  2a4  a4  8 � a4  0 a5  4 所以公差 故选: D . d  a5  a4  4 所以 a4  a5  4 � a5 