综合检测卷 （知识达标卷） 一、单选题 r r 1．已知两条异面直线的方向向量分别是 u  (3, 1, 2), v  (3, 2, 1) ，则这两条异面直线所成的角  满足（ ） A． sin   9 14 2．如图，空间四边形 为 AB 中点，则 uuuu r MN  B． sin   1 4 OABC uuu r r OA  a （ 中， C． cos   ， uuur r OB  b ， 9 14 uuur r OC  c D． cos   ，点 1r 1r 1r B． a  b  c 2 2 2 1r 2r 1r C． a  b  c 2 3 2 2r 1r 1r D．  a  b  c 3 2 2  2 3．方程  3x  y  1 y  1  x  0 表示的曲线为（ A．两条线段 在线段 OC 上，且 OM  2MC ，点 N ） 1 r 1r 2r A． a  b  c 2 2 3  M 1 4 ） B．一条直线和半个圆 C．一条线段和半个圆 D．一条射线和半个圆 4．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有 趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军 营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为 B  2, 4  ，若将军从点 A  2, 0  处 出发，河岸线所在直线方程为 x-2y +8  0 ，则“将军饮马”的最短总路程为( A． 4 65 5 B．10 长为 5，若 2a  8 ，那么 A．16 6．已知圆 VABF2 F1 ， F2 的周长是（ B．18 ，过点 F1 的直线与双曲线的左支交于 B．外切 ， A ， B 两点，线段 AB 的 ） C．21 C1 : x 2  y 2  2 3 x  4 y  6  0 A．外离 D． 4 2 C．10 2 5．已知双曲线的左、右焦点分别为 ) D．26 C2 : x 2  y 2  6 y  0 ，则两圆的位置关系（ C．相交 ） D．内切 PF2 2  7．已知点 F  1, 0  ， F  1,0  ，动点 到直线 的距离为 ， ，则（ 1 2 x2 d d 2 P ） 1 A．点 P 的轨迹是圆 B．点 P 的轨迹曲线的离心率等于 2 x2  y2  1 C．点 P 的轨迹方程为 2 D． △ PF1 F2 的周长为定值 4 2 8．已知点 P 是抛物线 和的最小值为（ 17 A． 2 y 2  2 x 上的一个动点，则点 P 到点 M  0, 2  的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之 ） C． 5 B． 3 二、多选题 9．(多选)下列说法中正确的是（ 9 D． 2 ） A．若直线的斜率存在，则必有一个倾斜角与之对应 B．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为 0°或 90° D．若直线的倾斜角为 α，则直线的斜率为 tan α 10．直线 l1：ax﹣y+b＝0，l2：bx+y﹣a＝0（ab≠0）的图像可能是（　　） A． B． C． D． 11．关于空间向量，以下说法正确的是（ ） uuu r 1 uuu r uuu r uuur 1 OP  OA  mOB  nOC A．已知三棱锥 O  ABC ，点 P 为平面 ABC 上的一点，且 (m, n �R ) ，则 m  n  2 2 r u r v B．已知向量 ， 不共线，若 C．已知向量 r r a / /b D．已知空间两点 r r a uv ， r a r r r b  3u  2v ， r r r c  2u  3v r a r b r c 则 ， ， 共面 r b ，则存在向量可以与 ， 构成空间的一个基底 A(1,0, 2) ， B(2, 2, 1) ，若向量 uuur uuur CD / / AB ，且 uuur | CD | 2 7 ，则 uuur uuu r CD  2 AB 5 1 5 1 2 12．一般地，我们把离心率为 的椭圆称为“黄金椭圆”．把离心率为 2 的双曲线称为“黄金双曲 线”，则下列命题正确的有（ ） x2 y2  1 A．若 10 m 是“黄金椭圆，则 m  5 5  5 B．若焦距为 4，且点 A 在以 F1 , F2 为焦点的“黄金椭圆”上，则 △ AF1 F2 的周长为 62 5 x2 y 2   2 1 �F1BC  2 F B (0, b ) 1 2 b C．若 是黄金双曲线 a 的左焦点，C 是右顶点， 则 x2 y 2  1 D．若 AB 是黄金双曲线 a 2 b 2 的弦，离心率为 e，M 是 AB 的中点，若 AB 和 OM 的斜率均存在，则 kOM � k AB  e 三、填空题 r r r r  a  b  29 a  0,  1,1 b  4,1, 0     13．已知向量 ， ， ，且   0 ，则   ______． 2 14．若 x �R ，则 x  4   x  1 x2 2  1 的最小值是___________. y2 15．已知 M ， N 为双曲线 a 2  b2  1(a  0, b  0) 上关于原点对称的两点， M 在第一象限，点 M 与点 Q 关于 uuur 3 uuuu r  �NMP  ，则 ___________. ME  MQ ，直线 轴对称， x NE 交双曲线右支于点 P ，若 e 2 2 uuu r uuur AB  BC  AB , AD E , F ABCD 16．如图，四面体 ______， 的每条棱的长都等于 2 ，点 分别为棱 的中点，则 ______， uuur uuur BC  EF  uuur EF 与 所成的角为______． uuur AC 四、解答题 17．如图，在四棱锥 A  BCDE 中，平面 BCDE  平面 ABC ， BE  EC ， BC  2 ， AB  4 ， �ABC  60 . o （1）求证： BE  平面 ACE ； （2）若直线 CE 与平面 ABC 所成的角为 45 ，求二面角 E  AB  C 的余弦值. o 18．1.在三棱锥 D  ABC 中， △ ACD 为正三角形，平面 ACD  平面 ABC ， AD  BC ， AC  BC  2 ． （1）求证： BC  AC ； （2）若 E 是 CD 的中点，求直线 CD 与平面 ABE 所成角的正弦值． 19．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 VABC 的三个顶点 A  m, n  ， B  2,1 ， C  2,3 ． （1）求 BC 边所在直线的方程； （2） BC 边上中线 AD 的方程为 2 x  3 y  6  0 ，且 VABC 的面积等于 7 ，求点 A 的坐标． 20．已知圆 C 的圆心在直线 2x-y-2=0 上，且与直线 l：3x+4y-28=0 相切于点 P（4，4） （1）求圆 C 的方程； （2）求过点 P（4，4），且截圆 C 所得弦 AB 的长为 8 的直线方程. x2 y 2  2  1(a  b  0) 2 b 21．已知椭圆 C ： a 的右焦点 F2 和上顶点 B 在直线 3x  3 y  3  0 上，过椭圆右焦点的 直线交椭圆于 M ， N 两点. （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求 VOMN 面积的最大值. 22．已知 F 是抛物线 C : y 2  2 px( p  0) 的焦点，点 P 是抛物线上横坐标为 2 的点，且 PF  3 ． （1）求抛物线的方程； （2）设直线 l 交抛物线 C 于 M,N 两点，若 MN  4 ，且弦 MN 的中点在圆 ( x  a)2  y 2  1 上，求实数 a 的 取值范围． 参考答案 1．C 【分析】 根据方向向量的坐标求出对应的模，利用空间向量的数量积即可求出两条异面直线所成的角. 【详解】 r r r r v  3 �3  (1) � ∵两条异面直线的方向向量分别是 u  (3, 1, 2), v  (3, 2, 1), u � r (2)  2 �( 1)  9,| u | 32  ( 1) 2  22  14 ， r | v | 32  ( 2) 2  ( 1) 2  14 r r |u� v| 9 9 r r cos  | cos  u , v | r r   |u |� |v | 14 �14 14 ， 则 故选 C. 2．A ，，又两条异面所成的角为  ， 【分析】 由题意结合图形，直接利用 uuuu r uuur uuuur MN  ON  OM ，即可求解. 【详解】 因为空间四边形 OABC 中， uuu r r OA  a ， uuu r r OB  b ， uuur r OC  c ，点 M 在线段 OC 上，且 OM  2MC ，点 N 为 AB 中点， uuur 1 r 1 r 所以 ON  2 a  2 b ， uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r 1 r 1r 2r 所以 MN  ON  OM  ON  MO  2 a  2 b  3 c . 故选：A 3．C 【分析】 求出 x 的范围，根据 3x  y  1  0 ， y  1  x2 的意义求解即可. 【详解】 2 由 1  x �0 ，解得 1 �x �1 .   2 因为  3x  y  1 y  1  x  0 ，所以 3 x  y  1  0 或 y  1  x 2 . 故 3x  y  1  0 表示一条线段. 因为 y  1  x2 ，所以 x2  y2  1 ， y≥ 0