第五章 三角函数 5.6.2 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）的图像 第 1 课时 ω，φ，A 对函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）图像的影响 教学设计 一、教学目标 1.通过分析学习 ω，φ，A 对函数 y  A sin( x   )( A  0,   0) 图像的影响，提高学生的 推理能力，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次. 2.熟练掌握 ω，φ，A 对函数 y  A sin( x   )( A  0,   0) 图像的影响，达到直观想象核 心素养学业质量水平二的层次. 3.理解 y  sin x 与 y  A sin( x   )( A  0,   0) 的图像之间的变换关系，达到逻辑推理 核心素养学业质量水平二的层次. 二、教学重难点 1.教学重点 理解 ω，φ，A 对函数 y  A sin( x   )( A  0,   0) 图像的影响 2.教学难点 图像变换与函数解析式变换的内在联系. 三、教学过程 （一）引入课题 阅读教材第 231-232 页 5.6.1 的内容，观察筒车，想象其作用. 教师：引导学生阅读材料，并思考筒车的作用. 教师：你还能说出两角和与差的其他三角函数公式吗？ 学生：阅读教材，小组讨论，提出个人观点，交流古代筒车的发明与作用. （二）探究一：A 对函数 y  A sin( x   )( A  0,   0) 图像的影响 � � y  2sin � 2x  � 1.你能讨论一下参数 A 对 6 �的图像的影响吗？ � 教师指派一名学生借助信息技术画出 A  2 时，函数 � � y  A sin � 2x  � 6 �的图像，并观察 � 与 � � y  sin � 2x  � 6 �的图像之间的关系. � 学生画图，并观察变化规律. 引导学生总结，并与教材相关段落对照. 1 � � y  sin � 2x  � 2.你能讨论一下参数 A 对 2 � 6 �的图像的影响吗？ A 借助信息技术画出 � � 1 y  A sin � 2x  � 6 �的图像，并观察与 � 2 时，函数 � � y  sin � 2x  � 6 �的图像之间的关系. � 学生画图，并观察变化规律. 教师引导学生总结参数 A 对函数 y  A sin( x   ) 的图像的影响. 学生小组合作探索总结，学生展示，教师补充完善，得出结论. 3.一般地，函数 y  A sin( x   ) 的图像，可以看作是把 y  sin( x   ) 的图像上所有点 的纵坐标伸长（当 A  1 时）或缩短（当 0  A  1 时）到原来的 A 倍（横坐标不变）而得 到.从而，函数 y  sin( x   ) 的值域是 探究二：探索 由 y  sin x y  sin x 的图像得到 与   A, A ，最大值是 A,最小值是-A. y  A sin( x   )( A  0,   0) y  A sin( x   ) 的图像之间的变换关系. 的图像的变换，参数的变换顺序为 （1）请同学们思考：还有几种其他的变换方法吗？  � � A （2）若参数的变换顺序为 若参数的变换顺序为  � � A  � � A ，则图像变换的规律是怎样吗？ ，则图像变换规律如下： 1 y  sin x 把 的图像上各点的横坐标都变为原来的  倍，可得 y  sin  x 的图像，把所得 | | 曲线向左（向右）平移  个长度，可得 y  sin( x   ) 的图像，再把曲线上各点的纵坐 标变为原来的 A 倍，得到 总结：由 y  sin x y  A sin( x   ) 的图像得到 的图像. y  A sin( x   ) 的图像的两种途径可以通过图形表示， 如下图： （二）课堂练习 1.将函数 y  sin 2 x 的图象向右平移 A. y  cos 2 x 答案：B π 个单位长度，所得图象对应的函数解析式是( ) 4 B. y   cos 2 x π� � y  sin � 2x  � 4� � C. D. y   sin 2 x 解析：函数 y  sin 2 x 的图象向右平移 π 个单位长度后得到的图象对应的解析式为 4 �� ππ� � � � y  sin � 2 �x  � 2 x  �  cos 2 x � sin � .故选 B. 4 2 � � � � � � π� �π � � A � ,1� f ( x)  cos(2 x   ) � |  | � 6 2 �的图象上，为了得到函数 � � � 2.若点 在函数 π� � y  sin � 2x  � ( x �R ) 3� � 的图象，只需把曲线 f ( x) 上所有的点( ) A.向左平移 π 个单位长度 3 B.向右平移 π 个单位长度 3 C.向右平移 π 个单位长度 12 D.向左平移 π 个单位长度 12 答案：D �π � A � ,1� 解析：若点 �6 �在函数 f ( x) 的图象上， �ππ� � � f � � cos �   � 1 �3 � ， 则 �6 � 即 π π π π    2π k ，     2πk ， |  | ，故    ， ，即 ，又 k �Z k �Z 3 3 2 3 π� � f ( x)  cos � 2x  � 3 �. � 所以 又 ππππππ �� � � � � � � � � y  sin � 2 x  � cos � 2 x   � cos � 2 x  � cos � 2 �x  � � 3 3 2 6 12 � � � � � � � 3 �， �� π� � π y  sin � 2x  � ( x �R ) f ( x ) 3� � 所以只需将 的图象向左平移 12 个单位长度，即可得到 的图象， 故选 D. 3.要得到一个奇函数的图象，只需将函数 f ( x)  sin 2 x  3 cos 2 x 的图象( ) A.向左平移 π 个单位长度 4 B.向左平移 π 个单位长度 6 C.向右平移 π 个单位长度 4 D.向左平移 π 个单位长度 3 答案：B π� � f ( x)  sin 2 x  3 cos 2 x  2sin � 2x  � 3 �， � 解析：由题意得 设 f ( x) 的图象向左（右）平移 | | 个单位长度得到函数 f (x  ) 的图象， π� � f ( x   )  2sin � 2 x  2  � 3 �，若函数 f ( x   ) 为奇函数， � 则  则 2π π kππ k ，   ， ，即 ， k �Z 3 2 6 k �Z 结合选项，当 k  0 时，   π ， 6 π 即只需将函数 f ( x)  sin 2 x  3 cos 2 x 的图象向左平移 个单位长度即可，故选 B. 6 π� � f ( x)  sin � x  � ( x �R,   0) 4� � 4.已知函数 的最小正周期为 π，为了得到函数 f ( x) 的图象， 只需将函数 g ( x)  sin  x 的图象( ) A.向左平移 π 个单位长度 8 B.向右平移 π 个单位长度 8 C.向左平移 π 个单位长度 4 D.向右平移 π 个单位长度 4 答案：A � f ( x)  sin � 2x  解析：由 f ( x) 的最小正周期是 π，得   2 ，即 � ππ� �� � � 2 �x  � � sin � �，因此 4� �� 8 � � 它的图象可由 g ( x)  sin 2 x 的图象向左平移 π 个单位长度得到.故选 A. 8 （三）小结作业 小结： 本节课我们主要学习了哪些内容? 1. A 对函数 2. 探索 y  A sin( x   )( A  0,   0) y  sin x 与 图像的影响 y  A sin( x   )( A  0,   0) 的图像之间的变换关系. 四、板书设计 第 1 课时 ω，φ，A 对函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）图像的影响 1. A 对函数 2. 探索 y  A sin( x   )( A  0,   0) y  sin x 与 图像的影响 y  A sin( x   )( A  0,   0) 的图像之间的变换关系.