2021-2022 学年广西钦州一中高二（上）期中数学试卷（文 科） 一、选择题：（共 12 小题，每小题 5 分共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。） 1．命题“若实数 x≠y，则 sinx≠siny”的逆否命题是（　　） A．若实数 x＝y，则 sinx＝siny B．若 sinx＝siny，则实数 x＝y C．若 sinx≠siny，则实数 x≠y D．若实数 x＜y，则 sinx＜siny 2．命题“若两条直线平行，则这两条直线在同一个平面内”和它的逆命题、否命题、逆否命 题，这四个命题中真命题的个数为（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 3．已知命题 p：∀x＞1，x2+2x﹣3＞0，则￢p 为（　　） A．∃x＞1，x2+2x﹣3≤0 B．∃x≤1，x2+2x﹣3≤0 C．∀x＞1，x2+2x﹣3＜0 D．∃x＞1，x2+2x﹣3＞0 4．已知 a＞0，b＞0，则“ab＞4”是“a+b＞4”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．椭圆 A．6 的焦距是 2，则 m 的值为（　　） B．9 C．6 或 4 D．9 或 1 6．抛物线 y2＝12x 上一点 P 与焦点 F 的距离等于 9，点 P 的横坐标为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 7．使不等式 2x2﹣5x﹣3≥0 成立的一个充分而不必要条件是（　　） A．x＜0 B．x≥2 C．x≥4 D． 或 x≥3 8．函数 f（ x）＝x3﹣2x2 的图像在点（1，f（1）） 处的切线方程为（　　） A．x﹣y﹣1＝0 B．x﹣y﹣2＝0 C．x+y＝0 D．x+y+2＝0 9．若点 P 是双曲线 C： ＝1 上一点，F1，F2 分别为 C 的左、右焦点，|PF1|＝9，则| PF2|＝（　　） A．5 10．若双曲线 A．y＝±2x B．13 的离心率为 B． C．5 或 13 D．1 或 5 ，则其渐近线方程为（　　） C． D． 11．函数 y＝f（x）的图象如图所示，则导函数 y＝f'（x）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 12．下列函数中，在（0，+∞）内为增函数的是（　　） A．y＝2x2﹣2x+1 B．y＝xex C．y＝x3﹣x D．y＝ln（x﹣1） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．如果命题“p 或 q”与命题“非 p”都是真命题，那么 q 为　 　命题． 14．顶点在坐标原点，准线为 y＝﹣2 的抛物线的标准方程为 　 15．若 ＝1，则 f′（x0）等于　 　． 　． 离心率的最小值为 ，其左、右焦点分别为 F1、F2， 16．已知椭圆 若 P 是椭圆上位于 y 轴右侧的一点，则 ＝　 　． 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤） 17．已知命题 p：方程 x2﹣4x+m＝0 有实根，命题 q：﹣1≤m≤5．若 p∧q 为假命题，p∨q 为真命题，求实数 m 的取值范围． 18．已知双曲线 ﹣ ＝1 的焦点在 x 轴上，焦距为 10． （1）求 n 的值； （2）求双曲线的顶点坐标与渐近线方程． 19．已知抛物线 C：y2＝2px（p＞0），其焦点 F 到其准线的距离为 2，过焦点 F 且倾斜角 为 45°的直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点， （1）求抛物线 C 的方程及其焦点坐标； （2）求|AB|． 20．已知函数 f（x）＝x3﹣3x． （1）求曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）求函数 f（x）的单调区间和极值， 21．求下列函数的单调区间． （1）y＝ex﹣x； （2） 22．已知离心率为 ． 的椭圆 E： + ＝1（a＞b＞0）经过点 A（1， ）． （1）求椭圆 E 的方程； （2）若不过点 A 的直线 l：y＝ x+m 交椭圆 E 于 B，C 两点，求△ABC 面积的最大值． 参考答案 一、选择题：（共 12 小题，每小题 5 分共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。） 1．命题“若实数 x≠y，则 sinx≠siny”的逆否命题是（　　） A．若实数 x＝y，则 sinx＝siny B．若 sinx＝siny，则实数 x＝y C．若 sinx≠siny，则实数 x≠y D．若实数 x＜y，则 sinx＜siny 【分析】根据命题与它的逆否命题的定义，写出即可． 解：根据命题“若 p，则 q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”知， 命题“若实数 x≠y，则 sinx≠siny”的逆否命题是“若实数 sinx＝siny，则 x＝y”． 故选：B． 2．命题“若两条直线平行，则这两条直线在同一个平面内”和它的逆命题、否命题、逆否命 题，这四个命题中真命题的个数为（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 【分析】根据四种命题及其关系的结论，原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价 不难得出结论． 解：命题“若两条直线平行，则这两条直线在同一个平面内”为真命题，故逆否命题为真 命题， 逆命题：若两条直线在同一个平面内，则这两条直线平行为假命题，故否命题为假， 原命题、否命题、逆否命题，这四个命题中真命题的个数 2． 故选：B． 3．已知命题 p：∀x＞1，x2+2x﹣3＞0，则￢p 为（　　） A．∃x＞1，x2+2x﹣3≤0 B．∃x≤1，x2+2x﹣3≤0 C．∀x＞1，x2+2x﹣3＜0 D．∃x＞1，x2+2x﹣3＞0 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x＞1，x2+2x﹣3≤0， 故选：A． 4．已知 a＞0，b＞0，则“ab＞4”是“a+b＞4”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】解法一：如图所示，由 a＞0，b＞0，ab＞4，可得 a+b＞4；反之不成立，即可 判断出结论． 解法二：由“a＞0，b＞0，由 ab＞4，利用基本不等式的性质可得：a+b＞4，反之不成立， 可举反例说明． 【解答】解法一：如图所示，由 a＞0，b＞0，ab＞4⇒a+b＞4；反之不成立． ∴“ab＞4”是“a+b＞4”的充分不必要条件． 解法二：由 a＞0，b＞0，可得 a+b≥2 ，而 ab＞4，∴a+b＞4， 反之不成立，例如：取 a＝ ，b＝5． ∴“ab＞4”是“a+b＞4”的充分不必要条件． 故选：A． 5．椭圆 的焦距是 2，则 m 的值为（　　） A．6 B．9 【分析】当焦点坐标在 x 轴时， 能得到实数 m 的值． 解：∵2c＝2，∴c＝1． C．6 或 4 D．9 或 1 ，当焦点坐标在 y 轴时，c＝ ，由此 当焦点坐标在 x 轴时， ， ∴m＝6． 当焦点坐标在 y 轴时， c＝ ， ∴m＝4． 由此知，m＝4 或 6． 故选：C． 6．抛物线 y2＝12x 上一点 P 与焦点 F 的距离等于 9，点 P 的横坐标为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标，即可 求得结论． 解：抛物线 y2＝12x 的准线方程为 x＝﹣3 ∵抛物线 y2＝12x 上点 P 到焦点的距离等于 9， ∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标为 6， 故选：C． 7．使不等式 2x2﹣5x﹣3≥0 成立的一个充分而不必要条件是（　　） A．x＜0 B．x≥2 C．x≥4 D． 或 x≥3 【分析】先求出已知不等式的解集，然后根据充分不必要条件的性质即可判断求解． 解：因为不等式 2x2﹣5x﹣3≥0 的解为：x 或x ， 所以{x|x≥4}⊊{x|x≥3 或 x≤﹣ }， 则使不等式 2x2﹣5x﹣3≥0 成立的一个充分而不必要条件是 x≥4， 故选：C． 8．函数 f（ x）＝x3﹣2x2 的图像在点（1，f（1）） 处的切线方程为（　　） A．x﹣y﹣1＝0 B．x﹣y﹣2＝0 C．x+y＝0 D．x+y+2＝0 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在 x＝1 处的导数，再求出 f（1）的值，利用 直线方程的点斜式得答案． 解：由 f（ x）＝x3﹣2x2，得 f′（ x）＝3x2﹣4x， ∴f′（ 1）＝﹣1，又 f（1）＝﹣1， ∴函数 f（ x）＝x3﹣2x2 的图像在点（1，f（1）） 处的切线方程为 y+1＝﹣1×（x﹣1）， 即 x+y＝0． 故选：C． 9．若点 P 是双曲线 C： ＝1 上一点，F1，F2 分别为 C 的左、右焦点，|PF1|＝9，则| PF2|＝（　　） A．5 C．5 或 13 B．13 D．1 或 5 【分析】根据题意结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||＝4，由|PF1|＝9 可推出|PF2|＝5 或 13，即可得出答案． 解：由双曲线的定义可知||PF1|﹣|PF2||＝2a， 由双曲线的标准方程得，||PF1|﹣|PF2||＝4， 由|PF1|＝9 可推出|PF2|＝5 或 13， 故选：C． 10．若双曲线 A．y＝±2x 的离心率为 ，则其渐近线方程为（　　） B． C． D． 【分析】通过双曲线的离心率，推出 a、b 关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程． 解：由双曲线的离心率 ，可知 c＝ 又 a2+b2＝c2，所以 b＝ a， 所以双曲线的渐近线方程为：y＝ a， ＝± x． 故选：B． 11．函数 y＝f（x）的图象如图所示，则导函数 y＝f'（x）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据 f′（x）≥0，函数 f（x）单调递增；f′（x）≤0 时，f（x）单调递减，根据 图形可得 f′（x）＜0，即可判断答案． 解：由函数图象可知函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为减函数， 所以函数的导数值 f′（x）＜0，因此 D 正确， 故选：D． 12．下列函数中，在（0，+∞）内为增函数的是（　　） A．y＝2x2﹣2x+1 B．y＝xex C．y＝x3﹣x D．y＝ln（x﹣1） 【分析】直接根据二次函数和对数函数的图象和性质以及求导，对各选项确定单调性和 单调区间． 解：对于 A 选项：y＝2x2﹣2x+1 为二次函数，在 上单调递减， 上单调递增，故 A 选项错误． 对于 B 选项：y＝xex ，y′