第七章　三角函数 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1．sin 4·tan 7 的值(　　) A．大于 0　　　B．小于 0　　　C．等于 0　　　D．不大于 0 2．函数 y＝4sin 的图像的一个对称中心是(　　) A． B． C． D． 3．如果 tan θ＝2，那么 1＋sin θcos θ 的值是(　　) A． B． C． D． 4．函数 y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图像是(　　) 5．已知 π<α<2π，cos (α－7π)＝－，则 sin (3π＋α)·tan 的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 6．下列函数中，周期为 π，且在上为减函数的是(　　) A．y＝sin B．y＝cos C．y＝cos D．y＝sin 7．已知 cos A＋sin A＝－，A 为第四象限角，则 tan A 等于(　　) A． B． C．－ D．－ 8．若函数 f(x)＝A sin (ωx＋φ)对任意实数 x 都有 f(a－x)＝f(b＋x)，那么 f 的值等于( ) A．－A B．A C．±A D．和 a，b 有关 二、选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．) 9．下列结论正确的是(　　) A．－是第三象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为 π，则该扇形面积为 C．若角 α 的终边过点 P，则 cos α＝－ D．若角 α 为锐角，则角 2α 为钝角 10．将函数 f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图像向左平移个单位，若所得的图像与原图像重 合，则 ω 的值可能为(　　) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 11．关于函数 y＝2sin (0≤x≤9)，下列结论正确的是(　　) A．x＝0 时，ymin＝－ B．x＝0 时，ymin＝－2 C．x＝5 时，ymax＝2 D．x＝9 时，ymax＝ 12．设函数 f(x)＝cos ，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的一个周期为 2π B．y＝f(x)的图像关于直线 x＝对称 C．f(x＋π)的一个零点为 x＝ D．f(x)在上单调递减 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中横线上) 13．化简：＝________． 14．设函数 f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<，x∈R)的部分图像如图所示，则 A ＋ω＋φ＝________． 15．函数 f(x)＝－2tan x＋m，x∈有零点，则实数 m 的取值范围是________． 16．给出下列四个命题：①若 f(x)＝a tan x＋b cos x 是偶函数，则 a＝0；②当 x＝2kπ ＋，k∈Z 时，y＝cos 取得最大值；③函数 y＝4cos 的图像关于直线 x＝－对称；④函数 y＝ 2tan ＋1 的图像的对称中心为，k∈Z.其中正确的命题是________(填序号). 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17．(本小题满分 10 分)已知 0<α<，sin α＝. (1)求 tan α 的值； (2)求的值． 18．(本小题满分 12 分)函数 f(x)＝A sin ＋1(A>0，ω>0)的最大值为 3，其图像相邻两条 对称轴之间的距离为. (1)求函数 f(x)的解析式； (2)设 α∈，f＝2，求 α 的值． 19．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝cos (2x－φ)(0<φ<π)，其图像过点. (1)求 φ 的值； (2)将函数 y＝f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x) 的图像，求函数 y＝g(x)在上的最大值和最小值． 20．(本小题满分 12 分)如图，某大风车的半径为 2 m，每 12 s 旋转一周，它的最低点 O 离地面 0.5 m．风车圆周上一点 A 从最低点 O 开始，运动 t s 后与地面的距离为 h m. (1)求函数 h＝f(t)的关系式； (2)画出函数 h＝f(t)，t∈[0，12]的图像． 21．(本小题满分 12 分)函数 f(x)＝1－2a－2a cos x－2sin2x 的最小值为 g(a)(a∈R). (1)求 g(a)； (2)若 g(a)＝，求 a 及此时 f(x)的最大值． 22．(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)－b(ω>0，0<φ<π)的图像两相邻对称 轴之间的距离是.若将 f(x)的图像先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，图像对 应的函数 g(x)为奇函数． (1)求 f(x)的解析式； (2)求 f(x)图像的对称轴及 f(x)的单调区间； (3)若对任意 x∈，f2(x)－(2＋m)f(x)＋2＋m≤0 恒成立，求实数 m 的取值范围． 参考答案 1．∵4 在第三象限，∴sin 4<0，∵7 在第一象限， ∴tan 7>0，∴sin 4·tan 7<0，故选 B. 答案：B 2．当 2x－＝kπ(k∈Z)时，x＝＋(k∈Z)，当 k＝0 时，x＝，所以是该函数图像的一个对 称中心． 答案：A 3．1＋sin θcos θ＝ ＝＝＝. 答案：B 4．当<x<π 时，tanx<sin x，y＝2tan x<0；当 x＝π 时，y＝0；当 π<x<时，tan x>sin x，y ＝2sin x．故选 D. 答案：D 5．∵cos (α－7π)＝cos (7π－α)＝cos (π－α)＝－cos α＝－，∴cos α＝. ∴sin (3π＋α)tan ＝sin (π＋α)＝sin αtan ＝sin α·＝sin α·＝cos α＝. 答案：C 6．C，D 中函数的周期为 π.y＝cos ＝－sin 2x 在上是增函数，y＝sin ＝cos 2x 在上是减 函数，故选 D. 答案：D 7．由已知可得 2sin A cos A＝－，所以(cos A－sin A)2＝1－2sin A cos A＝.故 cos A－sin A＝.又 cos A＋sin A＝－，所以 cos A＝，sin A＝－. 所以 tan A＝－. 答案：C 8．由等式 f(a－x)＝f(b＋x)可判断函数 f(x)的对称轴是 x＝，再由正弦型函数对称轴的 性质可得 f(x)＝A sin (ωx＋φ)在对称轴上取得最大值或最小值，所以 f＝±A. 答案：C 9．选项 A：－终边与相同，为第二象限角，所以 A 不正确； 选项 B：设扇形的半径为 r，r＝π，∴r＝3， 扇形面积为×3×π＝，所以 B 正确； 选项 C：角 α 的终边过点 P，根据三角函数定义， cos α＝－，所以 C 正确； 选项 D：角 α 为锐角时，0<α<，0<2α<π，所以 D 不正确． 故选 BC. 答案：BC 10．因为将函数 f(x)＝sin (ωx＋φ)的图像向左平移个单位，所得图像与原图像重合， 所以是已知函数的周期的整数倍， 即 k·＝(k∈N*)，解得 ω＝4k(k∈N*). 答案：ACD 11．因为 0≤x≤9，所以 0≤x≤， －≤x－≤－，即－≤x－≤， 所以当 x－＝－，即 x＝0 时，y＝2sin (0≤x≤9)有最小值 2sin ＝－， 当 x－＝，即 x＝5 时， y＝2sin (0≤x≤9)有最大值 2sin ＝2. 答案：AC 12．因为 f(x)＝cos 的周期为 2kπ(k∈Z)，所以 f(x)的一个周期为 2π，A 项正确； B 项，因为 f(x)＝cos 图像的对称轴为直线 x＝kπ－(k∈Z)， 所以 y＝f(x)的图像关于直线 x＝对称，B 项正确； C 项，f(x＋π)＝cos ，令 x＋＝kπ＋(k∈Z)， 得 x＝kπ－(k∈Z)，当 k＝1 时，x＝，所以 f(x＋π)的一个零点为 x＝，C 项正确； D 项，因为 f(x)＝cos 的单调递减区间为(k∈Z)， 单调递增区间为(k∈Z)， 所以是 f(x)的单调递减区间， 是 f(x)的单调递增区间，D 项错误． 答案：ABC 13.原式＝ ＝＝tan θ. 答案：tan θ 14．由图可知 A＝2，＝－，所以 T＝2π，所以 ω＝1.再根据 f＝2 得 sin ＝1，所以＋φ ＝＋2kπ(k∈Z)，解得 φ＝＋2kπ(k∈Z). 又因为－<φ<，所以 φ＝. 因此 A＋ω＋φ＝3＋. 答案：3＋ 15．函数 f(x)＝－2tan x＋m 有零点，即方程 2tan x＝m 有解．∵x∈，∴tan x∈[－1，]， ∴m∈[－2，2]. 答案：[－2，2] 16．f(x)＝a tan x＋b cos x 为偶函数，则有 f(－x)＝f(x)，即 a tan (－x)＋b cos (－x)＝a tan x＋b cos x，即 2a tan x＝0，故 a＝0，①正确；当 x＝2kπ＋，k∈Z 时，y＝cos ＝cos ＝，显然不是最大值，②不正确；当 x＝－时，y＝4cos ＝4cos (－π)＝－4，显然取得最小 值 ， 故 x ＝ － 是 该 函 数 的 图 像 的 一 条 对 称 轴 ， ③ 正 确 ； 令 － 2x ＋ ＝ ， k∈Z ， 得 x ＝ －，k∈Z，故对称中心为，k∈Z，④不正确． 答案：①③ 17．(1)因为 0<α<，sin α＝，所以 cos α＝，故 tan α＝. (2)＝ ＝＝＝4. 18．(1)∵函数 f(x)的最大值为 3， ∴A＋1＝3，即 A＝2. ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为， ∴最小正周期 T＝π，∴ω＝2， 故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝2sin ＋1. (2)∵f＝2sin ＋1＝2， ∴sin ＝， ∵0<α<，∴－<α－<， ∴α－＝，解得 α＝. 19．(1)∵f(x)＝cos (2x－φ)，且函数图像过点， ∴＝cos ，即 cos ＝1，解得 φ＝＋2kπ，k∈Z.又 0<φ<π，∴φ＝. (2)由(1)知 f(x)＝cos ，将函数 y＝f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到函数 y＝g(x)＝cos 的图像． ∵x∈，∴4x－∈， 故－≤cos ≤1. ∴y＝g(x)在上的最大值和最小值分别为和－. 20．(1)如图 1，以 O 为原点，过点 O 的圆的切线为 x 轴，建立直角坐标系．设点 A 的 坐标为(x，y)，则 h＝y＋0.5. 设∠OO1A＝θ，则 cos θ＝，y＝－2cos θ＋2. 又 θ＝·t，即 θ＝t，∴y＝－