 3PT  2 PA  专题 07 圆幂定理在解题中的应用 【方法点拨】 1.相交弦定理：如下左图，圆 O 的两条弦 AB、PC 相交于圆内一点 P，则 PA � PB  PC � PD . PB 2. 切割线定理:如下右图，PT 为圆 O 的切线，PAB、PCD 为割线，则 PT  PA � 2 PB  PC � PD . （）; 3.割线定理：如下右图，PAB、PCD 为圆 O 的割线，则 PA � PB  PO  R (其中 R 是半径)，统称为圆幂定理. 说明：上述三个定理可以统一为 PA � 2 2 【典型题示例】 例1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 的任意一点，过点 B (1, 0) A(1, 0) ，点 P 是圆 O： x2  y 2  4 上 作直线 BT 垂直于 AP，垂足为 T，则 2PA+3PT 的最小值是______ ____． 9 �2 18  6 2 PA 【答案】 【分析】从题中已知寻求 PA、PT 间的关系是突破口，也是难点，思路一是从中线长定理 入手，二是直接使用圆幂定理. 【解法一】由中线长公式可得 cos P  PO  1 2( PA2  PB 2 )  AB 2 2 2 2 ，则 PA  PB =10 PA2  PB 2  AB 2 3 cos P  2 PA � PB PA � PB ，则 在 Rt PBT 中， PT  PB cos P ，即 所以 2 PA  3PT  2 PA  PT  3 PA 9 3 2 �2 18  6 2 PA  PA 2 时取等） （当且仅当 【解法二】∵BT⊥ AP，∴点 T 的轨迹是圆，其方程是：x2+y2=1， 2 PT  3 过点 P 作该圆的切线 PC，C 为切点，则 PC= 3 ，由切割线定理得： PC  PA � 所以 2 PA  3PT  2 PA  9 3 2 �2 18  6 2 PA  PA 2 时取等）. （当且仅当 点评：解法二中，先运用定直线张直角，得到隐圆，然后运用切割线定理得出定值，最后 再使用基本不等式予以解决，思路简洁、解法明快.在有关解析几何的题目中，首先考 虑相关的几何性质是解决这类问题的首选方向. 例 2 在平面直角坐标系 xOy 中，已知⊙C：x2＋(y－1)2＝5，A 为⊙C 与 x 负半轴的交点，过 A 作⊙C 的弦 AB，记线段 AB 的中点为 M. 若 OA＝OM，则直线 AB 的斜率为________． 【答案】2 【分析】看到“弦的中点”想到作“弦心距”，得到 CM⊥AB，故∠CMA+∠AOC=180o ，所以 A、O、C、M 四点共圆，AC 为直径.在该外接圆中，使用正弦定理求出 sinA 即可. 【解析】连结 C、M，则 CM⊥AB， 在四边形 AOCM 中，∠CMA+∠AOC=180o，故 A、O、C、M 四点共圆，且 AC 为直径. x2＋(y－1)2＝5 中，令 y=0，得 x＝±2，A（－2，0），AC= ❑ √5 即为△AOM 外接圆的 直径， 在△AOM 中，由正弦定理得： OM ❑ = √ 5 ，而 OA＝OM=2， sinA 2 ，所以 tanA=2. √5 所以 sinA= ❑ 故直线 AB 的斜率为 2． 例3 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 M (1, 0) 的直线 l 与圆 x2  y 2  5 uuuu r uuur l A BM  2 MA 其中 点在第一象限，且 ，则直线 的方程为 交于 A, B 两点 ． 【答案】y＝x－1 【分析】本题思路有下列几种：①利用向量坐标设点转化，点参法；②设直线方程的在 x 轴上的截距式，联立方程组；③垂径定理后二次解三角形；④相交弦定理；⑤利用” uuuu r 2 uuu r 1 uuu r OM  OA  OB �AOB 的余弦值. 3 3 爪”型结构,得 ,两边平方求得 【解法一】：易知直线 l 的斜率必存在，设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)． 由BM＝2MA，设 BM＝2t，MA＝t. 如图，过原点 O 作 OH⊥l 于点 H，则 BH＝. 设 OH＝d，在 Rt△OBH 中，d2＋2＝r2＝5. 在 Rt△OMH 中，d2＋2＝OM2＝1，解得 d2＝， 则 d2＝＝，解得 k＝1 或 k＝－1. 因为点 A 在第一象限， BM＝2MA，由图知 k＝1， 所以所求的直线 l 的方程为 y＝x－1. uuuu r uuur 【解法二】由 BM  2 MA ，设 BM＝2t，MA＝t 又过点 M 的直径被 M 分成两段长为 5  1 、 5  1 2t 2    5 1 由相交弦定理得 过原点 O 作 OH⊥l 于点 H，  ，解之得 t  5 1 2 在 Rt△OBH 中，d2＋2＝r2＝5，解得 d2＝，（下同解法一，略）. 【解法三】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则BM＝(1－x2，－y2)，MA＝(x1－1，y1)． 因为BM＝2MA，所以 当直线 AB 的斜率不存在时，BM＝MA，不符合题意． 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)， 联立得(1＋k2)y2＋2ky－4k2＝0，则 解得所以 y1·y2＝＝，即 k2＝1.又点 A 在第一象限， 所以 k＝1，即直线 AB 的方程为 y＝x－1. 【解法四】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则BM＝(1－x2，－y2)，MA＝(x1－1，y1)． 因为BM＝2MA，所以即 又代入可得解得 x1＝2，代入可得 y1＝±1.又点 A 在第一象限，故 A(2,1)，由点 A 和点 M 的坐标可得直线 AB 的方程为 y＝x－1. 点评： 上述各种解法中，以解法一、解法二最简、最优. 【巩固训练】 1. 在平面直角坐标系 xoy 中， M 是直线 x  3 上的动点，以 M 为圆心的圆 M ，若圆 M 截 x 轴所得的弦长恒为 4，过点 O 作圆 M 的一条切线，切点为 P ，则点 P 到直线 2 x  y  10  0 距离的最大值为 . ( x  m) 2  y 2  r 2 2.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C： (m＞0)．已知过原点 O 且相互垂直 的两条直线 l1 和 l2，其中 l1 与圆 C 相交于 A，B 两点，l2 与圆 C 相切于点 D．若 AB＝ OD，则直线 l1 的斜率为 3. 在平面直角坐标系 xOy ． 中，设直线 y  x  2 uuur 与圆 x 2  y 2  r 2 (r  0) r 3 uuur 5 uuu 为坐标原点，若圆上一点 C 满足 OC  4 OA  4 OB ，则 r 4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P  0,1 在圆 C： 交于 A、B 两点， O ． x 2  y 2  2mx  2 y  m 2  4m  1  0 内， 若存在过点 P 的直线交圆 C 于 A、B 两点，且△PBC 的面积是△PAC 的面积的 2 倍，则 实数 m 的取值范围为 5.在平面直角坐标系 xOy ． 中，圆 C : ( x  2) 2  ( y  m) 2  3 且 AB  2GO ，则实数 m 的取值范围是 ．若圆 C 存在以 G 为中点的弦 AB ， ． 2 2 P  x0 , y0  6. 已 知 直 线 y  ax  3 与 圆 x  y  2 x  8  0 相 交 于 A, B 两 点 ， 点 在直线 y  2x 上且 PA  PB ，则 x0 的取值范围为 . 【答案与提示】 1.【答案】 3 5 2 5 2.【答案】 � 5 【解析一】作 CE⊥AB 于点 E，则 CE 2  BC 2  BE 2  BC 2  1 1 AB 2  BC 2  OD 2 4 4 1 5r 2  m 2  r 2  (m2  r 2 )  ， 4 4 r 5 5r 2  m2  m 2  r 2 ，化简得  由 OECD 是矩形，知 CE ＝OD ，∴ m 3 ， 4 2 2 r CD 5 2 5 即 cos∠OCD＝ OC ＝ m  3 ，tan∠COB＝tan∠OCD＝ 5 ， 2 5 ∴直线 l1 的斜率为 � 5 ． 【解析二】作 CE⊥AB 于点 E，则 OECD 是矩形 t t 5 t 2  (r  )(r  ) r2  t2 2 2 ，即 4 （※） 设 OD＝t(t >0)，则由切割线定理 OD2＝OA ×OB 得 又 m  t  r ，将（※）代人得 2 2 Rt COE ， 2 sin �COE  2 5 ∴直线 l1 的斜率为 � 5 r 2  m 3 ． m2  9 2 r 2 r  4 ，即 m 3 3.【答案】: 10 【解法一】遇线性表示想求模，将向量问题实数化. 2 uuur 2 �5 uuu r 3 uuu r� r2 r uuu r 9 uuu r2 25 uuu 5 3 uuu OC  � OA  OB � OA  2 � � OA � OB  OB ， 4 4 4 16 �4 � 16 即 r2  25 2 15 2 9 3 r  r cos �AOB  r 2 cos �AOB   16 8 16 ，整理化简得 5. 过点 O 作 AB 的垂线交 AB 于 D ， 则 cos �AOB  2 cos 2 �AOD  1   又圆心到直线的距离 OD  3 1 cos 2 �AOD  5 ，得 5. 2 1 OD 2 2  2 cos 2 �AOD   2  2 ，所以 2 5 r r ， r  10 . 【解法二】注意到线性表示时的系数和为 2，联想“三点共线”. uuur 5 uuu r 3 uuu r r 3 uuu r 1 uuur 5 uuu OC  OA  OB OC  OA  OB ，即 2 4 4 8 8 由 得 设 A、、 B D AD  3x 三点共线（其中 ， D 是 AB 的中点），且 AD : BD  3: 5 ， BD  5 x 2 � 2 �r � 2 � � �