专题 03 利用方程同解求圆的方程 【方法点拨】 当圆与另一曲线（如抛物线）有两个公共点求圆的方程时，可考虑将曲线方程分别与 直线方程联立消元，根据函数与方程的关系，则两方程同解，故可利用系数成比例求解圆 的方程. 【典型题示例】 例 1 （多选题）已知二次函数 重合），交 y 轴于 C 点.圆 M y  x 2  2 x  m  m �0  过 ① 圆心 M 在直线 x  1 上； ③圆 M 半径的最小值为 1； A．① A ， B ， C 三点.下列说法正确的是（ ② m 的取值范围是 ④存在定点 B．② 交 x 轴于 A ， B 两点（ A ， B 不 N ）  0,1 ； ，使得圆 C．③ M 恒过点 N . D．④ 【答案】AD 【解析】①因为二次函数 x 1 对称，所以圆心 ② 因为二次函数 m 1 且 m �0 则 y0 x A , xB ，则 在直线 x 1 的对称轴是 x  1 ，且 A ， B 两点关于 上，故正确； y  x 2  2 x  m  m �0  交 x 轴于 A ， B 两点，所以   4  4m  0 解得 ，故错误； ③ 设圆 M 的方程为 令 M y  x 2  2 x  m  m �0  x 2  y 2  Dx  Ey  F  0 x 2  Dx  F  0 为方程 x  Dx  F  0 的两个根 2 ，（#） ∵ y  x 2  2 x  m  m �0  ∴ x A , xB 与 x 轴交于 A ， B 两点 为方程 x  2 x  m  0 的两个根 2 2 y  x  2 x  m  m �0  故方程 x  Dx  F  0 与方程 的根相同 2 x 2  y 2  2 x  Ey  m  0 ∴ D  2 ， F  m ，代入（#） 又∵ ∴ C (0, m) 在圆上 m 2  mE  m  0 ，解得 所以所求圆的方程为 E  m  1 x 2  y 2  2 x  ( m  1) y  m  0 . 2 2 � m  1 � m  2m  5 即  x  1  �y  2 � 4 � � 2 m 2  2m  5  m  1  4 r   故 ，因为 m  1 且 m �0 ，所以 r  1 ，故错误； 4 4 2 2 � m  1 �  m  1  4 ④ 圆 M 的方程为  x  1  �y  � ，即 2 � 4 � 2 2 2 x 2  2 x  y 2  y  m( y  1)  0 ，则圆 M 恒过定点 N  0,1 ，故正确；故选：AD. 例2 （多选题）在平面直角坐标系 l : y  x  m  m �0  确的是（ A． m B．当 中，设二次函数 f  x   x 2  x �R  的图象与直线 有两个不同的交点 A, B ，经过 A, B, O 三点的圆记为圆 C .下列结论正 ） 1 4 且 m �0 m  log 2 3 xOy 时， �AOB 为钝角 1 2 2 m x  y  mx  2  m y  0   C．圆 C ： （ 4 且 m �0 ） D．圆 C 过定点  1,1 �y  x 2 【解析】对于 A，联立 �y  x  m ，消 可得 2 ， y � x x  m  0 1  m   0 ， 二次函数与直线有两个交点，则    1  4 �� 2 解得 m 1 4 ，又 m �0 ，故 A 正确； 对于 B，联立消 设 A  x1 , y1  ， y 可得 x 2 x  m  0 B  x2 , y 2  ，则 ， x1 +x2  1 ， x1 x2  m ， uuu r uuu r OA � OB  x1 x2  y1 y2  x1 x2   x1  m  ( x2  m)  2 x1 x2  m  x1  x2   m 2  m 2  m 则 uuu r uuu r OA � OB  log 2 3  log 2 3  1  0 ， m  log 3 2 时， 当 所以 �AOB 为锐角，故 B 错误； 对于 C，设圆 2 2 C 的方程为 x  y  Dx  Ey  0 （因为圆 C 过 O ，故 F  0 ）， �y  x 2 由 �y  x  m ，消 可得 2 ，故 x , x 为方程 2 的两个根 y � x x  m  0 x x  m  0 A B �x 2  y 2  Dx  Ey  0 由 �y  x  m ，消 可得 2 x  ( x  m) 2  Dx  E ( x  m)  0 y � 即 故 2 x 2  (2m  D  E ) x  (m2  mE )  0 x A , xB 为方程 2 x 2  ( 2 m  D  E ) x  ( m 2  mE )  0 的两个根 所以 2 x 2  (2m  D  E ) x  (m2  mE )  0 与 x 2  x  m  0 为同一方程 �2m  D  E  2 �D  m � 故有 m 2  mE  2m ，解得 � � �E  m  2 1 2 2 m x  y  mx  2  m y  0   所以圆 C 的方程为 （ 4 且 m �0 ，故 C 正确； 1 2 2 m x  y  mx  2  m y  0   对于 D，由 C： （ 4 且 m �0 ）， 整理可得 x2  y2  m  x  y   2 y  0 ，方程过定点 �x  y  0 �x  1 � 则 x 2  y 2  2 y  0 ，解得 �y  1 ，所以圆 过定点  1,1 ，故 D 正确； C � � 故选：ACD. 【巩固训练】 1.已知圆 C 过点 A(4, 2) ， B (1,3) ，它与 x 轴的交点为  x1 , 0  ，  x2 , 0  ，与 y 轴的交点为  0, y1  ，  0, y2  ，且 x1  x2  y1  y2  6 ，则圆 C 的标准方程为___________. 2. 已知曲线 y  x 2  x  2020 P(0,−2020 ) 点，则 与 x 轴交于 过M ,N , P M,N ，两点，与 y 轴交于 外接圆的方程为（ ） A． x 2  y 2  x  2019 y  2020  0 B． x 2  y 2  x  2021y  2020  0 C． x 2  y 2  x  2019 y  2020  0 D． x 2  y 2  x  2021y  2020  0 3.在平面直角坐标系 xOy 中，记二次函数 f ( x)  x 2  2 x  b 三个交点．经过三个交点的圆记为 C ，则圆 C 经过定点 【答案或提示】 1.【答案】 ( x  2) 2  ( y  1)2  5 2 2 【解析】设圆 C 的一般式方程为 x  y  Dx  Ey  F  0 ， 令 y  0 ，得 x 2  Dx  F  0 ，所以 x1  x2   D ， （ x �R ）与两坐标轴有 （其坐标与 b 的无关）． 2 令 x  0 ，得 y  Ey  F  0 ，所以 y1  y2   E ， 所以有 x1  x2  y1  y2  ( D  E )  6 ，所以 D  E  6 ，① 2 2 又圆 C 过点 A(4, 2) ， B (1,3) ，所以 4  2  4 D  2 E  F  0 ，② 12  32  D  3E  F  0 ，③， 由①②③得 D  4 ， E  2 ， F  0 ， 所以圆 C 的一般式方程为 x  y  4 x  2 y  0 ，标准方程为 ( x  2)  ( y  1)  5 . 2 2 2 2. 【答案】A 【解析】设 令 则 ∵ ∴ y0 2 2 △ MNP 外接圆的方程为 x  y  Dx  Ey  F  0 ，（#） ，则 xM , xN x 2  Dx  F  0 为方程 x  Dx  F  0 的两个根 2 y  x 2  x  2020 xM , xN 故方程 与 x 轴交于 M,N 两点 2 为方程 x  x  2020  0 的两个根 x 2  Dx  F  0 与方程 x 2  x  2020  0 的根相同 x 2  y 2  x  Ey  2020  0 ∴ D  1 ， F  2020 ，代入（#） 又∵ ∴ P(0,−2020 ) 在圆上 ( 2020)2  2020 E  2020  0 所以所求圆的方程为 3.【答案】 ，解得 E  2019 x 2  y 2  x  2019 y  2020  0 . (0,1), (2,0) 【解析】设所求圆的一般方程为 x 2  y 2  Dx  Ey  F  0 2 令 y ＝0 得 令 x ＝0 得 x 2  Dx  F  0 y 2  Ey  0 所以圆 C 的方程为 分离参数得： 这与 x2  2 x  b  0 b 是同一个方程，故 D＝2，F＝ ． ，此方程有一个根为 b，代入得出 E＝―b―1． x 2  y 2  2 x  (b  1) y  b  0 x 2  y 2  2 x  y  b (1  y )  0 . （*） 令 x ＝0，得抛物线与 y 轴交点是（0，b）； 令 f  x  