专题 01 圆的切点弦的应用 【方法点拨】 1.过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 外一点 P(x0，y0) 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0 －a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2； 2.过圆 x2＋y2＝r2 外一点 P (x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x＋y0y＝r2. 【典型题示例】 例 1 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(－4,0)，B(0,4)，从直线 AB 上一点圆 P 向圆 C： x2  y 2  4 引两条切线 PC、PD，切点分别是 C、D，设线段 CD 的中点为 M，则线段 AM 长的最大值为 ． 【答案】 3 2 【解析】设点的坐标为 P ( x0 , x0  4) 则 CD 的方程为 x0 x  ( x0  4) y  4 ， 分参得 ( x  y ) x0  (4 y  4)  0 所以 �x  y  0 � �4 y  4  0 ，解之得 �x  1 � �y  1 ，直线 CD 恒过点 N（－1,1） 又因为 OM⊥CD， 2 2 � 1� � 1� 1 x  � �y  � 所以点 M 的轨迹是以 ON 为直径的圆（点 O 除外），故其方程是 � � 2� � 2� 2 2 2 � 1� � 1� 2 4  � � 0  � 3 2. 所以 AM  � � 2� � 2� 2 例 2 在平面直角坐标系 xoy 中， 已知圆 C :(x  2)2  (y  2)2 ＝ 20 与 x 轴交于 A 、 B（点 A 在点 B 的左侧），圆 C 的弦 MN 过点 T(3，4)，分别过 M、N 作圆 C 的切线，交点为 P，则线段 AP 的最小值为 　　 ． 【答案】 28 5 5 【分析】设出点 P 坐标，根据切点弦求出点 P 轨迹方程，再利用点线距以垂线段最小求解. 【解析】设点 P 坐标为(a，b ) 则切点弦 MN 的方程为：(a  2) (x  2)  (b  2) (y  2)＝ 20 又因为弦 MN 过点 T(3，4)， 故(a  2) (3  2)  (b  2) (4  2)＝ 20，即 a 2b  26＝0 即点 P 的轨迹方程是 x 2y  26＝0 点 A（－2,0）到该直线的距离为 28 5 5 ， 因为定点到直线上任意一点间的距离中垂线段最小 所以点 A（－2,0）到该直线的距离 28 5 5 即为 AP 的最小值. 例 3 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C： ( x  2)2  y 2  4 ，点 A 是直线 一个动点，AP，AQ 分别切圆 C 于 P，Q 两点，则线段 PQ 长的取值范围为 � 2 2,4 【答案】 �  【解析】设点的坐标为 A( x0 , x0  2) 则 PQ 的方程为 ( x0  2)( x  2)  ( x0  2) y  4 ， 分参得 ( x  y  2) x0  (2 x  2 y )  0 所以 �x  y  2  0 � �2 x  2 y  0 ，解之得 �x  1 � �y  1 ，直线 PQ 恒过点（1,1） x y20 ． 的 易求得过点（1,1）最短的弦长为 2 2 、最长的弦长为 4 （取不得）  � 2 2,4 . 故线段 PQ 长的取值范围为 � 【巩固训练】 2 1.已知 P 为直线 l : x  y  4  0 上一动点，过点 P 向圆 C :  x  1  y  5 作两切线，切 2 点分别为 A、B，则直线 AB 恒过定点 . 2. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 圆 C ： x 2  ( y  3)2  2 ，点 A 是 x 轴上的一个动点， AP，AQ 分别切圆 C 于 P，Q 两点，则线段 PQ 长的取值范围为 ． A  2,1 3.过圆 M : ( x  1)  y  4 内一点 作一弦交圆于 B 、 C 两点，过点 B 、 C 分别作 2 圆的切线 A． C． PB 、 2 PC ，两切线交于点 P ，则点 y 5  0 的轨迹方程为（ B． x  y 5  0 4.已知点 P 在直线 A，B，则点 P D． x y  4 M (3, 2) 上，过点 P 作圆 x y5 0 x y5  0 O : x2  y2  4 到直线 AB 距离的最大值为（ B． 3 A． 2 ） 的两条切线，切点分别为 ） D． 5 C．2 2 2 5. 过直线 x  y  4 上一动点 M，向圆 O : x  y  4 引两条切线，A、B 为切点，则圆 C : ( x  3)2  ( y  3)2  1 的动点 P 到直线 AB 距离的最大值为 A． 2 5  1 B．6 6. （多选题）过直线 点分别为 A ， B x  y  4  0  x   ，直线 AB D． 2 6  1 C．8 x 与 ， y 上一点 P 作圆 O ： x  y  4 的两条切线，切 轴分别交于点 2 M ， N ，则（ 2 ） A．点 C． O AB 恒在以线段 AB 为直径的圆上 B．四边形 的最小值为 2 2 7. （多选题）已知直线 正确的是（ D． PAOB OM  ON 面积的最小值为 4 的最小值为 4 l : ax  by  r 2  0 与圆 C : x 2  y 2  r 2 ，点 A(a, b) ，则下列说法 ） A. 若点 A 在圆 C 上，则直线 l 与圆 C 相切 B. 若点 A 在圆 C 内，则直线 l 与圆 C 相离 C. 若点 A 在圆 C 外，则直线 l 与圆 C 相离 D. 若点 A 在直线 l 上，则直线 l 与圆 C 相切 【答案或提示】 1.【答案】  0,1 【解析】设 P  x0 , 4  x0  ，又 以 PC 为直径的圆的方程为 整理得 ∵ C  1, 0  ， ( x +1)  x  x0   y  y  4+x0   0 x 2  y 2   1  x0  x   x0  4  y  x0  0 �PAC  �PAB  ， ，  2， ∴这个圆也是四边形 ACBP 的外接圆，它与圆 C 方程相减，得公共弦 AB 方程：  x0  1 x   4  x0  y  x0  4  0 ； � x0  x  y  1  x  4 y  4  0 ， �x  y  1  0 �x  0 �� � 令 x  4y  4  0 � �y  1 ， ∴AB 恒过定点  0,1 . 2 14 , 2 2) 2. 【答案】 3 [ 【提示】设 A  x0 , 0  则直线 PQ 的方程是 x0 x  3  y  3  2 ，即 x0 x  3 y  7  0 � 7� 0, � 所以直线 PQ 过定点 � � 3 �. � 7� 2 14 0, � = � 3 ，直径是其上界. 则 PQ 长的最小值是过 � 3 � 且平行于 x 轴的弦，易得此时 PQ 3. 【答案】C 【分析】设 P 点坐标为 线的方程，将点 A  2,1 【解析】设 P 点坐标为  x0 , y0  ，写出以 MP 为直径的圆的方程，作差求得公共弦所在直 代入方程，由此得出结论．  x0 , y0  ， 根据圆的直径式方程知，以 MP 为直径的圆的方程为 两圆方程作差可得公共弦 BC 的方程为 而 A  2,1 故点 P 的轨迹方程为 故选：C． 4. 【答案】D  x0  1 x  yy0  x0  3  0 ，  x0  y0  5  0 ， 在直线 BC 上， x y 5  0 ， ( x  1)  x  x0   y  y  y0   0 ， 【解析】设 P ( a, b) ，则 ab  4 ， 2 2 � a� � b� 1 2 2 x  � �y  �  a  b  ， 以 OP 为直径的圆的方程是 � � 2� � 2� 4 与圆 O 的方程 因为 即 ab  4 x2  y 2  4 ，所以 相减，得直线 AB 的方程为 b  4a a( x  y )  4 y  4  0 ，当 ax  by  4 ，代入直线 AB 的方程，得 x y 且 4y  4  0 ，即 ，即 ax  by  4  0 ax  (4  a) y  4  0 x 1 ， y 1 ， ， 时该方程恒成立， 所以直线 AB 过定点 N(1，1)， 点 M 到直线 AB 距离的最大值即为点 M，N 之间的距离， 所以点 M(3，2)到直线 AB 距离的最大值为 | MN | 5 ， 5 .故选:D 5.【答案】 A 【解析】设点 M 的坐标为 M ( x0 , 4  x0 ) 则 AB 的方程为 x0 x  (4  x0 ) y  4 ， 分参得 ( x  y ) x0  (4 y  4)  0 所以 �x  y  0 � �4 y  4  0 ，解之得 �x  1 � �y  1 ，直线 AB 恒过点（1,1） 2 2 由平面几何易知，圆 C : ( x  3)  ( y  3)  1 的动点 P 到直线 AB 距离的最大值为（1,1）与 圆心 C (3,3) 之间的距离加上圆的半径，即 2 5  1 . 故选：A. 6.【答案】BCD 【分析】对于 A，由动点及圆的性质即可判断； 对于 B，连接 PO ，利用切线的性质将四边形的面积用 离公式求解； PO 表示，进而利用点到直线的距 对于 C，由点 A ， B 在以 OP 为直径的圆上可求得直线 AB 的方程，进而得到该直线过定 点，最后数形结合即可得解； 对于 D，先由直线 AB 的方裎得到点 M ，