基本不等式 【考点梳理】 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b. 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2)＋≥2(a，b 同号且不为零)； (3)ab≤2(a，b∈R)； (4)2≤(a，b∈R)． 3．算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则 (1)如果 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2(简记：积定和 最小)． (2)如果 x＋y 是定值 q，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是(简记：和定积最 大)． 【考点突破】 考点一、配凑法求最值 【例 1】(1)若 x＜ ，则 f(x)＝4x－2＋ (2)函数 y＝的最大值为________. [答案] (1) 1　(2) [解析] (1)因为 x＜，所以 5－4x＞0， 的最大值为________． 则 f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3 ＝－2＋3＝1. 当且仅当 5－4x＝，即 x＝1 时，等号成立. 故 f(x)＝4x－2＋的最大值为 1. (2)令 t＝≥0，则 x＝t2＋1， 所以 y＝＝. 当 t＝0，即 x＝1 时，y＝0； 当 t＞0，即 x＞1 时，y＝， 因为 t＋≥2＝4(当且仅当 t＝2 时取等号)， 所以 y＝≤， 即 y 的最大值为(当 t＝2，即 x＝5 时 y 取得最大值). 【类题通法】 1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一 正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指 满足等号成立的条件. 2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为 常数的形式，然后再利用基本不等式. 【对点训练】 1．若函数 f(x)＝x＋(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 [答案] C [解析] 当 x>2 时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当 x－2＝ (x>2)，即 x＝3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，即 a＝3，选 C. 2．函数 y＝(x>1)的最小值为________. [答案] 2＋2 [解析] y＝＝ ＝ ＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 当且仅当 x－1＝，即 x＝＋1 时，等号成立. 考点二、常数代换或消元法求最值 【例 2】(1)已知 x，y 均为正实数，且＋＝，则 x＋y 的最小值为(　　) A．24 B．32 C．20 D．28 (2)已知 x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为________. [答案] (1) C　(2) 6 [解析] (1)∵x，y 均为正实数，且＋＝， 则 x＋y＝(x＋2＋y＋2)－4 ＝6(x＋2＋y＋2)－4 ＝6－4 ≥6×－4＝20， 当且仅当 x＝y＝10 时取等号. ∴x＋y 的最小值为 20. (2)由已知得 x＝. 法一　(消元法) 因为 x＞0，y＞0，所以 0＜y＜3， 所以 x＋3y＝＋3y ＝＋3(y＋1)－6≥2－6＝6， 当且仅当＝3(y＋1)， 即 y＝1，x＝3 时，(x＋3y)min＝6. 法二　∵x＞0，y＞0， 9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·， 当且仅当 x＝3y 时等号成立. 设 x＋3y＝t＞0，则 t2＋12t－108≥0， ∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6. 故当 x＝3，y＝1 时，(x＋3y)min＝6. 【类题通法】 条件最值的求解通常有三种方法： 一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为 函数的最值求解； 二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利 用基本不等式求解最值； 三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解. 【对点训练】 1．若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值为________. [答案] 5 [解析] 法一　由 x＋3y＝5xy 可得＋＝1， ∴3x＋4y＝(3x＋4y) ＝＋＋＋≥＋＝5(当且仅当＝，即 x＝1，y＝时，等号成立)， ∴3x＋4y 的最小值是 5. 法二　由 x＋3y＝5xy，得 x＝， ∵x>0，y>0，∴y>， ∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4≥＋2＝5， 当且仅当 y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5. 2．已知直线 l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2，3)，则 a＋b 的最小值为_ _______. [答案] 5＋2 [解析] 因为直线 l 经过点(2，3)，所以 2a＋3b－ab＝0，所以 b＝>0，所以 a－ 3>0，所以 a＋b＝a＋＝a－3＋＋5≥5＋2＝5＋2，当且仅当 a－3＝，即 a＝3＋，b ＝2＋时等号成立. 考点三、基本不等式的实际应用 【例 3】某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之 间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的 距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费为 5 万元，当工厂和仓库之间的距离为_ _______千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元. [答案] 2　20 [解析] 设工厂和仓库之间的距离为 x 千米，运费为 y1 万元，仓储费为 y2 万元， 则 y1＝k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)， ∵工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费用为 5 万元， ∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为万元， ∵5x＋≥2＝20，当且仅当 5x＝，即 x＝2 时，运费与仓储费之和最小，为 20 万 元. 【类题通法】 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范 围)求解. 【对点训练】 一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个矩形 的长为______m，宽为________m 时菜园面积最大. [答案] 15　 [解析] 设矩形的长为 x m，宽为 y m，则 x＋2y＝30． 所以 S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当 x＝2y，即 x＝15，y＝时取等号.