空间向量与立体几何 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题） 请点击修改第 I 卷的文字说明 一、单选题 1．如图所示，在大小为 30°的二面角 A  EF  D 中，四边形 ABFE 和四边形 CDEF 都 是边长为 1 的正方形，则 B，D 两点间的距离是（ 2．在棱长为 2 的正四面体 N 满足 A．  C． 3  3 B． 2 A．2 ABCD uuur uuur uuur DN   DA  (  1) DB 4 3 B． 3．平行六面体 ） D． 3  3 uuuu r uuu r uuur uuur AM  x AB  y AC  (1  x  y ) AD M 中，点 满足 ，点 uuuu r uuuu r DN AM � MN  AM ，当 ､ 最短时， （ ） 4 3 ABCD  A1 B1C1D1 C．  1 3 D． 1 3 中， AC1 AB  2, AD  2, AA1  3, �DAB  �BAA1  �DAA1  60� ，则该平行六面体的体对角线 的长为（ A． 33 ） B．5 C． 24 D． 17 4．四边形 ABCD 中， AB  BD  DA  4 ， BC  CD  2 2 ，现将 △ ABD 沿 BD 折起，当  2 � � , � � 二面角 A  BD  C 的大小在 �3 3 �时，直线 AB 和 CD 所成的角为  ，则 cos  的最大 值为（ ） 2 2 6 A． 8 2 2 6 C． 4 2 2 6 B． 8 2 2 6 D． 6 5．如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥平面 ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AB ＝2，以 B 为原点，分别以 uuur uuu r uuur BC , BA, AF 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直 角坐标系，设平面 PAB 和平面 PBC 的一个法向量分别为 （ D． ABC  A1B1C1 中，若 uuur PC  (4, 0, 2) r n  (0, 2, 2) AB  2 BB1 ，则 AB1 与 BC1 所成角的大小为 ） A． 60� B． 90� 7．已知直线 l 的方向向量为 ） B． r r cos m, n  0 6．如图，在正三棱柱 （ ，则下列结论中正确的是 ） A．点 P 的坐标为（0，0，2） C． r r m, n  1, 2,3 D． 75� C．105� ，平面  的法向量为  2, m, 6  ，若 l   ，则 m  （ A． 10 B．3 8．已知空间三点： A  0, 0, 0  ， r uuu r c  CA A． C．4   ， C  0, B 0, 3,1 ，则下列命题错误的是（ D．5 uur  ，设 ar  uABuur ， br  uBC ， 3, 1 ） r r r r acb  0 r c r r B． b 在 c 方向上的投影向量等于 2 C． VABC 是等边三角形 r r r r a �r �r b �r �r c �r � a � � b� b � � c� c � � a0 � D． � 2 � � 2 � � 2 � 二、多选题 9．已知正四棱锥 S  ABCD 点， AC  2 ，则（ 3 的侧棱长是底面边长的 倍， O 为底面中心， E 是 SB 的中 ） 3 A．异面直线 AE ， SC 所成角的余弦值为 10 B． SA  6 15 C．异面直线 AE ， SC 所成角的余弦值为 10 D． SO  5 10．在边长为 1 正方体 ABCDA1B1C1D1 中，若 F，G 分别是棱 AB，CC1 的中点，则（ ） A．二面角 A1AC1B 的大小为 90° uuur uuur 3 AC  B． FG � 2 3 C．直线 FG 与平面 A1ACC1 所成角的正弦值等于 6 D．FG⊥BC1 11．下列命题中，正确的有（ ） r r a, b A．空间任意向量 都是共面向量 P B．已知 ， A B ， ， C 四点共面，对空间任意一点 O ，若 uuur uuu r uuur uuur OP  2OA  OB  tOC ，则 t  1 C．在四面体中 D．若向量 P  ABC ，若 r r r r r r a  b,b  c,c  a 12．已知点 是平行四边形 ，则（ ， uuur uuur PC � AB  0 是空间一组基底，则 P uuu r AP  (1, 2, 1) uuu r uuur PA � BC  0 ABCD r r r a, b , c ，则 uuu r uuur PB � AC  0 也是空间的一组基底 所在平面外的一点， uuu r AB  (2, 1, 4) ， uuur AD  (4, 2, 0) ， ） A． AP  BC uuu r B． AP 是平面 PBC 的法向量 C． uuur uuur AP / / BD 7 D．直线 BP 与平面 ABCD 所成角的余弦值为 3 第 II 卷（非选择题） 三、填空题 13．正方体 C1 D1 ABCD  A1 B1C1D1 的中点，则过 EF 且与 A1 B1 AD B1C1 2 M N F 的棱长为 ， ， ， E ， 分别是 ， ， ， MN 平行的平面截正方体所得截面的面积为______， CE 和 该截面所成角的正弦值为______． 14．如图，平行六面体 且它们彼此的夹角都是 ABCD  A1 B1C1D1 ，其中，以顶点 A 为端点的三条棱长均为 2， 60� AC BD1 ，则 与 所成角的余弦值___________. 15．在空间直角坐标系 O  xyz y 轴上，且 AD  BC ，那么 uuur CD 中，已知 A  1, 0,3 ， B  0,1, 1 ，点 C，D，分别在 x 轴， 的最小值是___________. r r r r r r r a   x,1,1 b   1, y ,1 c （，，） y �R x 4  8 4 ，且 a  c ， b // c ，则 16．设 ， ，向量 ， ， r r ab  ____________． 四、解答题 17．如图所示，在三棱柱 AC  BC  2 ， CC1  3 ABC  A1 B1C1 ，点 D ， E 中， CC1⊥ 分别在棱 AA1 平面 和棱 ABC CC1 ， AC  BC 上，且 AD  1 ， ， CE  2 ，点 M 为棱 A1 B1 的中点. （1）求证： （2）求直线 C1M / / AB 平面 与平面 DB1E DB1E ； 所成角的正弦值. 18．已知四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 ABCD  平面 DEC，且 DE  EC ， 平面 ADE 与平面 BEC 所成的锐二面角为 60°. （1）求四棱锥 E  ABCD 的体积； （2）当四棱锥 E  ABCD 的体积大于 1 时，求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值. 19．如图，在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD  底面 ABCD ， PD  DC  2 ． （1）求证： PB  AC ； （2）求 PA 与平面 PBC 的所成角的大小． 20．如图，已知三棱锥 A  BCD 满足 DA⊥底面 ABC， �BAC  90 ， � � � AB  AC  AD  2 ，E 为 AD 中点， BF  2 FC . （1）求 E 与 F 两点的距离； （2）求异面直线 EB 与 FD 所成角的余弦值. 21．如图，在直四棱柱 （1）若 F 为 BB1 ABCD  A1 B1C1D1 的中点，试在 A1 B1 中， A1 E  2 EA 上找一点 P ，使 PF / / 平面 CD1E ； （2）若四边形 ABCD 是正方形，且 BB1 与平面 CD1E 所成角的余弦值为 角 E  D1C  D 的余弦值. 2 10 7 ，求二面 22．如图所示，正方形 ABCD 所在平面与梯形 ABMN 所在平面垂直， MB //AN ， NA  AB  2 ， BM  4 ， CN  2 3 （1）证明： DN // 平面 BCM ； （2）求直线 AC 与平面 CDM 所成角的正弦值； （3）在线段 CM 上是否存在一点 E ，使得平面 BEN 与平面 BMN 的夹角的余弦值为 CE 3 3 ，若存在求出 EM 的值，若不存在，请说明理由. 空间向量与立体几何 参考答案 1．C 【分析】 利用空间向量基本定理写出向量 uuur DB 的表达式，利用正方形的性质和二面角的定义，结合 空间向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】 解：因为四边形 ABFE ， CDEF 都是边长为 1 的正方形，所以有 uuur uuur uuur uuu r DE � EF  EF � FB  0 ， 因为四边形 ABFE ， CDEF 都是边长为 1 的正方形，所以有 BF ^ EF , CF ^ EF ，因为二面 角 A  EF  D 大小为 30°，所以有 �BFC  30 ，因此 � uuur uuu r 3 DE � FB  1�� 1 cos 180� 30�   2 ，   uuur uuur uuur uuu r 因为 DB  DE  EF  FB ， uuur 2 uuur 2 uuur2 uuu r2 uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r EF  2 DE � FB  2 EF � FB  3  3 ，因此有 所以 DB  DE  EF  FB  2 DE � BD = 3 - 3 . 故选