【知识要点】 一、四种距离的定义及常见求法 1、线线距：线线距指的是两条平行直线之间的距离，其中一条直线上的任意一点到另外一条直线 的距离. 常见求法：(1)几何法：在其中一条直线上任意取一点，然后作另外一条直线的垂线段，求垂线段的 长度.（2）向量法： ，其中 ， 是 的方向向量 新疆 源头学子小屋 ht p:/ /w w .xjk tyg .c om /wx c/ 特级教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头学子小屋 ht p:/ /w w .xjk tyg .c om /wx c/ 特级教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 间的距离为 2、异面直线间的距离：异面直线 常见求法①几何法：先证线段 如下图所示， 为异面直线 间的公垂线段的长． 的公垂线段，然后求出 是两异面直线， 是 和 的法向量，点 的长即可．② 向量法： ，则异面直线 与 之间的距离是 ； E a b F 3、直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间，为直线上任意一点到平面间的距离. 常见求法：（1）几何法：找 作 证（定义） 求（解三角形）；（2）向量法.利用直线 与平面 之间的距离公式： ，其中 是平面 的法向量 新疆 源头学子小屋 新疆 源头学子小屋 ht p:/ /w w .xjk tyg .c om /wx c/ ht p:/ /w w .xjk tyg .c om /wx c/ 特级教师 王新敞 特级教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头学子小屋 新疆 源头学子小屋 ht p:/ /w w .xjk tyg .c om /wx c/ ht p:/ /w w .xjk tyg .c om /wx c/ 特级教师 王新敞 特级教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om w xc kt@ 12 6.c om 4、平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间，为一个平面上任意一点到另一个平面的距离. 常见求法（1）几何法：找 面 之间的距离 作 证（定义） 求（解三角形）；（2）向量法.一般利用两平行平 ，其中 是平面 的法向量 新疆 源头学子小屋 新疆 源头学子小屋 ht p:/ /w w .xjk tyg .c om /wx c/ ht p:/ /w w .xjk tyg .c om /wx c/ 特级教师 王新敞 特级教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头学子小屋 新疆 源头学子小屋 ht p:/ /w w .xjk tyg .c om /wx c/ ht p:/ /w w .xjk tyg .c om /wx c/ 特级教师 王新敞 特级教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om w xc kt@ 12 6.c om 二、上面四种距离都是对应图形上两点间的最短距离.所以均可以用求函数的最小值法求各距离.. 三、上面四种距离是可以相互转化的，最终都可以转化成点点距来求解. 四、在上面四种距离的解法中，最常用的是几何的方法和向量的方法. 【方法讲评】 两平行直线的距离 方法一 几何法 使用情景 直线和直线的距离比较容易作出. 解题步骤 找 作 证（定义） 求（解三角形） 方法二 向量法 使用情景 直线和直线的距离不容易作出，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的坐标. 建立空间直角坐标系 求直线的方向向量 求 代入公式 解题步骤 ，其中 ， 是 的方向向量 新疆 源头学子小屋 ht p:/ /w w .xjk tyg .c om /wx c/ 特级教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头学子小屋 ht p:/ /w w .xjk tyg .c om /wx c/ 特级教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 由于高考关于立体几何中两平行线间的距离考得相当少，几乎不考，所以这里不再赘述. 异面直线间的距离 方法一 几何法 使用情景 异面直线的公垂线段存在或比较容易作出. 解题步骤 方法二 使用情景 证线段 为异面直线 的公垂线段 求出 的长即可． 向量法 异面直线的公垂线段不存在或不容易作出，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的 坐标. 建立空间直角坐标系 求 和 的法向量 ( 是两异面直线) 求向量 ( 解题步骤 代入异面直线 和 之间的距离公式 ) 【例 1】已知正四棱柱 所成的角为 (1)截面 (3)连结 , ，点 上，截面 ,且面 ,求： 的面积；(2)异面直线 交 在棱 于 ，交 于 与 之间的距离；(3)三棱锥 ，推证出 ⊥面 的体积. 与底面 ∴ 是三棱锥 的高，得 【点评】本题就是利用利用几何法求两异面直线的距离，先证明 与 间的公 .学科.网 垂线，再求 【反馈检测 1】直三棱柱 点到 是异面直线 的距离为 （1）求证： = 的底面 ， （2）求异面直线 ⊥平面 与 （3）求二面角 为 为等腰直角三角形， ， ， 的中点. ； 之间的距离； 的平面角的正切. 【例 2】如图 1，正四棱锥 的高 ，底边长 .求异面直线 和 之间的距离？ 【解析】 S D A 图1 【点评】由于本题已知条件适 C O B 用于建立空间直角坐标系，所 以选用向量的方法求两异面直线间的距离. 【反馈检测 2】已知正方体 （Ⅰ） 与平面 的棱长为 2，点 为棱 所成角的余弦值；（Ⅱ）二面角 （Ⅲ）异面直线 与 的中点，求： 的余弦值； 之间的距离． 直线到平面的距离 方法一 几何法 使用情景 直线上一点在平面的射影位置比较容易确定. 解题步骤 找 作 方法二 使用情景 证（定义） 求（解三角形） 向量法 直线上的点在平面内的射影位置不好确定，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的 坐标. 建立空间直角坐标系 求平面 的法向量 求平面的斜向量 的坐标（ 解题步骤 ） 【例 3】在直三棱柱 （1）异面直线 与 代入公式 中, ，即得直线 到平面 , 所成角的大小； （2）直线 的距离. ，求： 到平面 的距离． 【点评】线面距离往往转化成点面距离来处理，最后可能转化为空间几何体的体积求得，体积法不用 作垂线. 学科.网 【反馈检测 3】已知正三棱柱 （1）求点 的底面边长为 8，对角线 到直线 ，D 是 的距离.（2）求直线 D A 的中点. 到平面 的距离. C B 【例 4】如图①在直 角梯形 ， 平面 ， ⊥平面 （1）求证 （3）在线段 分别是线段 、 ， 中， 的中点，现将 （如图②） ∥平面 ；（2）求直线 上确定一点 ，使 ⊥平面 与平面 之间的距离； ，试给出证明． ， ， 折起，使 (2)由(1)知 平面 所以点 ∴ ∥平面 ，则 的法向量 到平面 到平面 （3）假设在线段 的距离为｜ ， 到平面 (2,0,0), 的距离为点 (1,2,0) , ｜= = 的距离为 上存在一点 ，使 ⊥平面 ， 到平面 =(-1,2,0) 的距离 【点评】本题就是把直线到平面的距离转化成点到平面的距离，再利用公式求解. 平面到平面的距离 方法一 几何法 使用情景 一个平面内的点在另外一个平面的射影位置比较容易确定. 解题步骤 找 作 证（定义） 方法二 使用情景 求（解三角形） 向量法 一个平面内的点在另外一个平面内的射影位置不好确定，根据已知条件比较容易建立坐标 系，写出点的坐标. 建立空间直角坐标系 求平面 的法向量 求平面的斜向量 的坐标（ 解题步骤 ） 代入公式 ，即得平面 到平面 【例 5】 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图： （1）求证：平面 A1BC1∥平面 ACD1； （2）求(1)中两个平行平面间的距离； （3）求点 B1 到平面 A1BC1 的距离. D1 A1 C1 B1 D A C B 的距离. （3）解：由于线段 B1D1 被平面 A1BC1 所平分，则 B1、D1 到平面 A1BC1 的距离相等，则由（2）知点 B1 到平面 A1BC1 的距离等于 . 【点评】（1）立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来.在具体的 问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面.这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通 过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了.（2）本题中求面面距利用到了转化的 思想，把面面距灵活地转化成了点面距. 【反馈检测 4】已知 和 =__________ ， 新疆 源头学子小屋 ht p:/ /w w .xjk tyg .c om /wx c/ 特级教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 新疆 源头学子小屋 ht p:/ /w w .xjk tyg .c om /wx c/ 特级教师 王新敞 w xc kt@ 12 6.c om 是两条异面直线， ， ， 是三个互相平行的平面， ，又 与 成 角，则 分别交 于 与 的距离是__________； 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 57 讲： 空间线线距、异面直线间的距离、线面距和面面距的求法参考答案 【反馈检测 1 答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ） （3）连结 在 Rt△ ∴ ，易证 中， = ⊥ ，又 ⊥ （Ⅲ） ,∴ 是二面角 , ∴ ， ， ∴ ∴ 【反馈检测 2 答案】（1） 的平面角. , . 所以二面角 ；（2） 的平面角的正切值为 ；（3） 【反馈检测 2 详细解析】建立坐标系如图，则 .学科.网 、 ， ， ， ， ， ， ， 【反馈检测 3 答案】（1） ；（2） 在 就是 . ，由三垂线定理可得： 点到直线 AC 的距离. 中 （2）因为 AC 与平面 BD ， ． 【反馈检测 3 详细解析】：（1）连结 BD， ，所以 ， ． 交于ＡＣ的中点Ｄ，设 ，则 . //DE，所以 //平面 ， 所以