诸暨中学 2021 学年高二期中考试数学试卷 2021.11 命题教师 何江平 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.直线 y  3x  1 的倾斜角为（ A.-60° 2.双曲线 ） B.30° x2  y2 1 的渐近线方程为（ 4 1 y� x A. 2 C.60° D.12° 2x C. y  � 4x D. y  � ） 1 y� x B. 4 r r r a  (2,  1,3) b  (4, m, n ) ，且 ar ∥ b ，则 m  n 的值为（ 3.已知两个向量 ， A.1 B.2 4.直线 l： C.4 mx  y  1  m  0 A.相交 与圆 C： D.8 x  ( y  1)  5 2 B.相切 ） 2 的位置关系是（ C.相离 ） D.不确定 uuur uuur uuur AB  (2,  1,3) AC  (  1, 4,  2) 5.已知 ， ， AD  (5, 6,  ) ，若 A，B，C，D 四点共面，则实数   （ A.5 B.6 x 2 6.P 是双曲线 C： 2 的左焦点，则 C.7  y2  1 | PF1 |  | PQ | D.8 右支上一点，直线 l 是双曲线的一条渐近线.P 在 l 上的射影为 Q， F1 是双曲线 C 的最小值为（ 15 B. 2  5 A.1 ） ） 14 C. 4  5 D. 2 2  1 x2 y2  1 7.点 P 是椭圆 C： a 2 b 2 （ a  b  0 ）上一点，点 F1 、 F2 是椭圆 C 的左、右焦点，若 △ PF1 F2 的内切 圆半径的最大值为 a  c ，则椭圆的离心率为（ 2 A. 3 8.棱长为 2 的正方体 2 B. 2 ABCD  A1 B1C1D1 ） 3 C. 2 中，N 为 CC1 3 D. 3 中点，P 在底面 ABCD 内运动， D1 P 与平面 ABCD 所 成角为 1 ， NP 与平面 ABCD 所成角为  2 ，若 1   2 ，则 AP 的最小值为（ 8 B. 3 A.2 C.4 ） D.1 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对 得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分. π ur uu r ur uu r 9.三棱锥 A  BCD 中，平面 ABD 与平面 BCD 的法向量为 n1 ， n2 ，若 n1 与 n2 的夹角为 3 ，则二面角 A  BD  C 的平面角的大小可能为（ π A. 6 π B. 3 10.已知曲线 C： ） 2π C. 3 mx 2  ny 2  1 5π D. 6 （m， n �R ），则下列说法正确的是（ ） A.若 m  0 ， n  0 ，且 m �n ，则曲线 C 是椭圆 B.若 m  n  0 ，则曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆 C.若 m  0  n ，则曲线 C 是焦点在 x 轴上的双曲线 D.曲线 C 可以是抛物线 11.瑞士著名数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人 称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作 拉线”与圆 M： ( x  5) 2  y 2  r 2 A.圆 M 上点到直线 x y 3 0 △ ABC ， AB  AC ，点 B (2, 4) ，点 C (5, 3) ，且其“欧 相切，则下列结论正确的是（ 的最大距离为 ） 4 2 y B.若点 ( x, y ) ，在圆 M 上，则 x  1 的取值范围是 [ 1,1] C.若点 ( x, y ) 在圆 M 上，则 x y 的最小值是 1 2 2 D.圆 ( x  a  1)  ( y  a)  2 与圆 M 有公共点，则 a 的取值范围是 [2  5, 2  5] 12.如图，棱长为 2 的正方体 ABCD  A1 B1C1 D1 ，E、F 分别为棱 A1 D1 、 AA1 的中点，G 为面对角线 B1C 上一 动点，则下列选项中正确的是（ ） 1 A  EFG A.三棱锥 1 的体积为定值 3 B.存在 G �线段 C.G 为 B1C B1C 上靠近 ，使平面 EFG ∥ 平面 B1 BDC1 的四等分点时，直线 EG 与 BC1 所成角最小 D.若平面 EFG 与棱 AB ， BC 有交点，记交点分别为 M，N，则 | MF |  | MN | 的取值范围是 [ 5, 13] 三、填空题：本题共 4 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 20 分. 13.若直线 2x  y  5  0 与直线 x  ay  3  0 相互平行，则实数 a  __________；这两条平行直线间的距离 为__________. 14.已知抛物线 y 2  2 px （ p0 交该抛物线与 A、B 两点，则 15.一动圆与定圆 O1 ： ）的焦点为 AB  F (1, 0) ，则实数 p __________；若过点 F 且斜率为 1 的直线 ___________. ( x  3) 2  y 2  1 外切，与定圆 O2 ： ( x  3) 2  y 2  81 内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ______________. 16.如图，在三棱柱 ABC  A1 B1C1 中， AB ， AC ， AA1 两两互相垂直， AB  AC  AA1 ，M，N 分别是侧 π 棱 BB1 ， CC1 上的点，平面 AMN 与平面 ABC 所成的（锐）二面角为 6 ，则当 B1M 最小时 �AMB  ____ _. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分）如图，棱长为 1 的正四面体（四个面都是正三角形） OABC ，M 是棱 BC 的中点，点 N 在线段 1 3 MN  ON AP  AN . ， OM 上，点 P 在线段 AN 上，且 2 4 （1）用向量 uuu r OA ， uuu r OB ， uuur OC 表示 uuu r OP ； uuur | OP |. （2）求 5 x2 y2 e  2 1 2 18（.12 分）已知双曲线 C： a （ a  0 ， b  0 ）的实轴长为 8，离心率 4. b （1）求双曲线 C 的方程； （2）直线 l 与双曲线 C 相交于 P，Q 两点，弦 19.（12 分）如图，在 起，使 �BDC  90� △ ABC 中， PQ 的中点坐标为 A(8,3) ，求直线 l 的方程. �ABC  60� �BAC  90� AD ， ， 是 BC 上的高，沿 AD 把 △ ABC 折 （1）证明：平面 ADB  平面 BDC ； （2）设 E 为 BC 的中点，求异面直线 AE 与 DB 所成角的余弦值. 20.（12 分）如图，在三棱锥 P  ABC 中，侧面 PAC 是边长为 2 的等边三角形， BA  BC  5 ，点 F 在线 段 BC 上，且 FC  3BF ，D 为的 AC 中点，E 为 PD 的中点. （1）求证： EF ∥ 平面 PAB ； 5π （2）若二面角 P  AC  B 的平面角的大小为 6 ，求直线 DF 与平面 PAC 所成角的正弦值. � 3� x2 y 2 P 1, � 21.（12 分）已知椭圆 C： ）经过点 �   1（ � �，且短轴的两个端点与右焦点构成等 � 2 � ab0 a2 b2 边三角形. （1）求椭圆 C 的方程； （2）设过点 M (1, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，求 22. （ 12 分 ） 如 图 ， 已 知 圆 C ： M  x0 , y0  x 2  ( y  2) 2  4 | MA | � | MB | 的取值范围. ，抛物线 D 的顶点为 O(0, 0) ，准线方程为 ，y 为抛物线 D 上的动点，过点 M 作圆 C 的两条切线与 x 轴交于点 A，B. y  1 ， （1）求抛物线 D 的方程； （2）若 y0  4 ，求 △ MAB 面积的最小值. 期中考试参考答案及评分细则 一、选择题（共 8 小题，每题 5 分） 1-8 CCCADDBA 二、选择题（共 4 小题，每题 5 分） 9.BC 10.ABC 11.BCD 12.ACD 三、填空题（共 4 小题，多空题每空 6 分，单空题每空 4 分） 13.  1 11 5 2 5 14. 2 8  x2 y 2 15. 25  16  1 16. 3 四、解答题（共 6 小题，共 70 分） uuu r 1 uuu r 1 uuur 1 uuur OP  OA  OB  OC 17.（10 分）（1） ....................................5 分 4 4 4 uuu r 6 OP  （2） 4 ...............................................................5 分 x2 y 2  1 18.（12 分）（1） 16 9 .............................................................5 分 （2）l： 3 x  2 y  18  0 .....................................................7 分 CD  BD � CD  平面ABD � � � 平面平面 ADB  19.（12 分）（1）证： CD  AD � CD �平面BCD � � � .........................6 分 AC  3 （2）不妨设 AB  1 ，则 BC  2 ， uuur �1 3 3 �uuur �1 � ，，  �