考点突破十九　基本初等函数、函数与方程 【考点一】函数的实际应用 1．(2020·新高考全国Ⅰ卷)基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学 基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间 传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert 描 述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近 似满足 R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出 R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺 炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　) A．1.2 天 B．1.8 天 C．2.5 天 D．3.5 天 2．(2019·全国卷Ⅱ)2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月 球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解 决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了 嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行．L2 点是 平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M1，月球质量为 M2，地月 距离为 R，L2 点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足 方程： ＋＝(R＋r).设 α＝，由于 α 的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则 r 的近似值为 (　　) A．R B．R C．R D．R 4.已知一容器中有 A，B 两种菌，且在任何时刻 A，B 两种菌的个数乘积为定值 1010，为了简单起见，科学家用 PA＝lg (nA)来记录 A 菌个数的资料，其中 nA 为 A 菌的个数，现有以下几种说法： ①PA≥1； ② 若今天的 PA 值比昨天的 PA 值增加 1，则今天的 A 菌个数比昨天的 A 菌个数 多了 10 个； ③ 假设科学家将 B 菌的个数控制为 5 万个，则此时 5<PA<5.5. 其中正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号) 【考点二】基本初等函数的图象与性质 1 ． 若 函 数 f(x) ＝ ax － 2 ， g(x) ＝ loga|x|(a>0 ， 且 a≠1) ， 且 f(2)g(2)<0 ， 则 函 数 f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象是(　　) 【变式训练】若将条件“f(2)g(2)<0”改为“f(2)g(2)>0”，结果如何？ 2．若函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 y＝x 对称，函数 f(x)＝，则 f(2)＋g(4)＝( ) A．3 B．4 C．5 D．6 � 2 x , x �1, � � log 1 x, x  1, � 3.已知函数 f(x)＝ � 2 则 f(1－x)的大致图象是(　　) 4．(2021·全国甲卷)设 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且 f(1＋x)＝f(－x)，若 f＝， 则 f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 【考点精练】 1．函数 y＝ax＋2－1(a>0，且 a≠1)的图象恒过的点是(　　) A．(0，0) B．(0，－1) C．(－2，0) D．(－2，－1) 2．已知函数 f(x)＝，(a＞0 且 a≠1)，若函数 f(x)无最小值，则实数 a 的值不可能 为(　　) A． B． C．2 D．4 3．(2021·全国乙卷)设函数 f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 4 ．已知定 义在 R 上的函数 f(x)＝ 2|x － m| －1 为偶函数，记 a＝f(log0.53) ，b＝ f(log25)，c＝f(2m)，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a 【考点三】函数的零点与方程　 1．函数 f(x)＝log3x＋x－2 的零点所在的区间为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 2.函数 f(x)＝|log2x|＋x－2 的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．函数 f(x)＝ln x－x－a 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，－1) C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞) 4．若函数 f(x)＝2x ＋a2x－2a 的零点在区间(0，1)上，则实数 a 的取值范围是( ) A． B．(－∞，1) C． D．(1，＋∞) 【考点精练】 1．已知函数 f(x)＝log3－a 在区间(1，2)内有零点，则实数 a 的取值范围是(　　) A．(－1，－log32) C．(log32，1) B．(0，log52) D．(1，log34) 2．已知 f(x)＝|ln (x＋1)|，若 f(a)＝f(b)(a<b)，则(　　) A．a＋b>0 C．2a＋b>0 B．a＋b>1 D．2a＋b>1 3．已知函数 f(x)＝ax ＋x－b 的零点 x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数 a，b 满足 0<b<1<a，则 n 的值为________． 4．函数 f(x)＝x2－2x－1－|x－1|的所有零点之和等于________． 参考答案 【考点一】函数的实际应用 1．(2020·新高考全国Ⅰ卷)基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学 基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间 传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert 描 述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近 似满足 R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出 R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺 炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　) A．1.2 天 B．1.8 天 C．2.5 天 D．3.5 天 【解析】选 B.由题意知 3.28＝1＋6r，解得 r＝0.38，所以 I(t)＝e0.38t，因为 I(t)＝ 2I(0)，所以 e0.38t＝2，所以 0.38t＝ln 2≈0.69，解得 t≈1.8. 2．(2019·全国卷Ⅱ)2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月 球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解 决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了 嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行．L2 点是 平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M1，月球质量为 M2，地月 距离为 R，L2 点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足 方程： ＋＝(R＋r).设 α＝，由于 α 的值很小，因此在近似计算中≈3α3，则 r 的近似值为 (　　) A．R B．R C．R D．R 【解析】选 D.由题可知 M1＋M2＝M1，把 α＝代入得：M1＋M2＝M1， ＝[－]M1＝M1 ＝M1，由题中给出的≈3α3， 所以≈3，r3≈R3，r≈R. 4.已知一容器中有 A，B 两种菌，且在任何时刻 A，B 两种菌的个数乘积为定值 1010，为了简单起见，科学家用 PA＝lg (nA)来记录 A 菌个数的资料，其中 nA 为 A 菌的个数，现有以下几种说法： ①PA≥1； ② 若今天的 PA 值比昨天的 PA 值增加 1，则今天的 A 菌个数比昨天的 A 菌个数 多了 10 个； ③ 假设科学家将 B 菌的个数控制为 5 万个，则此时 5<PA<5.5. 其中正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号) 【解析】当 nA＝1 时 PA＝0，故①错误； 若 PA＝1，则 nA＝10，若 PA＝2，则 nA＝100，故②错误； 设 B 菌的个数为 nB＝5×104， 所以 nA＝＝2×105，所以 PA＝lg (nA)＝lg 2＋5. 又因为 lg 2≈0.3，所以 5<PA<5.5，故③正确． 答案：③ 【考点二】基本初等函数的图象与性质 1 ． 若 函 数 f(x) ＝ ax － 2 ， g(x) ＝ loga|x|(a>0 ， 且 a≠1) ， 且 f(2)g(2)<0 ， 则 函 数 f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象是(　　) 【解析】选 A.由题意知 f(x)＝ax －2 是指数型函数，g(x)＝loga|x|是对数型函数， 且是一个偶函数，由 f(2)g(2)<0，可得 g(2)<0，故 loga2<0，故 0<a<1，由此可以 确定 C，D 两选项不正确；且 f(x)＝ax－2 是一个减函数，由此可知 B 选项不正确， A 选项正确． 【变式训练】若将条件“f(2)g(2)<0”改为“f(2)g(2)>0”，结果如何？ 【解析】选 B.由题意知 f(x)＝ax－2 是指数型函数，g(x)＝loga|x|是对数型函数， 且是一个偶函数，由 f(2)g(2)>0，可得 g(2)>0，故 loga2>0，故 a>1，由此可以确 定 A，B 两选项不正确；且 f(x)＝ax － 2 是一个增函数，由此可知 A 选项不正确， B 选项正确． 2．若函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 y＝x 对称，函数 f(x)＝，则 f(2)＋g(4)＝( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】选 D.方法一：因为函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 y＝x 对称，又 f(x) ＝＝2x，所以 g(x)＝log2x， 所以 f(2)＋g(4)＝22＋log24＝6. 方法二：因为 f(x)＝，所以 f(2)＝4，即函数 f(x)的图象经过点(2，4)，因为函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 y＝x 对称，所以函数 g(x)的图象经过点(4，2)， 所以 f(2)＋g(4)＝4＋2＝6. � 2 x , x �1, � � log 1 x, x  1, � 3.已知函数 f(x)＝ � 2 则 f(1－x)的大致图象是(　　) � 2 x , x �1, � � log 1 x, x  1, � 【解析】选 D.画出函数 f(x)＝ � 2 的图象(图略)，可知 f(1－x)的 图象与函数 f(x)的图象关于直线 x＝对称，利用对称性即可求得选项 D 正确． 4．(2021·全国甲卷)设 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且 f(1＋x)＝f(－x)，若 f＝， 则 f＝(　　) A．－ B．－ C． 【解析】选