第 4 章 指数与对数 单元综合测评卷 一、单选题 1．有以下四个结论：① 其中正确的是（ ；② ln  ln e   0 ；③若 B．②④ ，则 x  100 ；④若 e  ln x ，则 x  e . 2 C．①② D．③④ C． 2 D． 3 9  2 log 3 10  （ ） 100 B．1 A． 0 3．已知 2 lg  x  2 y   lg x  lg y ，则 A．0 log 4 x y 的值为（ ） D． 1 或 1 C．0 或 1 B．1 1 1  b ，则 4．已知 4a  8 ， 2m  9n  6 ，且  ab  （ m 2n A． 10  lg x ） A．①③ 2． log 3 lg  lg10   0 5 2 B． 1 8 C． ） 1 16 D．2 5．设 a，b，c 均为不等于 1 的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 6．若 A． lg 2  a 1 a a  3b 7．若 ， lg 3  b ，则 B． log 2 [log 0.5 (log 2 x)]  0 A． 2 log 24 5  1 a 3a  b （ ）. 1 a a  3b C． D． 1 a 3a  b x ，则 的值是（　　） B． 2 1 C． 2 D．1 2 � a� lg � 2 8．若 lg a，lg b 是方程 2x －4x＋1＝0 的两个根，则 � � b � 的值等于(　　) 1 A．2 B． 2 C．4 D． 1 4 二、多选题 a 2  b2  2 a0 b0 9．已知 ， ，且 ，则下列不等式中一定成立的是（ A． ab �1 B． a  b �2 C． lg a  lg b �0 D． 1 1  �2 a b x y z 10．已知正数 x，y，z 满足 3  4  6 ，则下列说法中正确的是（ 1 1 1   A． x 2 y z B． 3 x  4 y  6 z �3 � x y �  2� � �z C． �2 � D． xy  2 z 2 11．若 a  0 ， a �1 ，则下列说法不正确的是（ A．若 C．若 log a M  log a N ，则 log a M 2  log a N 2 M =N ，则 12．（多选）有以下四个结论：① 其中正确的是（ D．若 lg  lg10   0 ；② M =N M =N ，则 ，则 lg  ln e   0 log a M  log a N log a M 2  log a N 2 ；③若 e  ln x ，则 x  e ；④ ） A．① B．② C．③ D．④ 三、填空题 1 1 1 1 1  13．设 5a  2b  10 ，则   ______， 2  a ab b 的值为______． a b 4 x  4 x  14．已知 x  log 2 3 ，则 2 x  2  x __________________________.  1  0 �9 �2 15． lg 5  (lg 2)  lg 5 �lg 2  �4 �  _______________________． �� 2 16．计算： 2 lg 2  lg 5   2  1  ________. ） ） B．若 M =N ） 2 ln  lg1  0 ． 四、解答题 17．若 a, b 是方程 18．已知 19．已知 2  lg x   lg x 4  1  0 2 log x2 1  2 x 2  3 x  1  1 x  1, y  1 ，且 的两个实根，求 lg  ab  �  log a b  log b a  ，求 x 的值. 2 log x y  2 log y x  3  0 ，求 T  x2  4 y2 的最小值． 20．已知 loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且 a≠1)，求 log8 参考答案 1．C 【分析】 利用对数的运算性质和指对互化逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【解析】对于①：因为 lg10  1 对于②：因为 ln e=1 ，所以 对于③：由 对于④：由 lg x  10 e  ln x ，得 ，得 ，所以 ln  ln e   0 x  1010 x  ee ，故 ，故 lg  lg10   0 ，故①正确； ，故②正确； x �100 x �e 2 ，故③错误； ，故④错误， 所以正确的是①②， 故选：C. 2．C 【分析】 利用对数的运算法则求解. 【解析】 log 3 的值． 9 9 �9 �  2 log3 10  log 3  log 3 100  log 3 � �100 � 2 100 100 100 � � . y 的值． x 故选：C. 3．B 【分析】 x x x , y y 利用对数的运算法则和对数性质得到关于 的代数式，转化为关于 的一元二次方程，求得 y 的值， 注意根据已知等式，由对数的定义探求范围，做出取舍，进而利用对数的定义求得所求对数的值. 【解析】 ∴  x  2y 2 lg  x  2 y   lg x  lg y 2 lg  x  2 y   lg  xy  2 ，  xy , x 2  5 xy  4 y 2  0 . . 2 �x � �x � x x � 5 � � 4  0 ，解之得:  1 或  4 . ∵ y  0 ，∴ � y y �y � �y � ∵ x  2 y  0, y  0 ，∴ ∴ log 4 x  2 y, x x 2 4 y . ，∴ y x  log 4 4  1 y . 【点睛】 本题考查对数的运算，易错点是忽视对数中的真数大于零的要求，缺少对范围的确定，产生多余的解. 4．A 【分析】 运用对数运算性质及换底公式即可获解. 【解析】 4a  8  a  log 4 8   m  log 2 6 1 m ， 2m  9n  6 lg8 3  lg4 2 ， ， n  log 9 6  log 6 2 ， 1  log 6 9 n 1  b  log 6 2  log 6 9  1 2 a  b  5 2 ， ， 故选：A 5．B 【分析】 根据换底公式可判断 A、B 的正误，根据对数的运算性质可判断 C、D 的正误． lg b lg b 【解析】由 logab·logcb＝ lg a · lg c ≠logca，故 A 错； lg b lg a lg b 由 logab·logca＝ lg a · lg c ＝ lg c ＝logcb，故 B 正确； 对选项 C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立. 故选：B. 6．D 【分析】 根据对数的换底公式及对数的运算法则求解即可. lg 5 1  lg 2 1  lg 2 Q log 24 5    lg 24 lg 3  lg 8 lg 3  3lg 2 ， lg 2  a ， lg 3  b ， 【解析】  log 24 5  1 a 3a  b ， 故选：D 7．A 【分析】 根据对数的基本性质 【解析】因为 所以 8．A 【解析】 ， log a a  1 log 2 [log 0.5 (log 2 x)]  0 log 2 x  0.5 故选：A log a 1  0 ，所以 x 2 . x ，解方程即可求出 的值. ，所以 log 0.5 (log 2 x)  1 ， lg a  lg b  2 � � � 1 lg a � lg b  lg a，lg b 是方程 2x2－4x＋1＝0 的两个根，则 � � 2  2 � a� 2 ＝(lg a＋lg b)2－4lg lg � � � b �   lg a  lg b  1 a·lg b＝22－4× ＝2. 2 故选 A 点睛：本题考查对数的运算性质，求解的关键是熟练掌握对数的运算性质，以及一元二次方程的根与系 a 数的关系，熟练应用 lg b  lg a  lg b 是关键. 9．BC 【分析】 对于 AD，举例判断，对于 BC，利用基本不等式判断 【解析】解：对于 A，令 对于 B，因为 a 2 6 2 6 3 ,b  ab  �  1 2 2 ，所以 A 错误， 2 2 满足 a  b  2 ，则 2 2 2 (a  b) 2  a 2  b 2  2ab  2  2ab �2  a 2  b 2  4 ，所以 a  b �2 ，当且仅当 a  b 1 时取等号， 所以 B 正确， 对于 C，因为 lg a  lg b  lg ab �lg a 对于 D，令 a 2  b2  lg1  0 2 ，当且仅当 a  b  1 时取等号，所以 C 正确， 2 6 1 1 6 ,b    2 �1.414  0.8165  2 2 2 a  b  2 满足 ，则 ，所以 D 错误， 2 2 a b 3 故选：BC 10．ACD 【分析】 由条件可令 3x  4 y  6 z  t （ t 1 ），则 x  log 3 t ， y  log 4 t ， z  log 6 t 的性质，逐项分析判断即可得解. 【解析】正数 则 x  log 3 t ， x, y, z 满足 y  log 4 t 3x  4 y  6 z ， z  log 6 t ，令 ， 3x  4 y  6 z  t （ t 1 ）， ，