复数知识点基础练习卷 一、选择题 z=−3+2i ，则在复平面内 1. 设 A．第一象限 A． A． 4. 若 −2 i B． A． −i C． 1−i D． 1+i B． −2+i C． 2−i D． 2+i x 是关于 a+b 等于 1 D． −9 x 2+ ax+ b=0 的实系数方程 −1 B． −2 −1 B． 的一根，则 9 C． 5. 设复数： z 1=1+i ， z 2=x+ 2i ( x ∈ R ) ，若 A． D．第四象限 () −2−i 2−i C．第三象限 () (1−i )( 1+2 i ) =¿ 1+i 3. () 对应的点位于 B．第二象限 1−i =¿ 1+ i 2. z z 1 z 2 为实数，则 1 C． x=¿ D． () () 2 6. 在复数范围内，有下列命题： （ 1 ）若 z 是非零复数，则 z−z 2 （ 2 ）若复数 z （ 3 ）若复数 z 1 ， z 2 满足 z =−∣ z ∣ 满足 2 一定是纯虚数； ，则 2 z 1 ， z 2 为两个虚数，则 其中正确的命题个数有 ( ) 7. 若 1 个 B． sin 2θ−1+i ( ❑√ 2 cos θ+1 ) π 2 k π − (k ∈ Z ) 4 π C． 2 k π ± ( k ∈ Z ) 4 A． 8. 关于 x 的实系数方程 是纯虚数； 2 z 1+ z 2=0 ，则 （ 4 ）若 A． z z 1=0 且 z 2=0 ； z 1 z 2+ z1 z 2 一定是实数． 2 个 3 个 C． 是纯虚数，则 θ 的值为 D． 4 个 () π 2 k π + (k ∈ Z ) 4 k π π + (k ∈ Z ) D． 2 4 B． x 2−4 x +5=0 和 x 2+2 mx+ m=0 有四个不同的根，若这四个根 在复平面上对应的点共圆，则 m () 的取值范围是 A． {5} B． {−1 } C． ( 0,1 ) D． ( 0,1 ) ∪ {−1 } 二、多选题 9. 下列命题错误的是 () A． C．若 (−i )2=−1 B． a> b ，则 a+i>b+ i 2 −i =−1 D ． 若 z∈C ， 则 2 z >0 10. 设 z=( 2 t 2 +5 t−3 ) + ( t 2 +2 t+2 ) i ， t ∈ R ，则以下结论正确的是 () z 在复平面内对应的点在第一象限 B． z 一定不为纯虚数 C． z 的虚部大于零 D． z 在复平面内对应的点在实轴的下方 A． 11. 下列命题中错误的有 () A．若 x , y ∈C ，则 x+ y i=1+i x= y=1 的充要条件是 B．纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集 C．若 2 D．若实数 12. 设 2 ( z 1−z 2 ) + ( z 2−z 3 ) =0 a 与 ai z 1=z 2=z 3 ，则 对应，则实数集与复数集一一对应 z 1 ， z 2 是复数，则下列说法中正确的是 ( ) A．若 ∣ z 1−z 2 ∣=0 ，则 z 1=z 2 B．若 z 1=z 2 ，则 z 1=z 2 C．若 ∣ z 1 ∣=∣ z 2 ∣ ，则 z 1 ⋅ z 1=z 2 ⋅ z 2 D．若 ∣ z 1 ∣=∣ z 2 ∣ ，则 2 2 z 1=z 2 三、填空题 13. 若 14. 复数 z=−2+3i （其中 i 为虚数单位），则 z= 15. 已知复数 ( 1−i )2 （ i 为虚数单位），则 1+i z= z z 的虚部是 的虚部为 3−2 i i 为虚数单位，则 ∣ z ∣2=¿ 1−i ， ． ， ∣ z ∣=¿ ． ． 16. 已知 ( 4−3 i )2 ⋅ (−1−❑√ 3 i ) z= (1−i )12 10 ，则 ∣ z ∣=¿ ． 四、解答题 17. 当实数 m 为何值时，复数 z=m2−8 m+15+ ( m2 +3 m−28 ) i 在复平面内的对应点： (1) 位于第四象限； (2) 位于实轴负半轴上； (3) 在上半平面内（含实轴）． A ， B ， C 三点，点 A 对应的复数是 2+i ，向量 ⃗ BA 对应的复 BC 对应的复数是 3−i ，求点 C 在复平面内的坐标． 数是 1+2i ，向量 ⃗ 18. 复平面内有 (1+i )7 ( 1−i )7 ( 3−4 i ) ( 2+ 2i )3 + − 19. 计算： ． 1−i 1+i 4+3 i i 是虚数单位，且复数 z 满足 ( z+ 2 )( 3+i ) =10 ． 2 (1) 求 z 及 z ； (2) 若 z ⋅ ( a+2i ) 是纯虚数，求实数 a 的值． 20. 已知 z 满足 z 2=3+ 4 i ，且 (1) 求复数 z ； 2019 1+ z (2) 求 的值． 1+ z 21. 已知复数 z 在复平面内对应的点位于第三象限． ( ) z 1=1+ ( 10−a2 ) i ， z 2=( 2 a−5 ) i ( a>0 ) ， z 1+ z 2 ∈ R ． 22. 已知复数 a 的值； z ∈ C ，且 ∣ z−z 2 ∣=2 ，求 ∣ z ∣ (1) 求实数 (2) 若 的取值范围． 答案 一、选择题 1. 【答案】C z=−3+2i ，得 【解析】由 z=−3−2 i ，则 z 在复平面内对应的点 (−3,−2 ) 位于 第三象限．故选 C． 【知识点】复数的几何意义 2. 【答案】B 2 【解析】 ( 1−i ) 1−i −2i = = =−i ． 1+ i ( 1+i ) (1−i ) 2 【知识点】复数的乘除运算 3. 【答案】C 【解析】 (1−i )( 1+2 i ) ( 1−i )2 ( 1+ 2i ) = =2−i ． 1+i ( 1+i ) ( 1−i ) 【知识点】复数的乘除运算 4. 【答案】A 【知识点】实系数一元二次方程（沪教版） 5. 【答案】A 【知识点】复数的乘除运算 6. 【答案】A z=a+ b i ( a , b ∈ R ) ，则 z−z=a+b i−( a−bi )=2 bi ， 当 a ≠ 0 ， b=0 时，可知（ 1 ）错误； 2 2 （ 2 ）取 z=0 满足 z =−∣ z ∣ ，但 z 不是纯虚数，故（ 2 ）错误； 【解析】（ 1 ）设 2 2 z 1+ z 2=0 ，故（ 3 ）错误； （ 3 ）当 z 1=1 ， z 2=i 时也满足 （ 4 ）设 z 1=a+b i ， z 2=c +d i ( a , b , c , d ∈ R ) ， 则 z 1 z 2+ z1 z 2=( a+ b i ) ( c−d i ) + ( a−b i )( c+ d i )=2 ac +2 bd 【知识点】共轭复数、复数的乘除运算 7. 【答案】B 为实数，故（ 4 ）正确． 【解析】由题意，得 解得 { 所以 θ=2k π + {√ sin 2θ−1=0, 2 cos θ+1 ≠ 0, ❑ π θ=k π + , 4 k∈Z ， 3π θ≠2k π ± 4 π k ∈Z ． 4 ， 【知识点】复数的代数形式 8. 【答案】D 【知识点】复数的几何意义 二、多选题（ 9. 【答案】B；C；D 2 −i =1 ，故 B 错误；虚数不能比较大小，故 C 错误；若 【解析】 z=i ，则 2 z =−1< 0 ， 故 D 错误． 【知识点】复数的概念 10. 【答案】C；D 【解析】因为 2 2 t +2 t+ 2=( t + 1 ) +1> 0 ， z 的虚部大于零， 所以 z 在复平面内对应的点在实轴的上方． 又因为 z 与 z 对应的点关于实轴对称． 所以 所以 C，D 正确． 【知识点】复数的代数形式、共轭复数 11. 【答案】A；B；C；D 【知识点】复数的乘除运算 12. 【答案】A；B；C ∣ z 1−z 2 ∣=0 ，则 z 1−z 2=0 ， z 1=z 2 ，所以 z 1=z 2 ； z 1=z 2 ，则 z 1 和 z 2 互为共轭复数，所以 z 1=z 2 ； z 1=a1 +b 1 i ， z 2=a2 +b 2 i ， 【解析】对于 A，若 对于 B，若 对于 C，设 ∣ z 1 ∣=∣ z 2 ∣ ，则 若 2 √ a +b = √a + b ❑ 2 2 1 2 1 2 ❑ 2 2 2 z 1 ⋅ z 1=a 1+ b1 ， z 2 ⋅ z 2=a 2+ b2 ， 所以 z 1 ⋅ z 1=z 2 ⋅ z 2 ； 2 2 ， z 1=1 ， z 2=i ，则 ∣ z 1 ∣=∣ z 2 ∣ ， 对于 D，若 而 z 21=1 ， z 22=−1 ，所以 z 21=z 22 不正确． 【知识点】共轭复数、复数的几何意义、复数的乘除运算 三、填空题 13. 【答案】 【解析】 3 z=−2+3i （其中 i 为虚数单位），则 z 的虚部是 【知识点】复数的概念 14. 【答案】 −1 ； ❑ √2 【知识点】复数的乘除运算、复数的几何意义 15. 【答案】 13 2 【知识点】复数的乘除运算 16. 【答案】 400 【知识点】复数的指数形式、复数的乘除运算 四、解答题 17. 【答案】 (1) 要使点位于第四象限，需满足 解得 或 m>5, {m<3 −7<m< 4, 所以 −7 <m< 3 ． { m2 −8 m+15> 0, 2 m +3 m−28< 0, (2) 要使点位于实轴负半轴上，需满足 解得 3<m<5, {m=−7 或 m=4. 所以 m=4 ． { m2−8 m+ 15<0, m2 +3 m−28=0, (3) 要使点位于上半平面内（含实轴），需满足 解得 m≥ 4 或 2 m + 3 m−28≥ 0 ， m≤−7 ． 【知识点】复数的几何意义 ⃗ AC =⃗ BC −⃗ BA ， 对应的复数为 ( 3−i ) −( 1+ 2i )=2−3 i ， 18. 【答案】因为 所以 ⃗ AC 3 ． C ( x , y ) ，则 ( x+ y i )−( 2+i ) =2−3 i ， 所