高二数学周考卷 一、单选题（本大题共 8 小题，每小 5 分，共 40 分） ¿ 直线 x=2021 的倾斜角为 ¿ 1. A. 90 ° ¿ B. 0 ° C. 180 ° D. 45 ° 解：直线 x=2021 为垂直 x 轴的直线，其倾斜角为 90 ° ．故选： A ． ¿ 掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷 1000 次，那么第 999 次出现正面向上的概率是 ¿ 2. ¿ A. 1 1000 B. 1 999 C. 1 2 D. 999 1000 解：抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第 999 次，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可 能出现，故所求概率为 1 C ． 2 ，故选： 直线 3 x+2 y−1=0 的一个方向向量是 () 3. A. (2,−3) B. (2,3) C. (−3,2) 解：由题意可得：直线 3 x+2 y−1=0 的斜率为 k = ⃗ 3 2 D. (3,2) −3 2 ， 3 2 所以直线 3 x+2 y−1=0 的一个方向向量 d =(1,− ) ，又 (2,−3)=2(1,− ) . 故选 A． 1 4.在如图所示的电路图中，开关 a ， b ， c 闭合与断开的概率都是 2 ，且是相互独立的，则 ¿ 灯亮的概率是 ¿ A. 1 8 ， B. ¿ 3 8 ， C. 1 4 ， D. 7 8 解：设开关 a ， b ， c 闭合的事件分别为 A ， B ， C ，则灯亮这一事件 E= ABC ∪ AB C ∪ A BC ，且 A ， B ， C 相互独立， ABC ， AB C ， A B C 互 斥，所以 P( E)=P(( ABC)∪( AB C)∪ (A B C))=P( ABC )+ P( ABC)+ P( A B C)=P( A) P(B)P(C )+ P (A ) P( B) P(C )+ 故选 B． 5.在正三棱柱 ABC − A1 B1 C1 中，若 AB =A A 1=4 ，点 D 是 A A 1 的中点，则点 A 1 到平面 DB C 1 的距离是 ( ) ❑ A. ❑ √2 ， B. √2 2 ❑ ， C. √2 3 ❑ √2 ， D. 4 解：以 AC 为 y 轴，以 A A 1 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ∵ 正三棱柱 ❑ 0, ABC − A1 B1 C1 中，若 AB=A A 1=4 ，点 D 是 A A 1 的中点， 2 √ 3 , 2， 0 ¿ ， C1 ¿ ∴B¿ 4， 4 ¿ ， ⃗ 0, 0, ⃗0, ❑ 0， 2 ¿ ， A ¿ 0， 4 ¿ ， ∴ DB =(2 √ 3 ,2,−2) ， DC =¿ 4， 2 ¿ ， D¿ 1 1 ⃗ D A 1=(0,0,2) ， ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 设平面 BD C1 的法向量为 n=( x , y , z) ， ∵n ⋅ DB =0 ， n ⋅ DC 1=0 ， ⃗ { ❑ ∴ 2 √ 3 x+2 y−2 z=0 , 取 y=−1 ， ∴n =( ❑√ 3 ,−1,2) ， ∴ 点 A 1 到平面 DB C 1 的距 4 y+2 z=0 ¿ =❑√ 2 3+1+4 ⃗√ ¿⃗n∨¿=¿ ⃗ ．故选 A． ¿ n ⋅ D A1∨ ¿¿ d =¿ ¿ 0+0+ 4∨ ❑ 离 ❑ 2 6. 已知直线 l ： y=x +m 与曲线 x= √ 4− y 有两个公共点，则实数 m 的取值范围是 () A. ¿ B. ¿ C. ¿ D. ¿ √ ❑ 解：由 x= 4− y 2 2 2 ，得 x + y =4 ( x ≥ 0) ，如图， 2 2 当直线 l ： y=x +m 与 x + y =4 ( x ≥ 0) 相切时，则 |m| ❑ √2 =2 ，解 得： m=± 2 √ 2 ，又 m=2 √ 2 不合题意， ∴m=−2 √ 2 ，当直线过 ❑ ❑ ❑ 半圆的右顶点 (2,0) 时， 2+m=0 ， ∴m=−2 ， ∴ 若直线 l ： y=x +m 与曲线 x=❑√ 4− y 2 有两个公共点，则实数 m 的取值范围是 ¿ ．故选： B ． 7. 已知 m ,n , a , b ∈ R ，且满足 3 m+ 4 n=6 , 3 a+ 4 b=1 ，则 ¿ ¿ √ ( m−a ) +( n−b ) 2 ❑ 2 的最小值为 ¿ A. ❑ √3 ❑ √2 B. C. 1 D. 1 2 解：此题可理解为点 A (m , n) 与点 B (a , b) 分别在直线 l 1 ： 3 x+ 4 y=6 与直线 l 2 ： 3 x+ 4 y=1 上，求 A 、 B 两点间的距离的最小值， ∵l 1 /¿ l 2 ¿ 6−1∨ ❑ 2¿ 2 =1 √ 3 +4 ， ．故 ∴∨AB ¿ min=¿ 选： C ． 2 8.如图所示，把椭圆 2 x y + =1 的长轴 AB 分成 8 等份，过每个分点 25 16 作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1 ， P2 ， … ， P7 七个点， F 是椭圆的左焦点，则 ¿ P1 F∨+¿ P2 F∨+ …+¿ P 7 F∨¿ 等于 ¿¿ A. 35 B. 30 C. 25 ¿ D. 20 解：由题意可知：将长轴 AB 分成 8 等份，则 P1 和 P7 ， P2 和 P6 ， P3 和 P5 都 是关于 y 轴对称，所以 |P3 F|+|P5 F|=2 a=10 |P1 F|+|P7 F|=2 a=10 ， |P4 F|=5 ，所以 ， |P2 F|+|P6 F|=2 a=10 |P1 F|+|P2 F|+ …|P7 F|=35 ， ．故选 A． 二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） ¿ 9． 已知事件 A ， B ，且 P ( A )=0 . 5 ， P ( B ) =0 .2 ，则下列结论正确的是 ¿ ¿ A. 如果 B ⊆ A ，那么 P ( A ∪ B )=0 .2 ， P ( AB )=0 .5 B. 如果 A 与 B 互斥，那么 P ( A ∪ B )=0 .7 ， P ( AB )=0 C. 如果 A 与 B 相互独立，那么 P ( A ∪ B )=0 .7 ， P ( AB )=0 D. 如果 A 与 B 相互独立，那么 ， 解：因为 P( A)=0.5 ， P( B)=0.2 ．选项 A：如果 B ⊆ A ，那么 P( A ∪B)=P (A )=0.5 ， P( AB)=P (B)=0.2 ，故 A 错误；选项 B：如果 A 与 B 互斥，说明事件 A 与 B 不可能同 时发生，那么 P( A ∪B)=P (A )+ P (B)=0.5+0.2=0.7 ， P( AB)=0 ，故 B 正确；选项 C：如果 A 与 B 相互独立，说明事件 A 的发生与否与事件 B 的发生与否互不影响，那么 P( AB)=P ( A )P( B)=0.5 × 0.2=0.1 ， P( A ∪ B)=P ( A )+ P (B)−P (AB)=0.6 ，故 C 错误；选 项 D：如果 A 与 B 相互独立，说明事件 A 的发生与否与事件 B 的发生与否互不影响， 那么 P( A B)=P( A) P(B)=(1−0.5)(1−0.2)=0.4 ， P( A B)=P( A) P( B)=0.5×(1−0.2)=0.4 ，故 D 正确．故选 BD． 10 下列说法正确的是 ( ) π A. 直线 xsinα− y +1=0 的倾斜角的取值范围为 [0, 4 ]∪¿ B. “ c=5 ”是“点 (2,1) 到直线 3 x+ 4 y +c=0 距离为 3 ”的充要条件. C. 直线 l ： λ x+ y−3 λ=0( λ∈ R) 恒过定点 (3,0) 2 2 D. 直线 y=−2 x+5 与直线 2 x + y +1=0 平行，且与圆 x + y =5 相切 解：直线 xsinα− y +1=0 的倾斜角 θ ，可得 tanθ=sinα ∈[−1,1] ，所以 θ 的取值范围为 π [0, ]∪ ¿ ，所以 A 正确；“点 (2,1) 到直线 3 x+ 4 y +c=0 距离为 3 ”，可得 4 ¿ 6+ 4+c ∨ ❑ 2¿ 2 =3. 解得 c=5 ， c=−25 ，所以“ c=5 ”是“点 (2,1) 到直线 √ 3 +4 ¿ 3 x+ 4 y +c=0 距离为 3 ”的充分不必要条件，所以 B 不正确；直线 l ： λx+ y−3 λ=0( λ∈ R) ，即 ( x−3 ) λ+ y =0( λ ∈ R) ，恒过定点 (3,0) ，所以 C 正确；直线 y=−2 x+5 即 2 x + y −5=0 与直线 2 x + y +1=0 平行， ¿−5∨ ❑ 2¿ 2 =❑√5 ，所以直线 √2 +1 ¿ y=−2 x+5 与圆 x 2+ y 2 =5 相切，所以 D 正确；故选： ACD ． 2 2 11.关于圆 C : x + y −kx +2 y+ 1 2 k −k+ 1=0 ，下列说法正确的是 ¿¿ 4 ¿ A. k 的取值范围是 k >0 B. 若 k =4 ，过 M (3,4) 的直线与圆 C 相交所得弦长为 2 ❑√ 3 ，其方程为 12 x−5 y −16=0 2 2 C. 若 k =4 ，圆 C 与圆 x + y =1 相交 1 2 D. 若 k =4 ， m>0 ， n>0 ，直线 mx−ny−1=0 恒过圆 C 的圆心，则 m + n ≥ 8 恒成 立 2 2 解：对于 A ，若方程 x + y −kx +2 y+ 1 2 1 k −k +1=0 表示圆，则 k 2 +22−4 k 2−k + 1 >0 ， 4 4 ( ) 2 2 化简得 k >0 ，故 A 正确；对于 B ，若 k =4 ，则圆 C : x + y −4 x +2 y +1=0 ，即 ( x−2 )2 + ( y +1 )2=4 ，圆心为 ( 2,−1 ) ，半径为 2 ．过 M (3,4) 的直线的斜率不存在时，直线 方程为 x=3 ，圆心 ( 2,−1 ) 到直线 x=3 的距离为 1 ，则过 M (3,4) 的直线与圆 C 相交 √ ❑ 2 2 ❑ 所得弦长为 2 2 −1 =2 √ 3 ；过 M (3,4) 的直线的斜率存在时，设直线的斜率为 k ，则直线方 程为 y−4=k ( x−3 ) ，即 kx− y+ 4−3 k