2021—2022 学年度第一学期期中考试 高一数学 （考试时间：120 分钟） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.若集合 A   x | x  1 A. 0 �A ，则下列关系中正确的是（ B. 2.若 a，b 是实数，则“  0 �A a0 ，且 ） C. ��A b0 ”是“ D. ab(a  b)  0 ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若函数 f (2 x  1)  3 x  2 A.8 ，且 f (a )  2 ，则 a 的值等于（ B.1 C. x 3 4 D.-1 ） 1 1 B. 6 y 2  y 3 （ y  0 ） A.  x  (  x ) 2 （ x  0 ）  ） C.5 4.下列根式与分数指数幂的互化正确的是（  0 �A 3 �1 �  4 � �（ ） �x � x  0 D. 5.下列命题中真命题的个数为（ x  1 3  3 x （ x �0 ） ） ① 负数没有平方根； ② 对任意的实数 a，b，都有 ③ 二次函数 ④ x ， f ( x )  x 2  ax  2 y �R ， A.1 A. x 2  | y | 0 ； 的图象与 x 轴恒有交点； . B.2 6.设偶函数 （ a 2  b 2�2ab f ( x) 的定义域为 R ，当 C.3 [0, �) 时， D.4 f ( x) 是增函数，则 f (2) ） f (π)  f ( 3)  f ( 2) B. f (π)  f ( 2)  f ( 3) ， f (π) ， f (3) 的大小关系是 C. f (π)  f ( 3)  f ( 2) 7.已知 y  f ( x) f (π)  f ( 2)  f ( 3) D. 是定义在 R 上的奇函数，当 x�0 时， f ( x)  x( x  2) ，则当 x0 时， f ( x) 的解析式为（ ） A. C. f ( x )  x ( x  2) f ( x )  x ( x  2) B. f ( x)   x( x  2) f ( x)   x( x  2) D. f ( x)  | x | 8.用函数 M ( x) 表示函数 f ( x) 和 g ( x ) 中的较大者，记为： M ( x )  max{ f ( x), g ( x )} .若 ， g ( x )  x 2 ，则 M ( x) 的大致图象为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分 ） 9.以下化简结果正确的是（字母均为正数）（ A. 5 2 1 3 B. a 6 � b 9 a � a � a 1 1 1 1  2 1 3 15a 2 b 3 c C.  13 6  25a b c 3 4 5 4 3   ac 5 � � 10.若 x  y ， a  b ，则恒成立的不等式是（ A. ax b y B. 1 2 x 4 y D. � a x b y    1 3 2 3  a  4b 6 � �  12 23 � � 14 32 � 3 x y 4 x y � 24 y � � � � � � � � � ） C. ax  by D. x  2b  y  2a ） 11.下列说法正确的是（ A. f ( x) | x  1|  | x  1| B. g ( x)  C. 是奇函数 1  x2 | x  2 | 2 既不是奇函数也不是偶函数 F ( x )  f ( x) f (  x ) D. h( x)  （ x �R ）是偶函数 x 2  1  1  x 2 既是奇函数，又是偶函数 12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成 一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J. Brouwer），简单的 f  x0   x0 x 讲就是对于满足一定条件的连续函数 f ( x ) ，存在一个点 0 ，使得 ，那么我们称该函数为“不动 点”函数，下列为“不动点”函数的是（ A. ） 1 x x f ( x)  B. g ( x)  x 2  x  3 � 2 x 2  1, x�1 f ( x )  � C. | 2  x |, x  1 � D. f ( x )  1 x x 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.若命题 p： 14.函数 y 15.已知“ x�0 ， x 2  ax  3  0 ，则其否定为 �p ：______________. 1  ( x  1) 0 定义域为______________. x2 1  x  y  4 ， 2 x y 3 ”，令 M  2x  3y ，则 M 的取值范围是______________. 16.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 3500 元的部分不必纳税，超过 3500 元的部分为全月应纳税所得额，此税款按下表分段累计计算： 全月应纳所得额 税率（%） 不超过 1500 元的部分 3 超过 1500 元至 4500 元的部分 10 超过 4500 元至 9000 元的部分 20 超过 9000 元至 35000 元的部分 25 济南市某公司经理一月份应交纳此项税款为 2745 元，则他当月的工资、薪金所得是__________元. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分）已知集合 A  {x | 1�x  4} ， B  {x | m  3�x�2m  1} . （1）当 （2）若 m 1 时，求 AUB  B AI B ； ，求实数 m 的取值范围. 18.（12 分）已知关于 x 的不等式 x 2  2 x  1  a 2�0 . （1）当 a  3 时，求不等式的解集； （2）当 a 为常数时，求不等式的解集. 2 1  1 19.（12 分）已知 a  0 b  0 ， a b . （1）求 ab 的最小值； （2）求 a  2b 的最小值. 20.（12 分）已知函数 （1）判断函数 f ( x) f ( x)  在区间 （2）求该函数在区间 [1, 4] 2x 1 x 1 . [1, �) 上的单调性，并用定义证明你的结论； 上的值域 21.（12 分）新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品此药品的年固定成本为 1 C ( x )  x 2  10 x 250 万元，每生产 x 千件需另投入成本为 C ( x) .当年产量不足 80 千件时， （万元）.当年产 3 量不小于 80 千件时， C ( x)  51x  10000  1450 （万元）.每件商品售价为 0.05 万元，在疫情期间，该公司 x 生产的药品能全部售完. Ⅰ.写出年利润 L( x ) （万元）关于年产量 x（千件）的函数解析式； Ⅱ.该公司决定将此药品所获利润的 1%用来捐赠防疫物资.当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获 利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？ 22.（12 分）已知函数 Ⅰ.若函数 f ( x) 在 f ( x)  x 2  2ax  3 (�, 2] （ a �R ）. 上是减函数，求 a 的取值范围； Ⅱ. 当 x �[1,1] 求函数 g ( a) 时，设函数 f ( x) 的最小值为 g ( a) . 的表达式； � n2 , m2 � �？ 是否存在实数 m  n  0 ，使得函数 y  g (a ) 的定义域为 [ n, m] 时，值域为 � 若存在，求出 m，n 的值；若不存在，请说明理由.