专题能力训练 16　椭圆、双曲线、抛物线 一、能力突破训练 y2 1.已知 F 是双曲线 C:x =1 的右焦点,P 是 C 上一点,且 PF 与 x 轴垂直,点 A 的坐标 3 2 是(1,3),则△APF 的面积为(　　) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 2 2.(2021 广东石门中学高三模拟)如图,圆柱 OO1 的轴截面 ABB1A1 是正方形,D,E 分别是 ⏜ AA1 和 BB1 的中点,C 是 AB 的中点,则经过点 C,D,E 的平面与圆柱 OO1 侧面相交所得到 的曲线的离心率是(　　) ❑ A.1 B. ❑ √2 C. 2 ❑ √2 D. √6 2 3.(2021 河南安阳高三模拟)已知点 P 是抛物线 x2=4y 上的动点,点 Q 是圆(x-3)2+(y+3)2=1 上的动点,且点 P 到 x 轴的距离为 d,则|PQ|+d 的最小值为(　　) A.6 B.5 C.4 4.设双曲线 C 的方程为 D.3 x2 y2 − 2 =1(a>0,b>0),过抛物线 y2=4x 的焦点和点(0,b)的直线 2 a b 为 l.若 C 的一条渐近线与 l 平行,另一条渐近线与 l 垂直,则双曲线 C 的方程为 (　　) 2 2 2 A. x y − 4 4 C. x2 -y2=1 4 =1 B.x2- y 4 =1 D.x2-y2=1 x2 y2 5.已知双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0)的离心率为 2,其一条渐近线被圆(x-m)2+y2=4(m>0) a b 截得的线段长为 2,则实数 m 的值为(　　) A. C.2 ❑ √3 B. ❑ √2 D.1 1 2 2 x y 6.已知双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0)的渐近线与圆 x2+y2=a2 在第一象限的交点为 a b 1 ,则双曲线的离心率 e(e> 3 P,F1,F2 分别是双曲线的左、右焦点,若 tan∠PF1F2= ❑ √2 ) 的值为(　　) A.2 C. B.5 √ 3 或 ❑√5 D. ❑ ❑ √5 x2 7.已知双曲线 C: -y2=1(m>0)的一条渐近线为 m √ 3 x+my=0,则双曲线 C 的焦距为 ❑ . 8.(2021 安徽淮南高三二模)已知定点 A(0,2),B(0,-2),C(3,2),以 C 为一个焦点作过 A,B 两点 的椭圆,则椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是　　　　　　　　　. 9.已知椭圆 C1: x2 y2 + =1(a>b>0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合,C1 的中心与 C2 a2 b2 的顶点重合.过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A,B 两点,交 C2 于 C,D 两点,且|CD|= 4 | 3 AB|. (1)求 C1 的离心率; (2)若 C1 的四个顶点到 C2 的准线距离之和为 12,求 C1 与 C2 的标准方程. 10.如图,动点 M 与两定点 A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线 MA,MB 的斜率之积为 4,设动 点 M 的轨迹为 C. 2 (1)求轨迹 C 的方程; (2)设直线 y=x+m(m>0)与 y 轴相交于点 P,与轨迹 C 相交于点 Q,R,且|PQ|<|PR|,求 | PR | 的取值范围. | PQ | 11.(2021 广西南宁三中高三二模)已知椭圆 C: F1,F2,上、下顶点分别是 B1,B2,离心率 e= x2 y2 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别是 a2 b2 1 ,短轴长为 2 2 ❑ √3 . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,若 MN⊥B1F2,试求△F1MN 内切圆的面 积. 二、思维提升训练 3 2 x 5 12.(2021 全国乙,文 11)设 B 是椭圆 C: +y2=1 的上顶点,点 P 在 C 上,则|PB|的最大值 为(　　) A. 5 2 B. ❑ √6 C. D.2 ❑ √5 13.(2021 广西来宾、玉林、梧州高三联考)设双曲线 C: 2 2 x y − =1 的左、右焦点分别 9 16 为 F1,F2,点 P(异于顶点)在双曲线 C 的右支上,则下列说法正确的是(　　) A.△PF1F2 可能是正三角形 B.点 P 到两渐近线的距离之积是定值 C.若 PF1⊥PF2,则△PF1F2 的面积为 8 D.在△PF1F2 中, sin ∠ F 1 P F2 5 = sin∠ P F2 F1 - sin ∠ P F1 F 2 4 x2 y2 14.已知椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的左焦点为 F,经过原点 O 的直线与椭圆 C 交于 A,B a b 两点,若∠AFB≥150°,则椭圆 C 的离心率的取值范围为　. 15.(2021 山东青岛高三一模)2021 年是中国传统的“牛”年,可以在平面坐标系中用抛物线 与圆勾勒出牛的形象.已知抛物线 Z:x2=4y 的焦点为 F,圆 F:x2+(y-1)2=4 与抛物线 Z 在第 ( 一象限的交点为 P m, m2 4 ) ,直线 l:x=t(0<t<m)与抛物线 Z 的交点为 A,直线 l 与圆 F 在 第一象限的交点为 B,则 m=　　　　　,△FAB 周长的取值范围为　　　　　. 2 16.已知椭圆 C1: 2 x y + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在椭圆 C1 上, a2 b2 PF1⊥F1F2,|PF1|=1,且椭圆 C1 的离心率为 √ 2 .抛物线 C :y= x 2 ,点 M,N 在抛物线 C 2 2 ❑ 2 4 上. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)过点 M,N 作抛物线 C2 的切线 l1,l2,若 l1⊥l2,直线 MN 与椭圆 C1 交于 P,Q 两点,求 △POQ(O 为坐标原点)面积的最大值. 4 1 x2 y2 17.已知椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,短轴长为 2 2 a b √3 . ❑ (1)求椭圆 C 的标准方程. (2)若椭圆 C 的左焦点为 F1,过点 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 D,E 两点,则在 x 轴上是否存 在一个定点 M,使得直线 MD,ME 的斜率互为相反数?若存在,求出定点 M 的坐标;若不存 在,请说明理由. 5 专题能力训练 16　椭圆、双曲线、抛物线 一、能力突破训练 1.D　解析:由 c2=a2+b2=4,得 c=2,所以点 F 的坐标为(2,0). y2 将 x=2 代入 x =1,得 y=±3,所以 PF=3. 3 2 又点 A 的坐标是(1,3),故△APF 的面积为 1 3 ×3×(2-1)= ,故选 D. 2 2 ⏜ 2.B　解析:设轴截面 ABB1A1 的边长为 2,点 C1 是 B 1 A1 的中点,且与点 C 关于圆柱的中 心对称. 由题意可知截面曲线为椭圆,椭圆的短轴长为 2,长轴 CC1 的长为 2 ∴长半轴长 a= ∴半焦距 c= √2 , ❑ √ 2 ,短半轴长 b=1, ❑ √ a2 - b2 ❑ ∴椭圆的离心率 e= =1. c ❑√ 2 = . a 2 3.D　解析:抛物线 x2=4y 的焦点为 F(0,1),准线方程为 y=-1,圆(x-3)2+(y+3)2=1 的圆心为 C(3,-3),根据抛物线的定义可知点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点的距离,故 d=|PF|-1. 故|PQ|+d=|PQ|+|PF|-1. 如图所示. 当 P,Q,F 三点共线时,|PQ|+|PF|取得最小值,此时|PQ|+|PF|=|FC|-1,故|PQ|+d 的最小值 为|PQ|+|PF|-1=|FC|-2=5-2=3. 2 2 b x y − 4.D　解析:由题意可知双曲线 2 x,抛物线 y2=4x 的 2 =1 的渐近线方程为 y=± a a b 焦点为(1,0), 则直线 l 的方程为 y=-bx+b. ∵双曲线 C 的一条渐近线与 l 平行,另一条渐近线与 l 垂直, 6 ∴-b=- b b ,-b· =-1,∴a=1,b=1. a a ∴双曲线 C 的方程为 x2-y2=1.故选 D. 5.C　解析:依题意, √ √ b ❑ c ❑ c2 ❑ b2 = 2 = 1+ 2 =2,∴ = √ 3 . a a a a ∴双曲线的渐近线方程为 y=± ❑ 2 √3 m + 2 ❑ 2 ( 2 ) (2) 6.D　解析:由 √ 3 x. ❑ √3m √ 3 x-y=0,则圆心(m,0)(m>0)到 l 的距离 d= 2 . 不妨取渐近线 l: 由题意可知 ❑ =22,解得 m=2.故选 C. { b y= x , a 得P 2 2 2 x + y =a , a2 ab , c c . ab c ab 1 = 2 2 = ,即 3ab=a2+c2,所以 9a2b2=(a2+c2)2,即 又 F1(-c,0),则 tan∠PF1F2= k P F = 2 3 a c +a c+ c 1 9a2(c2-a2)=(a2+c2)2,整理得 c4-7c2a2+10a4=0,即 e4-7e2+10=0,解得 e2=5 或 e2=2. 又 e> ❑ √ 2 ,故 e= ❑√ 5 .故选 D. 7.4　解析:由双曲线方程可知其渐近线方程为 x ±y=0,即 y=± ❑ √m 1 x,得❑ √m ❑ √ 3 =m 1 ,解得 m=3. √m ❑ 故双曲线 C 的焦距为 2 8.y2- ❑ √ m+1 =4. x2 =1(y≤-1)　解析:∵点 A,B 在以 C,F 为焦点的椭圆上, 3 √ 32+ 4 2−❑√3 2+ 02 ∴|AC|+|AF|=|BC|+|BF|,∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|= ❑ =2, ∴点 F 的轨迹为以 A,B 为焦点的双曲线的下支. 2 设双曲线的方程为 2 y x − 2 =1(a>0,b>0,y≤-a), 2 a b 则可得 2a=2,即 a=1,又 c=2,∴b2=c2-a2=3. 故焦点 F 的轨迹方程是 y2- x2 =1(y≤-1). 3 9.解(1)由已知可设 C2 的方程为 y2=4cx,其中 c= √ a2 - b2 ❑ . 7 2 2 b b ,;C,D 的纵坐标分别 a a 不妨设 A