第三章过关检测 一、选择题 1.已知曲线 C:y2-mx2=1,则“曲线 C 是双曲线”是“m>0”的(　　) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 x2 4 y2 2.若抛物线 y2= m x 的焦点与椭圆 7 + 3 =1 的左焦点重合,则 m 的 值为(　　) 1 1 A.- 2 B. 2 C.-2 D.2 3.若动圆与圆 x2+y2=1 和 x2+y2-8x+12=0 都外切,则动圆圆心的轨迹为 (　　) A.双曲线的一支 C.抛物线 B.圆 D.双曲线 x2 y2 4.已知 F1,F2 分别为双曲线 a2 − b 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,且 F2(2,0),P 为双曲线右支上的一点,且|F1F2|=2|PF2|,△PF1F2 的周长为 10,则双曲线的渐近线方程为(　　) ❑ ❑ A.y=± √ 3 x √3 B.y=± 3 x C.y=±2x 1 D.y=± 2 x 5.已知一个储油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为 2.4 m, 外轮廓线上的点到两个焦点的距离之和为 3 m,则该椭圆的离心率等 于(　　) 3 A. 5 4 B. 5 2 C. 3 1 D. 2 6.已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F(2,0),过点 A(3,2)向其准线作垂 线,与抛物线交于点 E,则|EF|等于(　　) A.1 B.2 3 C. 2 5 D. 2 2 x 7.已知 F 为椭圆 a2 +y2=1(a>1)的一个焦点,过点 F 作圆 x2+y2=1 的 两条切线,若这两条切线互相垂直,则 a=(　　) A.2 ❑ B. √ 2 ❑ C. √ 3 D.1 8.已知过抛物线 y2=8x 焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点,点 P 在线 段 AB 上运动,原点 O 关于点 P 的对称点为 M,则四边形 OAMB 的面积 的最小值为(　　) A.8 B.10 C.14 D.16 ❑ 9.已知双曲线 E 的中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过点(3, √ 2 ),(6, √ 11 ),则下列结论正确的是(　　) ❑ x 2 A.双曲线 E 的标准方程为 3 -y2=1 ❑ B.双曲线 E 的离心率等于 √ 3 2 2 y x C.双曲线 E 与双曲线 2 − 6 =1 的渐近线相同 ❑ D.直线 x- √ 2 y-1=0 与双曲线 E 相切 10.已知曲线 C:mx2+ny2=1.(　　) A.若 m>n>0,则 C 是椭圆,其焦点在 y 轴上 ❑ B.若 m=n>0,则 C 是圆,其半径为 √ n C.若 mn<0,则 C 是双曲线,其渐近线方程为 y=± √ ❑ - m x n D.若 m=0,n>0,则 C 是两条直线 11.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 F 为一个焦点的椭 圆,如图所示,已知它的近地点 A(离地面最近的点)距地面 m 千米,远地 点 B(离地面最远的点)距地面 n 千米,并且 F,A,B 三点在同一直线上,地 球半径为 R 千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为 2a,2b,2c, 则(　　) A.a-c=m+R B.a+c=n+R C.2a=m+n ❑ D.b= √ ( m+ R )( n+ R ) 12.设抛物线 y=ax2 的准线与对称轴交于点 P,过点 P 作抛物线的两条 切线,切点分别为 A 和 B,则(　　) 1 A.点 P 的坐标为 0 ,- 4 a ( ) 1 B.直线 AB 的方程为 y= 4 a C.PA⊥PB 1 D.|AB|= 2 | a | 二、填空题 1 13.抛物线 x+ 2 y2=0 的准线方程为　　　　　. x2 y2 14.椭圆 9 + 25 =1 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m,则 m 的最 大值为　　　　　,此时点 P 的坐标为　　　　　　　. 15.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,定点 A(0,-2),若射线 FA 与抛物线 C 交于点 M,与抛物线 C 的准线交于点 N,则|MN|∶|FN|等于　　　　　. x2 y2 16.已知双曲线 a2 − b 2 =1(a>0,b>0)的两条渐近线的夹角为 α,且 cos 1 α= 3 ,则双曲线的离心率等于　　　　　　　　　. 三、解答题 2 2 x y 17.(10 分)已知双曲线与椭圆 25 + 9 =1 有相同的焦点,且经过点 (4,6). (1)求双曲线的方程; (2)若双曲线的左、右焦点是 F1,F2,则在双曲线上是否存在点 P,使得| PF1|=5|PF2|? 2 2 x y 18.(12 分)已知椭圆 C1: a2 + b2 =1(a>b>0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的 焦点重合,C1 的中心与 C2 的顶点重合.过点 F 且与 x 轴垂直的直线交 4 C1 于 A,B 两点,交 C2 于 C,D 两点,且|CD|= 3 |AB|. (1)求椭圆 C1 的离心率; (2)设 M 是 C1 与 C2 的公共点.若|MF|=5,求 C1 与 C2 的标准方程. x2 y2 19.(12 分)已知椭圆 C: a2 + b2 =1(a>b>0)的离心率为 ❑ √6 3 ,短轴的一 ❑ 个端点到右焦点的距离为 √ 3 . (1)求椭圆 C 的方程; ❑ (2)设直线 l:y=x+ √ 2 与椭圆 C 交于 A,B 两点,其中 O 为坐标原点,求 △AOB 的面积. 3 20.(12 分)已知抛物线 C:y2=3x 的焦点为 F,斜率为 2 的直线 l 与 C 的 交点为 A,B,与 x 轴的交点为 P. (1)若|AF|+|BF|=4,求直线 l 的方程; AP =3 ⃗ PB ,求|AB|. (2)若 ⃗ 2 2 1 x y + 21.(12 分)已知椭圆 C: a2 b2 =1(a>b>0)的离心率为 2 ,以原点为 ❑ 圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+ √ 6 =0 相切,过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; OA · ⃗ OB 的取值范围. (2)求 ⃗ x2 y2 22.(12 分)已知椭圆 C: a2 + b2 =1(a>b>0)的离心率为 ( 1, ❑ √2 2 ) 在椭圆 C 上. ❑ √2 2 ,点 (1)求椭圆 C 的方程; ( √36 , 0) ❑ (2)过点 P 1 定值?若为定值,求出定值;若不为定值,请说明理由. 参考答案 1. C 2. A 3. A 4. A 5. B 6. D 7. C 8. D 9. ACD 1 的直线交椭圆 C 于 E,F 两点, | EP|2 + | FP| 2 是否为 10. ACD 11. ABD 12. ABC 1 13. x= 2 14. 25　(3,0)或(-3,0) 5 - ❑√ 5 15. 4 ❑ √6 ❑ 16. 2 或 √ 3 17. x2 y2 ❑ 解:(1)椭圆 25 + 9 =1 的焦点在 x 轴上,且 c= √ 25 - 9 =4,即焦点坐标 2 2 x y 为(4,0),(-4,0),于是可设双曲线方程为 a2 − b 2 =1(a>0,b>0),则有 { a2 +b2=16 , x2 y2 2 2 16 36 − a =4,b =12,故双曲线的方程为 - 2 =1 , 解得 4 12 =1. 2 a b (2)假设在双曲线上存在点 P,使得|PF1|=5|PF2|,则点 P 只能在右支上. 由双曲线的定义,知|PF1|-|PF2|=2a=4, 于是|PF1|=5,|PF2|=1. 但当点 P 在双曲线的右支上时,点 P 到左焦点 F1 的距离的最小值应为 a+c=6,故不可能有|PF1|=5,即在双曲线上不存在点 P,使得|PF1|=5| PF2|. 18. 解:(1)∵F(c,0),直线 AB 过点 F,且 AB⊥x 轴, ∴直线 AB 的方程为 x=c, 联立 { x=c , x y2 + =1, a2 b2 a 2=b2 +c 2 , 解得 { x=c , b2 y=± , a 2 2 b2 ∴|AB|= a . 由题意可得,抛物线 C2 的方程为 y2=4cx,联立 ∴|CD|=4c. 2 4 8b ∵|CD|= 3 |AB|,∴4c= 3 a ,2b2=3ac, ∴2c2+3ac-2a2=0,即 2e2+3e-2=0, 1 解得 e= 2 (e=-2 舍去), 1 因此,椭圆 C1 的离心率为 2 . { { x =c , 解得 x=c , y=± 2 c , y =4 cx , 2 x 2 y 2 (2)由(1)知 a=2c,b= √ 3 c,椭圆 C1 的方程为 4 c 2 + 3 c 2 =1,联立 ❑ { y 2=4 cx , 2 2 2 x2 y2 y 3x +16cx-12c =0,解得 x= 消去 并整理得 3 c 或 x=+ 2 =1 , 2 4c 3c 6c(舍去), 2 5c 由抛物线的定义可得|MF|= 3 c+c= 3 =5,解得 c=3. 2 2 x y 因此,曲线 C1 的标准方程为 36 + 27 =1, 曲线 C2 的标准方程为 y2=12x. 19. 解:(1)由题意可得 { a=❑√ 3 , c ❑√ 6 = , 解得 a= a 3 2 2 2 a =b + c , ❑ √ 3 ,c= ❑√ 2 ,b=1. x2 故椭圆 C 的方程为 3 +y2=1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2). 联立 { y =x+ ❑√ 2 , 2 x2 2 + y =1 , 得 4x +6 3 则 x1+x2=于是|AB|= ❑ √ 2 x+3=0, 3 3 ❑√ 2 ,x 1x2= 4 . 2 √ 2[( x + x ❑ 1 2 )2 - 4 x1 x 2 ] = √ ❑ 2× 3 - 4 × )= √3 ( 9 ×2 4 4 ❑ . 1 √2 原点 O 到直线 AB 的距离 d= ❑√ 2 =1,故△AOB 的面积 S= 2 ·d·|AB| ❑ 1 ❑ √ ❑ = 2 ×1× √ 3= 2 . 3 20. 3 解:设直线 l:y= 2 x+t,A(x1,y1),B(x2,y2). (1)由题设得 F ( 3