第一章 直线与圆 综合培优卷 一、单选题。本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题只有一个选项符合题意。 C1 :  x  1   y  1  1 2 1．已知圆 2 x P 点 为 轴上的动点，则 A． 2 54 PN  PM B． 2．在平面直角坐标系 xOy C2 :  x  4    y  5   9 2 ，圆 2 的最大值是（ 9 C． 中，已知点 A(0, 2) ，点 M 、 N 分别是圆 C1 、圆 C2 上的动点， ） 7 ，点 D． B (1, 1) P ， 为圆 2 52 x2  y 2  2 B 上一动点（异于点 ）， PB 则 PA 的最大值是（ ） A．2 3．已知点 B．4 A(2, 3) ， B(3, 2) C． ．若直线 2 D． l : mx  y  m  1  0 与线段 AB 2 2 相交，则实数 m 的取值范围是（ ） 3� � �,  ��[4, �) � 4� A． � �3 �  ,4 B． � �4 � � �1 � � , �� C． �5 � � 3� 4, D． � � 4� � 4．已知圆 C ： 2x  y  k  0 x2  y 2  2 x  4 y 1  0 k ，则实数 的取值范围是（ � 2 5 , 2 5 � � A． � 5．已知圆 ，若存在圆 C 的弦 AB ，满足 B．  5,5 C1 : x 2  y 2  2 x  4 y  4  0 ，且 AB 的中点 M 在直线 ） C． ，圆 AB  2 3  5, 5  �  5, 5 � � D． � C2 : x 2  y 2  4 x  2 y  1  0 P 为直线 l : y  x  2 上的动点，则 MP  NP 的最小值为（ ， ） M ， N 分别为圆 C1 和圆 C2 上的动点， A． 2 10  3 B． 2 10  3 10  3 C． D． 10  3 6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个 有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到 军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为 B  2, 0  ，若将军从山脚下 �1 � A � , 0 � 的点 � 3 �处出发，河岸线所在直线方程为 x  2 y  3 ，则“将军饮马”的最短总路程为（ 145 A． 3 7．已知⊙M： PA, PB A． A, B ，当 2x  y 1  0 8．直线 A． x2  y2  2 x  2 y  2  0 ，切点为 x  2y  b  0 l 2x  y  2  0 P l P ，直线 ： ， 为 上的动点，过点 作⊙M 的切线 | PM | � | AB | B． 16 D． 3 135 C． 3 B．5 ） 最小时，直线 2x  y  1  0 C． AB 的方程为（ 2x  y  1  0 ） D． 2x  y 1  0 ) ( b 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么 的取值范围是 　　  2,2 B．  �, 2 U  2, � C．  2, 0  U  0, 2 D． (�, �) 二、多选题。本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，每小题有两项或以上符合题意。 9．已知圆 O：x2+y2＝4 和圆 M：x2+y2－2x+4y+4＝0 相交于 A、B 两点，下列说法正确的是（　 　） A．圆 M 的圆心为（1，－2），半径为 1 B．直线 AB 的方程为 x－2y－4＝0 2 5 C．线段 AB 的长为 5 D．取圆 M 上点 C（a，b），则 2a－b 的最大值为 10．已知圆 M : ( x  1) 2  y 2  2 ， (M 为圆心）直线 别于圆 M 切于点 A ， B ．则下列说法正确的是（ 4 5 l : x  y 3  0 ） l P ，点 在直线 上运动，直线 PA，PB 分 A．四边形 PAMB 的面积最小值为 B． | PA | 最短时，弦 AB 长为 2 3 6 C． | PA | 最短时，弦 AB 直线方程为 x  y  1  0 1 1 D．直线 AB 过定点为 ( 2 ，  2 ) 11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 A ， B 的距离之比为定值    �1 的点的轨 PA 1  迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系 xOy 中， A  2, 0  ， B  4, 0  ，点 P 满足 PB 2 ． 设点 P 的轨迹为 C ，则（ A．轨迹 C 的方程为  x  4 ）． 2  y2  9 PD 1  B．在 x 轴上存在异于 A ， B 的两点 D ， E ，使得 PE 2 C．当 A ， B ， P 三点不共线时，射线 PO 是 �APB 的角平分线 D．在 C 上存在点 M ，使得 12．点 P 在圆 A． B． | PQ | | PQ | C1 : x 2  y 2  1 MO  2 MA 上，点 Q 在圆 C2 : x 2  y 2  6 x  8 y  24  0 的最小值为 0 的最大值为 7 C．两个圆心所在的直线斜率为  4 3 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 6 x  8 y  25  0 三、填空题。本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 上，则（ ） 13．设 P 为直线 3x＋4y＋3＝0 上的动点，过点 P 作圆 C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0 的两条切线，切点 分别为 A，B，则四边形 PACB 的面积的最小值为________． 14．已知直线  2m  1 x   1  m  y  3  1  m   0 ， �1 � m ��  ,1� � 2 �与两坐标轴分别交于 A 、 B 两点．当△ OAB 的 面积取最小值时（ O 为坐标原点），则 m 的值为_________ C : x 2   y  1  16 2 15．已知圆 ，过点 P  0,1 的直线 l 交圆 C 于不同的两点，当圆上的点到直线 l 的距离的 最大值为 6 时，直线 l 的方程为______． 2 16．已知函数 f  x   1  x  k  x  2  有两个不同的零点，则常数 k 的取值范围是___________. 四、解答题。本大题共 6 小题，共 70 分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。 17．已知直线方程为(2－m)x+(2m+1)y+3m+4＝0，其中 m∈R． （1）当 m 变化时，求点 Q（3，4）到直线的距离的最大值； （2）若直线分别与 x 轴、y 轴的负半轴交于 A，B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时的直线方程． 18．在三角形 ABC 中，已知点 A(4，0)，B(－3，4)，C(1，2)． （1）求 BC 边上中线的方程； （2）若某一直线过 B 点，且 x 轴上截距是 y 轴上截距的 2 倍，求该直线的一般式方程． 19．已知以点 C(t, 2 )(t∈R，t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O，A，与 y 轴交于点 O，B，其中 O 为原点． t （1）求证：△OAB 的面积为定值； （2）设直线 y＝－2x＋4 与圆 C 交于点 M，N，若 OM＝ON，求圆 C 的方程． 20．已知△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为 x  2 y  1  0 ，∠A 的平分线所在的直线方程为 y=0，点 C 的坐标为(1，2). （1）求点 A 和点 B 的坐标； （2）过点 C 作直线 l 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于点 M、N，求△MON（O 为坐标原点）的面积最小 值及此时直线 l 的方程. 21．已知过点 A  0,1 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C :  x  2    y  3  1 2 2 交于 M ， N 两点． （1）求 k 的取值范围； （2）若 uuuu r uuur OM � ON  12 ，其中 22．已知点 P 在圆 C ：  O 为坐标原点，求 x  2    y  3  16 2 VOMN 的面积． 2 上运动，点 Q  4,3 ． （1）若点 M 是线段 PQ 的中点，求点 M 的轨迹 E 的方程； 1 1  （2）过原点 O 且不与 y 轴重合的直线 l 与曲线 E 交于 A  x1 , y1  ， B  x2 , y2  两点， x1 x2 是否为定值？若 是定值，求出该值；否则，请说明理由． 参考答案 1．B C1 :  x  1   y  1  1 2 【解析】圆 C2 :  x  4    y  5   9 2 圆 点  max  PN PN max  PC2  3 所以，  PN  PM  C2  4,5  的圆心为 2 Q  PN  PM 又 2 ， max max PM 的圆心为  PM min min max ， C2�  4, 5  5 4  9 ， 2．A P  x0 , y0  ，则 ，  4  1 故选：B． 【解析】设点 ，半径为 3 ．   PC2  3   PC1  1  PC2  PC1  4 关于 x 轴的对称点为  PN  PM  ，半径为 1 ， ，  PC1  1 PC2  PC1  PC2� PC1 �C1C2� 所以， C2  4,5 C1  1, 1 x02  y02  2 ， 2   5  1  5 ， 2 ．