专题 9.4—立体几何—外接球 2 一．单选题 1．在三棱锥 P  ABC 中， AB  2, AC  7, tan �BAC  3 , PA  2 2 ，当此三棱锥的体积最 ( ) 大时，该三棱锥外接球的体积是 　　 A． B． 3 C． 2 8 3 D． 9 2 2．在三棱锥 P  ABC 中， PA  PB  BC  4 ， AC  8 ， AB  BC ．平面 PAB  平面 ABC ， 若球 O 是三棱锥 P  ABC A． 25 的外接球，则球 O B． 60 ( ) 的表面积为 　　 C． 72 D． 80 2 3 3．已知一个圆锥的母线长为 2 6 ，侧面展开图是圆心角为 3 的扇形，则该圆锥的外接 ( ) 球的体积为 　　 A． 36 4．在三棱锥 B． S  ABC 中， 48 AB  BC  2 C．36 ， SA  SC  AC  2 D． ，二面角 24 2 S  AC  B 的余弦值 3 是 3 ，则三棱锥 S  ABC 外接球的表面积是 ( 　　 ) 3 A．  2 5．在正三棱锥 B． 2 C． 6 D． 6  中， ， 为 的中点， 与底面 所成角为 ， S  ABC SD ABC AB  2 3 3 D AB 则正三棱锥 S  ABC ( ) 外接球的直径为 　　 7 3 B． 3 A． 3 2 C． 2 3 4 3 D． 3 6．四棱锥 S  ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， AD  4 ， AB  2 ，且 SA  SD  8 ，当该四 ( ) 棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 　　 A． B． 20 7．如图，在 PAB 中， C． 25 PA  PB  2 2 ， 80  3 D． 76  3 �APB  90� O PO AB ，点 为 的中点，以 为折痕 O  AO ，则三棱锥 P  AOB� 把 POB 折叠，使点 B 达到点 B� 的位置，且 B� 的外接球的表 ( ) 面积是 　　 A． 12 B． 16 C． 24 D． 32 8．在四面体 PABC 中， PC  PA ， PC  PB ， AP  BP  AB  2 PC  2 ，则四面体 PABC ( ) 外接球的表面积是 　　 A． 17 12 二．多选题 B． 19 12 C． 19 3 D． 17 3 9．已知圆柱底面半径为 1，高为 2， AB 为上底底面的直径，两条母线 AA1 ， BB1 ，点 C 是 ( ) 下底底面圆弧上的一个动点．则 　　 A． AB1 ， BC 所成角一定为锐角 B．该圆柱的内切球体积与该圆柱的体积之比为 2 : 3 C．三棱锥 A  CBB 体积最大为 1 2 3 D．点 C 绕着下底底面旋转一周，则 ABC 面积的范围为 [2 , 5] 10．“端午节”为中国国家法定节假之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是 端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同．如图，粽子可包成棱长为 6cm 的正四面 3 体状的三角粽，也可做成底面半径为 cm ，高为 6cm （不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有 2 两 碗馅 料， 若一 个碗 的容 积等 于半 径为 6cm ( ) 的 半球 的体 积， 则 　 　 （参 考数 据： 2 �4.44) A．这两碗馅料最多可包三角粽 35 个 B．这两碗馅料最多可包三角粽 36 个 C．这两碗馅料最多可包竹筒粽 21 个 D．这两碗馅料最多可包竹筒粽 20 个 11．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点 ( ) 则 　　 M ， N ，若线段 MN 的最大值为 3 1 ， A．正方体的外接球的表面积为 12 B．正方体的内切球的体积为 16 3 C．正方体的棱长为 2 MN D．线段 的最小值为 12 ． 如 图 ， 四 棱 锥 PA  AB E ， 、 F 3 1 P  ABCD 分别为 PD 的底面 、 AB ABCD 是边长为 的中点，过 C 、 E 、 3 正方形， F 的平面与 PA  PA 底面 交于点 ABCD G ， ，则 ( ) A． PG  2 AG B． PF / /CE C．以 P 为球心，2 为半径的球面与底面 ABCD 的交线长为  2 D．四棱锥 P  ABCD 外接球体积为 3 三．填空题 13．四棱锥 A  BCDE 的各顶点都在同一球面上， AB  底面 BCDE ，底面 BCDE 为梯形， �BCD  60� AB  CB  BE  ED  2 ，且 ，则此球的体积等于 　　． 14．在三棱锥 中， P  ABC PA  平面 ABC ， �BAC  2 ， AP  3 ， AB  2 3 ， Q 是边 3 上的一动点，且直线 PQ 与平面 ABC 所成角的最大值为 BC  ，则三棱锥 P  ABC 的外接 3 球的体积为 　　． 15．已知三棱锥 A  BCD 中， BC  CD  2 ， BD  2 2 ， AC  2 2 ， ABD 是等边三角 形，则三棱锥 A  BCD 的外接球的表面积为 　　． 16 ． 已 知 三 棱 锥 ABD  平面 BCD A  BCD 中， ，则三棱锥 BC  CD  2 A  BCD ， BD  2 2 ， ABD 的外接球的表面积为 　　． 是等边三角形，平面 专题 9.4—立体几何—外接球 2 答案 1．解：因为在三棱锥 P  ABC 中， 所以 cos �BAC  AB  2, AC  7, tan �BAC  3 , PA  2 2 ， 2 7 7 ， 由余弦定理，可得 BC 2  AB 2  AC 2  2 AB � AC � cos �BAC 2 7  4  7  2 �2 � 7 � 3 7 ， 所以 BC  3 ，故 AB 2  BC 2  AC 2 ，所以 AB  BC ， 如图所示，当 PA  平面 ABC 时，三棱锥 P  ABC 的体积最大， 把三棱锥 P  ABC 放在长方体中，其外接球的半径为 R AB 2  BC 2  PA2 3  2 2， 所以当此三棱锥的体积最大时，该三棱锥外接球的体积是 V  4 3 9 � � ( )3   ． 3 2 2 故选： D ． 2．解：三棱锥 P  ABC 中，若球 O 是三棱锥 P  ABC 的外接球， 如图所示： 在平面 PAB 中，过点 P 作 PD  AB 于点 D ，由于平面 PAB  平面 ABC ， 故 PD  平面 ABC ， 所以 PD  BC ，由于 AB  BC ． 故 BC  平面 ABP ， 所以 BC  AB ． 由于 PA  PB  BC  4 ， AC  8 ， 故 AB  82  42  4 3 所以 AD  DB  2 3 ， ， 进一步求出 PD  2 ， 设 PAB 的中心为 E ，设 PE  x ， 利用 (2 3) 2  (2  x) 2  x 2 ， 解得 x  4 ， 所以该三角形的中心在三角形的外部， 即 DE  2 ， 由于三角形 ABC 为直角三角形，点 H 为 AC 的中点， 所以 BH  4 ， 过点 H 作 OH  平面 ABC ， 所以 OA  42  22  2 5 即外接球的半径为 故 2 5 ， ， S球  4 � � (2 5) 2  80 ． 故选： D ． 2 3 3．解：设圆锥底面半径 r ，由侧面展开图是圆心角为 3 的扇形， 得 2 r  2 3  �2 6 3 ，则 r  2 2 ， 作圆锥的轴截面如图： 2 2 设圆锥的高为 h ，则 h  (2 6)  (2 2)  4 ， 设该圆锥外接球的球心为 O ，半径为 R ，则 即 R  (h  R )2  r 2 ， R  (4  R ) 2  8 ，解得 R  3 ． 故圆锥的外接球的体积为 V  4 3 4 R  �33  36 ． 3 3 故选： A ． 4．解：如图所示： 取 AC 中点 D ，连接 SD ， BD ，则由 AB  BC ， SA  SC 得出 SD  AC ， BD  AC ， �SDB 为 S  AC  B Q AB  BC  2 ， 的平面角，且 AC  2 ，易得： AC  ABC 面 SBD ． 为等腰直角三角形， 1 又Q BD  AC ，故 BD  AD  AC ， 2 在 SBD 中， BD  在 SAC 中， 1 1 AC  �2  1 ， 2 2 SD2  SA2  AD 2  22  12  3 在 SBD 中，由余弦定理得 满足 SB 2  SD 2  BD 2 ， SB 2  SD 2  BD 2  2SD gBD cos �SDB  3  1  2 � 3 �1 � 3 2 3 ， ，  �SBD  90� SB  BD ， ， BDI AC  D  SB  又 SB  AC ， ， 面 ABC ． 以 SB ， BA ， BC 为棱可以补成一个棱长为 2 S A B C 的正方体， 、 、 、 都在正方体的 外接球上， 正方体的对角线为球的一条直径，所以 2 R  3 � 2 ，  球的表面积 故选： D ． S  4 �( 6 2 )  6 2 ． R 6 2 ， 5．解：设 O 为正三角形 ABC 的中心，连接 SO ， OD ， 1 3 OD  �( �2 3)  1 3 2 在正三角形 ABC 中， ， 在 RtSOD 中， �SDO 就是直线 SD 与底面 ABC 所成的角，则 �SDO  设正三棱锥 S  ABC