专题 36：圆锥曲线的面积问题 1．已知椭圆 C : 3 x2 y 2  2  1 a  b  0  2 4，离心率为 的长轴长为 2 . a b （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点， O 为坐标原点， uuuu r uuu r uuu r uuuur OM  1 ，求 VAOB 面积的最大值. OA  OB  2OM ，若 2．已知椭圆 C : �5 3 1 � x2 y 2 M   1( a  b  0) �2 , 2 � � 的焦距为 ，且点 � 2 2 � � 8 a b 在 C 上. （1）求 C 的方程； （2）若直线 l 与 C 相交于 A ， B 两点，且线段 AB 被直线 OM 平分， 求 VAOB ( O 为坐标原点)面积的最大值. 3．已知抛物线 C ： y 2  2 px  p  0  的焦点为 F ，过点 F 且垂直于 x 轴的直线交抛物线 C 于 D ､ E 两点，且 DE  4 . （1）求抛物线 C 的方程； A 2, 0 （2）设直线 l 过点   且与抛物线 C 交于 P, Q 两点，点 R 在抛 uuur uuur uuur r 物线 C 上，点 N 在 x 轴上， NP  NQ  NR  0 ，直线 PR 交 x 轴于点 B ， 且点 B 在点 A 的右侧，记 VAPN 的面积为 S1 ， VRNB 的面积为 S2 ， S1 求 S2 的最小值. x2 y2  1 4．如图所示， F1 ､ F2 分别是椭圆 C ： a 2 b 2 ( a  b  0 )的左､右 3 cos �F1 PF2  � F PF 5且 焦点，点 P 在椭圆 C 上.当 1 2 最大时， uuuu v uuuuv PF2 � F1 F2  2 . （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）直线 PF2 与椭圆 C 的另一交点为 Q ，过 F1 作直线 PQ 的垂线 l ， l 与圆 x 2  y 2  b2 交于 A ､ B 两点，求四边形 APBQ 面积的最大值. 2 5．已知点 F  1,0  ，圆 E ：  x  1  y  8 ，点 P 是圆 E 上任意一点， 2 线段 PF 的垂直平分线和半径 PE 相交于 Q 点. （1）求动点 Q 的轨迹  的方程； 2 2 （2）若直线 l ： y  kx  t 与圆 O ： x  y  1 相切，并与轨迹  交于 3 uuu r uuu r � �1 OB   ，且 5 不同的两点 A, B ， OA � ，求 VAOB 面积的最大值. x2  y2  1 2 6．如图，过椭圆 的左右焦点 F1 , F2 分别做直线 AB, CD ， 交椭圆于 A, B, C , D 四点，设直线 AB 的斜率为 k (k �0) （1）求 | AB | （用 k 表示）； 1 （2）若直线 AB, CD 的斜率之积为 2 ，求四边形 ACBD 面积的取  值范围． 7．已知椭圆 C1 : y2  x2  1 ，拋物线 C2 : y 2  2 px( p  0) ，点 A  1, 0  ， 2 uuur 1 uuu r AC  CB 2 斜率为 k 的直线 l1 交拋物线于 B、C 两点，且 ，经过点 C 1  k 的斜率为 2 的直线 l2 与椭圆相交于 P、Q 两点. （1）若拋物线的准线经过点 A ，求拋物线的标准方程和焦点坐 标： （2）是否存在 p ，使得四边形 APBQ 的面积取得最大值？若存在， 请求出这个最大值及 p 的值；若不存在，请说明理由. 2 2 8．已知直线 l 与圆 O : x  y  8 相切，动点 P 到 F1 (2, 0) 与 F2 (2,0) 两 点距离之和等于 F1 ， F2 两点到直线 l 的距离之和. （1）设动点 P 的轨迹为 C ，求轨迹 C 的方程； x2 y 2  1 （2）对于椭圆 a 2 b 2 ，上一点 A  x0 , y0  ，以 A 为切点的切线方 xx0 yy0  1 .设 G 为 x  4 上任意一点，过点 G 作轨迹 C 的两条 程为 a 2 b 2 切线 GM ， GN ， M ， N 为切点. ① 求证直线 MN 过定点； ② 求 △ F1MN 面积的最大值. 9．如图，设椭圆 C1 : x2 y 2   1( a  b  0) ，长轴的右端点与抛物线 a 2 b2 3 C2 : y 2  8 x 的焦点 F 重合，且椭圆 C1 的离心率为 2 . （1）求椭圆 C1 的标准方程； （2）过 F 作直线 l 交抛物线 C2 于 A ､ B 两点，过 F 且与直线 l 垂直 的直线交椭圆 C1 于另一个点 C ，求 VABC 面积的最小值时直线 l 的 方程. 10．已知椭圆 2 2 . E: x2 y 2 2  2  1 a  b  0  2 的离心率为 2 ，其长轴长为 a b （1）求椭圆 E 的方程； （2）直线 l1 : y  k1 x 交 E 于 A 、 C 两点，直线 l2 : y  k2 x 交 E 于 B 、 D 两点，若 k1 � k2   1 2 .求四边形 ABCD 的面积. 11．已知圆 C 的方程为 x 2  ( y  5) 2  16 ，直线 l 的方程为 y  3 ，点 P 为平面内一动点， PQ 是圆 C 的一条切线 (Q 为切点），并且点 P 到 直线 l 的距离恰好等于切线 PQ 长． （Ⅰ）求点 P 的轨迹方程； （Ⅱ）已知直线 m 的方程为 y  x  2 ，过直线 m 上一点 R 作（Ⅰ） 中轨迹的两条切线，切点分别是 A ， B 两点，求 △ ABR 面积的最小 值． 2 12．如图，已知抛物线 C : y  2 x ，过点 M (2,0) 的直线 l 交抛物线 C 于 A ， B 两点，点 P 是直线 O 为坐标原点）． x 2 3 上的动点，且 PO  AB （其中  （1）若直线 l 的倾斜角为 4 ，求点 P 到直线 l 的距离； （2）求 △ ABP 面积的最小值及取得最小值时直线 l 的方程． 13．已知 A 、 B 分别为椭圆 C: x2 y 2   1 a  b  0  的左、右顶点， a2 b2 1  G 0,1   点 为椭圆 C 的上顶点，直线 GA 与 GB 的斜率之积为 3 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 M 、 N 为椭圆 C 上位于 x 轴上方的两点，且 MF1 //NF2 ，求四边形 F1MNF2 面积的取值 范围． 14．已知椭圆 E: x2 y 2 2  2  1(a  b  0) 2 的离心率是 2 ，两条准线间 a b 的距离为 4. （1）求椭圆 E 的标准方程； T t, 0 （2）若   是椭圆 E 的长轴上（不包含端点）的动点，过 T 作 互相垂直的两条直线分别交椭圆 E 于 A、C 和 B、D，求四边形 ABCD 的面积的最大值. 15．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E: x2 y 2   1 a  b  0  的 a 2 b2 � 2� 2 1, � 离心率为 ，且经过点 � � �. � 2 � 2 （1）求椭圆 E 的方程； （2）设 A 、 B 、 C 、 D 是椭圆 E 上互异的四点（点 A 在第一象 限），其中 A 、 B 关于原点对称， A 、 C 关于 x 轴对称，且 AB //CD ， 求四边形 ABCD 面积的最大值. 参考答案 x2  y2  1 1．（1） 4 ；（2）1. c 3 【分析】（1）由条件可得 2a  4, a  2 ，解出即可； （2）分直线 l 的斜率不存在、直线 l 的斜率存在两种情况，当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y  kx  m, A  x1 , y1  , B  x2 , y2  ，联立直线与 椭圆的方程消元，然后韦达定理表示出 x1  x2 、 x1 x2 ，然后表示出点 uuuu r 2 2 2 2 OM  1 m 16 k  1  4 k  1     可得 ，然后表示出 M 的坐标，然后由 SVAOB  2 m 2  4k 2  m2  1 4k 2  1 ，然后利用基本不等式可求出其最值. 【解析】（1）因为椭圆 C: x2 y 2   1 a  b  0  的长轴长为 4，离心率 a 2 b2 3 为 2 所以 2a  4, c 3  a 2 ，解得 a  2, c  3 ，所以 b  1 x2  y2  1 所以椭圆 C 的方程为 4 （2）当直线 l 的斜率不存在时，可得 l 的方程为 x  �1 ，易得 AB  3 1 � 3 �1  3 VAOB 的面积为 2 当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y  kx  m, A  x1 , y1  , B  x2 , y2  �x 2 �  y2  1 4 联立 � �y  kx  m 可得  4k 2  1 x 2  8kmx  4m 2  4  0 � 所以 x1  x2  8km 4m 2  4 2m , x x  , y1  y2  k  x1  x2   2m  2 1 2 2 2 4k  1 4k  1 4k  1 2 2 �4km � � m � m � �4km uuuu r � � 2 �  1 所以 M �4k 2  1 , 4k 2  1 �，因为 OM  1 ，所以 � 2 �4k  1 � �4k  1 � � � 2 2 2 化简可得 m  16k  1   4k  1 2 m 因为原点到直线 l 的距离为 1  k 2 AB  1  k � x1  x2  2  1 k 2 � 2 2 �8km � 16m  16  4 x1 x2  1  k �� 2  � 2 �4k  1 � 4k  1 2 64k 2  16m 2  16 4k 2  1 1 S  � 1 k2