专题 28：抛物线的定值问题 一、单选题 2 P 4, 0 1．如图，已知抛物线 y  4 x 的焦点为 F，过点   的直线交抛 物线 A  x1 , y1  , B  x2 , y2  两点，直线 AF , BF 分别与抛物线交于 M , N 点， k1  记直线 MN 的斜率为 k1 ，直线 AB 的斜率为 k2 ，则 k2 （ A．1 B．2 C．3 ） D．4 二、解答题 2 2．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的点均在 C2 :  x  5   y  9 外， 2 且对 C1 上任意一点 M ， M 到直线 x  2 的距离等于该点与圆 C2 上 点的距离的最小值． （1）求曲线 C1 的方程； P x , y y ��3 （2）设  0 0   0 为圆 C2 外一点，过 P 作圆 C2 的两条切线， 分别与曲线 C1 相交于点 A 、 B 和 C 、 D ．证明：当 P 在直线 x  4 上运动时，四点 A 、 B 、 C 、 D 的纵坐标之积为定值． 2 3．已知抛物线 C ： y  2 px( p  0) 的焦点是 F，若过焦点的直线与 C 相交于 P，Q 两点，所得弦长 | PQ | 的最小值为 4. （1）求抛物线 C 的方程； （2）设 A，B 是抛物线 C 上两个不同的动点，O 为坐标原点，若 OA  OB ， OM  AB ，M 为垂足，证明：存在定点 N，使得 | MN | 为定值. 2 4．如图，已知过拋物线 C : y  4 x 的焦点 F 的直线交抛物线 C 于 点 A, B( 点 A 在第一象限)，线段 AB 的中点为 M , 拋物线 C 在点 A 处 的切线与以 AM 为直径的圆交于另一点 P . uuur uuu r （1）若 AF  4 FB ，求直线 AB 的方程； | AP |2 （2）试问 AB �AF 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是， 请求出它的最大值. �p � p F � ,0� 5．动圆 C 过定点 �2 �，且与直线 x   2 相切，其中 p  0 ，设 圆心 C 的轨迹为  ． （1）求轨迹  的方程； A x,y B x ,y （2）设直线 l 交轨迹  于不同的两个点  1 1  、  2 2  ，当 y1 y2   p 时，直线 l 过定点，请求出定点坐标； P x ,y Q x� , y� （3）设轨迹  上的两个定点 0  0 0  、 0  0 0  ，分别过点 P0 、 Q0 作倾斜角互补的两条直线 P0 M 、 Q0 N 分别与轨迹  交于 M 、 N 两点，求证：直线 MN 的斜率为定值． x2 y2  1 6．已知抛物线 C： y  2 px( p  0) 的焦点 F 与椭圆 4 3 的右焦 2 点重合，点 M 是抛物线 C 的准线上任意一点，直线 MA ， MB 分别 与抛物线 C 相切于点 A ， B . （1）求抛物线 C 的标准方程； k2 为定值； （2）设直线 MA ， MB 的斜率分别为 k1 ， k2 ，证明： k1 � （3）求 AB 的最小值. �9 � M � , 3� 7．如图，已知 �4 �是抛物线 C : y 2  2 px  p  0  上一点，直线 AM ， BM C A B 的斜率互为相反数，与抛物线 分别交于 ， 两点， 且均在 M 点的下方． （1）证明：直线 AB 的斜率为定值； （2）求 △ MAB 面积的最大值． 8．己知过点 M  0, m   m  0  2 的直线 l 与抛物线 C : x  4 y 交于 A，B 两点． （1）分别以 A，B 为切点作抛物线的两条切线 PA，PB，交点为 P，当 m  1 时，求点 P 的轨迹方程； 1 （2）若 AM 2  1 2 BM 为定值，求 m 的值． 2 9．如图，抛物线 y  4 x 的焦点为 F ， AB 为过点 F 的弦，设直线 AB A k 的斜率为 （ k 0 ）. AB x P 的中垂线与 轴交于点 ，抛物线在 B ， 两点处切线交于点 Q. （1）当 AB  6 时，求 △ PAB 的面积； S△ PAB （2）判断 S△ QAB 是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说 明理由. 10．已知抛物线 x  y  m  0  m �R  y 2  2 px  p  0  的焦点 F 到准线 l 的距离为 2，直线 与抛物线交于不同的两点 A ， B . （1）求抛物线的方程； （2）是否存在与 m 的取值无关的定点 T ，使得直线 AT ， BT 的斜 率之和恒为定值？若存在，求出所有点 T 的坐标；若不存在，请 说明理由. 2 Q 2,0 11．已知抛物线 E : y  4 x ，过点   作直线与抛物线 E 交于 A, B P 两点，点 是抛物线上异于 直线 x  2 交于 M , N 两点. A, B 两点的一动点，直线 PA, PB 与 （1）证明： M , N 两点的纵坐标之积为定值； （2）求 MNQ 面积的最小值. 12．如图，已知抛物线 M  t, 0  t  0 y 2  2 px  p  0  ，在 x 轴正半轴上有一点 ，过点 M 作直线 l1 ， l2 分别交抛物线于点 A, B, C , D ， 1 t p l 过点 M 作 3 垂直于 x 轴分别交 AD, BC 于点 P, Q .当 2 ，直线 l1 的 斜率为 1 时， AB  4 . （1）求抛物线的方程； MP （2）判断 MQ 是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说 明理由. 2 13．在平面直角坐标系 xOy 中，已知焦点为 F 的抛物线 x  4 y 上 uuu r uur 有两个动点 A 、 B ，且满足 AF   FB ，过 A 、 B 两点分别作抛物线 的切线，设两切线的交点为 M . uuu r uuur OA OB 的值； （1）求： � uuuu r uuu r （2）证明： FM �AB 为定值. 2 14．已知抛物线 C : x  2 py ( p  0) 经过点 P(2,1) ，过点 Q(1,0) 的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A, B ，且直线 PA 交 x 轴于点 M ，直 线 PB 交 x 轴于点 N ． （1）求直线 l 的斜率的取值范围； 1 1 uuuu v uuuv uuuv uuuv  （2）设 O 为原点， QM   QO，QN   QO ，求证:   为定值． 15．设 F 是抛物线 y2＝4x 的焦点，M，P，Q 是抛物线上三个不 同的动点，直线 PM 过点 F，MQ∥OP，直线 QP 与 MO 交于点 N．记点 M，P，Q 的纵坐标分别为 y0，y1，y2． （1）证明：y0＝y1﹣y2； （2）证明：点 N 的横坐标为定值． 参考答案 1．D 【分析】设出 A, B, M , N 的坐标，求得直线 AF , BF 的方程，由此求得 k1 M , N 两点的坐标，由此求得 k2 . F 1,0 A x , y ,B x , y ,M x , y ,N x , y 【解析】依题意   ，设  1 1   2 2   3 3   4 4  ，所以 AM 的方程是 y y1 y k0  1  x  1 x1  1 x1  1 ，则 AM : y  k0  x  1 ，与抛物 ，设 线方程联立可得 k x   2k  4  x  k  0 ，所以 x1 x3  1 ， 2 0 y3  k0  x3  1   k2  2 2 0 2 0 x3  1 x1 ，所以 �1 �1 y � y � y1 M � , 1 � N � , 2 � ，由于 x1 ，即 �x1 x1 �，同理可得 �x2 x2 � y1 y2  x1  4 x2  4 ，所以 y1 y2  k2  x2  4   x2 � k2  x1  4  4k2  x2  x1  x1 x2 x1 y2  x2 y1 x1 � k1      4k 2 1 1 ，所 x  x x  x x  x 2 1 2 1 2 1  x1 x2  k1 4 . 以 k2 故选：D 【点评】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查化归与转 化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题. 2 2．（1） y  20 x ；（2）证明见解析. 【分析】（1）分析可知，曲线 C1 是以  5, 0  为焦点，直线 x  5 为准 线的抛物线，进而可求得曲线 C1 的方程； （2）设 P 的坐标为  4, y0  ，设过 P 且与圆 C2 相切的直线的斜率 k 存 在且不为 0 ，分析可知切线 PA 、 PC 的斜率 k1 、 k2 为关于 k 的二次方 y k1  k 2   0 2 2 72 k  18 y k  y  9  0 0 0 4 ，设四点 A 、 B 、 程 的两根，可得出 C 、 D 的纵坐标分别为 y1 、 y2 、 y3 、 y4 ，联立直线 PA 与抛物线的方 程，可得出 y1 y2 的表达式，进一步可得出 y3 y4 的表达式，由此可计算 得出结果. 【解析】（1）由题设知，曲线 C1 上任意一点 M 到圆心 离等于它到直线 x  5 的距离，因此，曲线 C1 是以  x  5 为准线的抛物线， 5, 0  C2  5, 0  的距 为焦点，直线 2 故曲线 C1 的方程为 y  20 x ； （2）当点 P 在直线 x  4 上运动时， P 的坐标为  4, y0  ，又 y0 ��3 ， 则过 P 且与圆 C2 相切的直线的斜率 k 存在且不为 0 ， 每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为 kx  y  y0  4k  0 于是 5k  y 0  4 k k 2 1 y  y0  k  x  4  ，即 ， 3 ，整理得 72k 2  18 y0 k  y02  9  0 ，① 设过