专题 16：双曲线的离心率问题 一、单选题 2 1．已知点 A 是抛物线 x  4 y 的对称轴与准线的交点，点 F 为抛物 线的焦点，点 P 在抛物线上且满足 PA  m PF ，若 m 取最大值时， 点 P 恰好在以 A, F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 A． 3  1 5 1 C． 2 B． 2  1 2． F1 , F2 是双曲线 C: 2 1 D． 2 x2 y 2   1 a  0, b  0  的左、右焦点，直线 l 为 a 2 b2 ' ' 双曲线 C 的一条渐近线， F1 关于直线 l 的对称点为 F1 ，且点 F1 在 以 F2 为圆心、以半虚轴长 b 为半径的圆上，则双曲线 C 的离心率 为 A． 2 3．已知双曲线 B． 5 E: C．2 D． 3 x2 y 2  1 的左、右顶点分别为 A 、 B ， M 是 E a2 b2 上一点， VABM 为等腰三角形，且外接圆面积为 3 a ，则双曲线 2 E 的离心率为 A． 2 B． 2  1 4．设点 F1 ， F2 分别为双曲线 C． 3 C: D． 3  1 x2 y 2   1( a  0, b  0) a2 b2 的左右焦点.点 A ， uuu v uuuvuuuu v2 uuu v uuuu v AB  5 F A ， AF  AB � AF C 1 2 2 ，且 B 分别在双曲线 的左，右支上，若 uuuu r uuuu r AF2  BF2 ，则双曲线 C 的离心率为（ 65 A． 5 85 B． 5 5．已知双曲线 C : ） 13 C． 5 17 D． 7 x2 y 2   1 a  0, b  0  的右顶点、右焦点分别为 a 2 b2 A， F ，过点 A 的直线 l 与 C 的一条渐近线交于点 Q ，直线 QF 与 C uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur FB ，且 BQ  3FQ ，则 C 的离心率 的一个交点为 B，若 AQ �AB  AQ � 为( ) A．2 B． 5  1 2 5 C． 3 D． 2  5 x2 y 2   1 a  0, b  0  6．已知 F1 ， F2 是双曲线 C ： a 2 b2  的左，右焦点， 过点 F1 倾斜角为 30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点 A ， B .若 AF2  BF2 A． 2 ，则双曲线 C 的离心率为（ B． 3 7．已知双曲线 C : C．2 ） D． 5 x2 y 2   1 a  0, b  0  的右焦点为 F，关于原点对 a 2 b2 uuur uuu r FB  0 ， 称的两点 A、B 分别在双曲线的左、右两支上， AF � uuur uuur 3BF  FC 且点 C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） 10 B． 2 A． 2 8．已知 F1 , F2 是双曲线 C: C． 3 D．2 x2 y 2   1(a  0, b  0) a2 b2 的左右两个焦点，若双 b y x F a 对称，则该双曲线 曲线左支上存在一点 P 与点 2 关于直线 C 的离心率为（ 5 A． 2 ） B． 5 C． 2 9．已知 F1 ， F2 分别为双曲线 C: D． 2 x2 y 2  1 的左，右焦点，过点 F2 a 2 b2 的直线与双曲线 C 的右支交于 A ， B 两点，设点 H ( xH , yH ) ， G ( xG , yG ) 分别为 △ AF1 F2 ， △ BF1F2 的内心，若 离心率的取值范围为（ A． [2, �) yH  3 yG ，则双曲线 ） B． (1, 2] C． (1, 2] D． (1, 2) x2 y2   1(b  a  0) 10．双曲线上 a 2 b2 有两点 A 、 B ， O 为坐标原点， F 为双曲线焦点，满足 OA  OB ，当 A 、 B 在双曲线上运动时，使得 1 1 1 uuu r 2  uuu r 2 � uuur 2 恒 | OA | | OB | | OF | 成立，则离心率取值范围是（ ） �1  5 � � 1 5 � � 3 5 � � � , 2 2, 2, � � � � � � 2 A． � B． C． � 2 2 � � � � � � D． � 1 5 � � � 1, � 2 � � � x2 y 2 11．设 F1 ， F2 是双曲线 C : a 2  b 2  1 a  0, b  0  的左、右焦点，点 A C 是双曲线 右支上一点，若 △ AF1 F2 的重心 G 满足 A． 3 △ AF1 F2 uuuu r uuuur MG   F1F2 B． 5 的内切圆 M a 的半径为 ，且 ，则双曲线 C 的离心率为（ C．2 ） D． 2 5 x2 y 2 12．已知双曲线 C : a 2  b 2  1 a  0, b  0  的左、右焦点分别为 F1 , F2 ， 2 F 过 1 作斜率为 2 的直线 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于 A 、 B 两点，若 AF2  BF2 A． 2 ，则双曲线的离心率为（ B． 2 C． 5 ） D． 3 13．已知 F1 ， F2 分别为双曲线 C : x2 y 2   1 a  0, b  0  的左，右焦 a 2 b2 点，点 A 为双曲线 C 的右顶点，且直线 右两支分别交于 P，Q 两点，若 的离心率的取值范围为（ A．  1, 2  l:y b2 a 与双曲线 C 的左、 �PAF1  �QAF2   2 ，则双曲线 C ） � 5 1 � 1, � B． � � � � 2 � C．  2, � D． � 5 1 � , � � � � 2 � � � x2 y 2   1(a  0, b  0) 14．已知双曲线 a 2 b2 的左、右焦点分别为 F A、 B 、 F2 ， O 分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点 对称的两点，且 直线 AB 的斜率为 2 2 ， M 、N 分别为 AF2 、 BF2 的中点，若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ A． 6  3 B． 6 C． 2 ） D． 6  2 x2 y 2   1 ( mn  0) 绕其对称中心旋转 3 后可得某 15．若双曲线 E ： m n 一函数的图象，则 E 的离心率等于（ ） 2 3 A． 3 2 3 C．2 或 3 B． 3 16．已知 F 为双曲线 C: D．2 或 3 x2 y 2   1( a  b  0) 的右焦点， A 、 B 是双 a 2 b2 曲线 C 的一条渐近线上关于原点对称的两点， AF  BF ，且 AF 的 中点在双曲线 C 上，则 C 的离心率为 A． 5  1 B． 3 1 2 C． 5 1 2 D． 3  1 x2 y 2   1(a  0, b  0) 17．双曲线 a 2 b2 的左右焦点为 F1 , F2 ，一条渐近线方 b l: y x 程为 a ，过点 F1 且与 l 垂直的直线分别交双曲线的左支及 uuu r 1 uuur 1 uuur OP  OF1  OQ 右支于 P, Q ，满足 2 2 ，则该双曲线的离心率为（ ） A． 10 B．3 18．已知双曲线 C: C． 5 x2 y 2   1(a  0, b  0) a2 b2 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ， 过 F1 的直线与 C 的左支交于 P ， Q 两点，若 3 PF1  2 QF1 3 A． 2 D．2 ，则 C 的离心率为（ 7 B． 5 PF2  F1F2 ，且 ） 5 C． 3 D． 2 x2 y 2   1(a  0, b  0) 19．设双曲线 a 2 b2 的左、右顶点分别为 A ， B ，点 C 在双曲线上， ABC 的三个内角分别用 A ， B ， C 表示，若 tan A  tan B  2 tan C  0 ，则双曲线的离心率为（ B． 3 A． 2 ） C．2 D． 5 y 2 x2   1 a＞，＞ 0 b 0 20．设双曲线 a 2 b 2  的上焦点为 F，过点 F 作与 y 轴垂直的直线交两渐近线于 A，B 两点，且与双曲线在第一象限 uuu r uuu r uuu r OP   OA   OB 的交点为 P，设 O 为坐标原点，若 ， 2  2  5  ， �R  9 ，则双曲线的离心率 e 的值是（ A．3 3 5 B． 5 3 2 C． 4 ） 3 D． 2 3 2 21．已知 x  1 是方程 x  ax  bx  c  0 的一个根，另两个实根可分 2 2 别作为某椭圆，某双曲线的离心率，则 a  b 的取值范围是（ ） A．  5, � 二、填空题 B． � 5, � � C．  5, � D．  5, � x2 y 2   1(a  0, b  0) 22．已知双曲线 a 2 b2 的左右顶点分别是 A, B ，右焦点 F x l ，过 F 垂直于 轴的直线 交双曲线于 M,N l 两点， P 为直线 上 的点，当 APB 的外接圆面积达到最小时，点 P 恰好落在 M （或 N ）处，则双曲线的离心率是__________． 23．已知 F1，F2 是椭圆与双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共 点，且 PF1  PF2 ，线段 PF1 的垂直平分线过 F2 ，若椭圆的离心率 2 e2  为 e1 ，双曲线的离心率为 e2 ，则 e1 2 的最小值为____________． x2 y 2   1(a  0, b  0) 24．已知双曲线 a 2 b2 的焦点为 F1 , F2 ， P 是双曲线上 一点，且 �F1 PF2   3 .若 F1 PF2 的外接圆和内切圆的半径分别为 R, r ， 且 R  4r ，则双曲线