专题二 指数函数与对数函数（知识串讲） ★★★★必备知识★★★★ 1.根式 (1)概念：式子 n a 叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (2)性质：( n a )n＝a(a 使 n a 有意义)；当 n 为奇数时， n a n ＝a，当 n 为偶数时， n a n ＝| �a, a �0, a|＝ � �a, a  0 2.分数指数幂 n (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 a m ＝ n a m (a>0，m，n∈N*，且 n>1)；正数的 负分数指数幂的意义是 a  n m ＝ 1 n am (a>0，m，n∈N*，且 n>1)；0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中 a>0，b>0，r，s∈Q. 3.指数函数及其性质 (1)概念：函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域 是 R，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点(0，1)，即 x＝0 时，y＝1 当 x>0 时，y>1； 当 x<0 时，y>1； 当 x<0 时，0<y<1 当 x>0 时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 性质 4.对数的概念 如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x＝logaN，其中 a 叫做 对数的底数，N 叫做真数. 5.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：① alogaN＝N；② logaab＝b(a>0，且 a≠1). (2)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga M ＝logaM－logaN； N ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝ n logaM(m，n∈R，且 m≠0). m log a N (3)换底公式：logbN＝ log b (a，b 均大于零且不等于 1). a 6.对数函数及其性质 (1)概念：函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域 是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当 x＝1 时，y＝0，即过定点(1，0) 性质 当 x>1 时，y>0； 当 x>1 时，y<0； 当 0<x<1 时，y<0 当 0<x<1 时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 7.反函数 指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)互为反函数，它们的图 象关于直线 y＝x 对称. 8.函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点. (2)函数零点与方程根的关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零点. (3)零点存在性定理 如 果 函 数 y ＝ f(x) 满 足 ： ① 在 区 间 [a ， b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ； ② f(a)·f(b)<0；则函数 y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这 个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根. 9.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a、b 为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) 与指数函数相关模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0) 与对数函数相关模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0) 与幂函数相关模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n 为常数，a≠0) ★★★★常用结论★★★★ 1.画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点： (1，a)，(0，1)， � 1� 1， �. � � a� 2.在第一象限内，指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象越高，底数越大. 3.换底公式的两个重要结论 1 n (1)logab＝ log a ；(2)logambn＝ logab. m b 其中 a>0，且 a≠1，b>0，且 b≠1，m，n∈R. 4.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. �1 �  1�，函数 5.对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)， � ， �a � 图象只在第一、四象限. 6.若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点.函数的零点不 是一个“点”，而是方程 f(x)＝0 的实根. 7.由函数 y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出 f(a)·f(b)<0， 如图所示，所以 f(a)·f(b)<0 是 y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 8.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增 加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢. 9.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果 对实际问题的合理性. ★★★★典型例题★★★★ 考点一　指数幂的运算 【例 1】 化简下列各式： 3 0 1 �1 � � 1 � 3 (1 � �  � � 27 ； �2 � �6 2 � 1 3 (2) 0.027 3  4 2  2( 3  2) 0  51 . 1 3 3 【解析】(1)原式＝ 2  1   3 3 (2)原式＝   (0.3) 1 3 3 3 2 2   2    8 1 3  6 2 1 5  0.3  8  2  0.2  6.5 . 规律方法　1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则 计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练 1】 化简下列各式： 1  1 2 9� 0 �8 �3 (1) � � �   8.6   � � �4 � �27 �  1 1 1 �2 3 2 4 (2) �  8  625 �� �4 � 【解析】  1 2 1 3 3 � 3 �3 � �2 �� 3 (1)原式= [� �]2  1  � � ��   1   1 2 �2 � �3 �� 2 � (2) 原式   lg 5  lg 2   lg 5  lg 2   lg 4  lg 5  lg 2  2 lg 2  lg 5  lg 2  1 ． 考点二　指数函数的图象及应用 【例 2】（2020·上海高一课时练习）若函数 围是( A． y  2x  m 的图像不经过第二象限，则 m 的取值范 ) m �1 B． m 1 C． m  1 D． m �1 【答案】D 【解析】指数函数 y  2 过点 x ( 0,1) ,则函数 y  2 x  m 过点  0,1  m  , 若图像不经过第二象限,则 1  m �0 , 即 m �1 ,故选：D 2．（2020·上海高一课时练习）函数 可能是( A． y  ax 和 y  a( x  1) ) B． （其中 a  0 且 a �1 ）的大致图象只 C． D． 【答案】C 【解析】由于 y  a( x  1) 过点 当 a  1 时， y  a 过 x  1, 0  ，故 D 选项错误.  0,1 且单调递增； y  a( x  1) 过点  1, 0  且单调递增，过  0, a  且 a  1 .所 以 A 选项错误. 当 0  a  1 时， y  a 过 x 0  a 1  0,1 且单调递减， y  a( x  1) 过点  1, 0  且单调递增，过  0, a  且 .所以 B 选项错误. 综上所述，正确的选项为 C.故选：C 规律方法　1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手， 通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意 分类讨论. 2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. 【训练 2】 (1)函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的 是(　　) A.a>1，b<0 B.a>1，b>0 C.0<a<1，b>0 D.0<a<1，b<0 (2)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值范围是________. 解析　(1)由 f(x)＝ax－b 的图象可以观察出，函数 f(x)＝ax－b 在定义域上单调递减，所以 0<a<1. 函数 f(x)＝ax－b 的图象是在 f(x)＝ax 的基础上向左平移得到的，所以 b<0. (2)画出曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所示. 由图象得|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b∈[－1，1]. 答案　(1)D　(2)[－1，1] 考点三　指数函数的性质及应用　 角度 1　指数函数的单调性 多维探究 【例 3－1】 (1)下列各式比较大小正确的是(　　) A.1.72.5>1.73 B.0.6－1>0.62 C.0.8－0.1>1.250.2 D.1.70.3<0.93.1 x � �1 � � � � 7, x  0, �2 � (2)设函数 f(x)＝ � 若 f(a)<1，则实数 a 的取值范围是________. � � x , x �0, 解析　(1)A 中，∵函数 y＝1.7x 在 R 上