第三讲 平面向量基本定理及坐标表示 平面向量基本定理 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量基本定理及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 平面向量数乘运算的坐标表示 平面向量数量积的坐标表示 专题一 平面向量基本定理 探究一：我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以 分解为两个力，思考一个力能分解为多少组不同方向、不同大小的分力呢？ 1. 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且 只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2 若 e1，e2 不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (1)e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，{e1，e2}的选取不唯一，即一个平面可以有多 个基底． (2)基底{e1，e2}确定后，实数 λ1，λ2 是唯一确定的． 题型 1 平面向量基本定理的概念 例 1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)基底中的向量不能为零向量．(　　) (2)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．(　　) (3)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.　(　　) (4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底 唯一表示．(　　) 练习 1. 设 e1 ，e2 是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是 ( ) A．2e1，3e2　　　　　　　　　 B．e1＋e2，3e1＋3e2 C．e1，5e2 D．e1，e1＋e2 例 2.若 AD 是△ABC 的中线，已知AB＝a，AC＝b，则以{a，b}为基底表示AD＝(　　) A.(a－b) B.(a＋b) C.(b－a) D.b＋a 专题二 平面向量的坐标表示 1.平面向量的正交分解 2．平面向量的坐标运算 (1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则 ①a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)； ②a－b＝(x1－x2，y1－y2)； ③λa＝(λx1，λy1)． (2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 题型 2 向量的坐标运算 例 3.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点的坐标与向量的坐标相同．(　　) (2)零向量的坐标是(0，0)．(　　) (3)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　) (4)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　) 例 4.已知 A(3，1)，B(2，－1)，则BA的坐标是(　　) A．(－2，－1)　　　　　　　　 B．(2，1) C．(1，2) D．(－1，－2) 例 5.设 i＝(1，0)，j＝(0，1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则 a＋b 与 a－b 的坐标分别为______ ______． 例 6.已知向量 a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若 c 满足 3a－2b＋c＝0，则 c＝(　　) A．(－23，－12)　　　　　　　 B．(23，12) C．(7，0) D．(－7，0) 3.两向量共线的充要条件 设 a ＝ (x1 ， y1) ， b ＝ (x2 ， y2) ， 其 中 b≠0. 则 a ， b(b≠0) 共 线 的 充 要 条 件 是 x 1⋅y 2 −x 2⋅y 1 =0 ． 题型 3 向量共线的判定 例 7.下列各组的两个向量共线的是(　　) A．a1＝(－2，3)，b1＝(4，6) B．a2＝(1，－2)，b2＝(7，14) C．a3＝(2，3)，b3＝(3，2) D．a4＝(－3，2)，b4＝(6，－4) 例 8.已知 a＝(3，1)，b＝(2，λ)，若 a∥b，则实数 λ 的值为________． 题型 4 三点共线问题 例 9.已知OA＝(3，4)，OB＝(7，12)，OC＝(9，16)，求证：点 A，B，C 共线； 专题三 平面向量数量积的坐标表示 1．平面向量数量积的坐标表示 已知 a＝ ( x 1 , y 1) ，b＝ ( x 2 , y2) ，则 a·b＝ x 1⋅x 2 + y 1⋅y 2 ． 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 2．两个公式、一个充要条件 (1)向量的模长公式：若 a＝(x，y)，则|a|＝． (2)向量的夹角公式：设 a，b 都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， x 1⋅x 2 + y 1⋅y 2 角，则 cos θ ＝＝ √ x 12+ y 12⋅√ x 22+ y 22 ． (3)两个向量垂直的充要条件 设非零向量 a＝ ( x1 , y1) ，b＝ 题型 1 ( x 2 , y2) ，则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． 平面向量数量积坐标表示 例 10.已知 a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则 a·b 的值是(　　) A．23　　　　B．7　　　　C．－23　　　　D．－7 例 11.已知向量 a＝(1，－2)，b＝(x，2)，若 a⊥b，则 x＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．－4 θ 是 a 与 b 的夹 例 12.已知 a＝(，1)，b＝(－，1)，则向量 a，b 的夹角 θ＝______. 例 13.设平面向量 a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若 a∥b 则|3a＋b|等于(　　) A. B. C. D. 课后作业 1．点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是(　　) A.OA，BC　　　　　　　　 B.OA，CD C.AB，CF D.AB，DE 2 ． 已 知 A ， B ， C 的 坐 标 分 别 为 (2 ， － 4) ， (0 ， 6) ， ( － 8 ， 10) ， 则 AB ＋ 2BC ＝ ____________，BC－AC＝____________． 3．已知向量 a＝(－1，2)，b＝(λ，1)．若 a＋b 与 a 平行，则 λ＝(　　) A．－5　　　　　　　 B． C．7 D．－ 4．已知 A，B，C 三点共线，且 A(－3，6)，B(－5，2)，若 C 点的纵坐标为 6，则 C 点的横 坐标为(　　) A．－3　　　　　　　　　 B．9 C．－9 D．3 r r r r a  (  2, 3), b  (1, 3) ，则 a 在 b 方向上的投影为_________. 5．已知 6．已知向量 a＝(2，0)，a－b＝(3，1)，则下列结论正确的是(　　) A．a·b＝2　　　　　　　　 B．a∥b C．b⊥(a＋b) D．|a|＝|b|