5.1.2 弧度制-【新教材】人教 A 版（2019）高中数学必 修第一册同步练习（含解析） 一、单选题 1. −300 ° 化为弧度是 () 4π A. − 3 2. 4. π rad 6 π B. − 6 rad C. π rad 12 π D. − 12 rad A. 弦长相等 B. 弧长相等 C. 弦长等于所在圆的半径 D. 弧长等于所在圆的半径 8π ¿ 5 化为角度是 ¿ 角 − 集合 {α ∨kπ + 是 () ¿ B. 280 ° 29 π ¿ 12 的终边所在的象限是 ¿ A. 第一象限 6. 7π D. − 6 在圆中 1rad 的圆心角所对的 () A. 270 ° 5. 7π C. − 4 经过一小时，时针转过了 () A. 3. 5π B. − 3 B. 第二象限 C. 288 ° D. 318 ° ¿ C. 第三象限 D. 第四象限 π π ≤α ≤ kπ + , k ∈ Z } 中的角所表示的范围 ¿¿ 阴影部分 ¿ 4 2 7. A. B. C. D. 下列各对角中，终边相同的角是 () A. − 8. 20 π 87 π ， 3 9 3π 2 C. 3π 2 ， 7π 25 π D. − 9 ， − 9 若 α 是第二象限角，则 π − α 是 () A. 第一象限角 9. π 22 π B. − 3 ， 3 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 下列各组角终边相同的是 () π kπ A. kπ + 2 与 2 ， k ∈ Z π kπ B. kπ ± 3 与 3 ， k ∈ Z π π C. kπ + 6 与 2 kπ ± 6 ， k ∈ Z D. (2 k +1) π 与 (4 k +1) π ， k ∈Z 10. 《 九章算术 》 是我国古代的数学名著，其中卷一 《 方田 》 记载： “今有宛田，下周八步，径四步．问为田几何？”译成现代汉语：有一块扇形的田， 弧长 8 步，其所在圆的直径是 4 步，则这块田的面积是 () A. 8 平方步 B. 6 平方步 C. 4 平方步 D. 16 平方步 二、多选题 11. 下列各组角中，终边相同的角是 () A. π π 和 − +2 kπ ( k ∈ Z) 2 2 7π 11 π C. − 9 和 9 π 22 π B. − 3 和 3 D. 20 π 34 π 和 − 9 9 三、填空题 12. 半径为 2，圆心角为 π 6 的扇形的面积是________． 13. 如图所示，点 A，B，C 是圆 O 上的点，且 AB=4 ， ∠ ACB= ⌢ π ，则劣弧 AB 的长为________． 6 14. 若三角形三内角之比为 4 ︰ 5 ︰6 ，则三内角的弧度分别 是 ． 15. 终边在坐标轴上的角的集合为________． 16. 已知集合 A={α ∨2 kπ ≤ α ≤(2 k +1)π , k ∈ Z } ， B={α ∨−5 ≤ α ≤5 } ， 则 A ∩B=¿ ________． 17. 已知两角和为 1 弧度，且两角差为 1° ，则这两个角的弧度分别是________． 四、解答题 18. 扇形 AOB 的周长为 10 cm ． (1) 若这个扇形的面积为 4 c m2 ，求扇形圆心角的弧度数； (2) 求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长． 19. 圆 O 的半径为 1，P 为圆周上一点，现将如图所示放置的边长 ¿ 为 1 的正方形 ¿ 实线所示，正方形的顶点 A 与点 P 重合 ¿ 沿圆周按逆时针方向滚动，点 A 第一次回到点 P 的位置 时．求点 A 走过的路径的长度． ¿ 20. 某公司拟设计一个扇环形状的花坛 ¿ 如图 ¿ ，该扇环是由以点 O 为圆心的两 个同心圆弧和延长后通过点 O 的两条线段围成．设弧 AB，弧 CD 所在圆的半径分 别为 r 1 m ， r 2 m ，圆心角为 θ ． 2π r =3 ， r 2=6 ，求花坛的面积． (1) 若 θ= 3 ， 1 (2) 根据要求，扇环形状的花坛面积为 32 m2 ，已知扇环花坛的直线部分的 装饰费用为 45 元 ¿ m ，弧线部分的装饰费用为 90 元 ¿ m ，求当装饰费用最 低时线段 AD 的长． 答案和解析 1.【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查了角度制与弧度制之间的互换，属于基础题． 利用 进行求解． 【解答】 解： ． 故选 B． 2.【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查了任意角的概念，考查了角度与弧度的换算关系，是基础题． 由时针按顺时针旋转，可知旋转角为负角，再由 12 小时旋转 −2 πrad 求得经过 1 小时转过的弧度数． 【解答】 解： ∵ 时针按顺时针方向旋转，12 小时转 −2 πrad ， ∴ 经过 1 小时，时针转过了 ． 故选 B． 3.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查弧度制的概念及其应用，根据弧度制的定义进行求解即可． 【解答】 解：由弧度制的定义，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为 1 弧度的角， 所以 1rad 的圆心角所对的弧长等于所在圆的半径． 4.【答案】C 【解析】 【分析】 本题主要考查了弧度制与角度制的互化，属于基础题． 利用 进行求解． 【解答】 解： ． 故选 C． 5.【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了象限角、轴线角的相关知识，试题难度容易 【解答】解： − 29 π 19 π =− 4 π + 12 12 ， 19 π 12 的终边位于第四象限． 6.【答案】C 【解析】 【分析】本题考查终边相同的角，象限角，属于基础题． 分 k 为奇数和偶数两种情况，再结合终边相同的角的表示，即可得出结论． 【解答】解：当 k =2m ， 即为 m∈ Z 时，集合 ， ¿ 此时集合对应的区域为第一象限内直线 y=x 左上部分 ¿ 包含边界 ¿ ； ， 当 k =2m+1 ， m∈ Z 时，集合 即为 ， ， ¿ 此时集合对应的区域为第三象限内直线 y=x 的右下部分 ¿ 包含边界 ¿ ． 故选 C． 7.【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了终边相同的角，属于基础题 . 利用终边相同的角相差 2 kπ (k ∈ Z ) 进行求解． 【解答】 解：A 错， 20 π 2π 87 π π =6 π + =10 π − 3 3 ， 9 3 ，终边不相同； B 错， 22 4 π π =6 π + π ，其终边与 − 3 3 3 的终边不同； C 错， 3π 3π − 2 的终边在 y 轴的负半轴上，而 2 的终边在 y 轴的正半轴上，所以 终边不相同； D 正确，因为 − 25 π 7π 7π 25 π =− 2 π − ，所以 − 和 − 9 9 9 9 的终边相同． 8.【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查了象限角的概念，属于基础题． 根据 −α 的象限角与 α 的象限角关于 x 轴对称， −α + π 表示在 −α 角终边 的基础上再逆时针旋转 π 后所在的象限即可求解． 【解答】 解： ∵α 为第二象限角， ， ， ， 所以 π − α 是第一象限角 ， 故选 A． 9.【答案】D 【解析】 【分析】 本题主要考查了终边相同的角的概念与表示，属于中档题． 分别指出每对角的终边是否相同解答． 【解答】 解：因为是 kπ + π kπ k ∈ Z 表示终边在 y 轴上的角， k ∈ Z 表示终边 2 ， 2 ， 在坐标轴上的角，故 A 错误； 因为 kπ ± π π kπ k∈ Z表 ， k ∈ Z 表示终边在 ± 所在直线上的角， 3 3 3 ， 示终边在 ± kπ + π 3 所在直线上的角以及 x 轴上的角，故 B 错误； π π π 2 kπ ± k ∈ Z 表示终边在 k ∈ Z 表示 6 ， 6 所在直线上的角， 6 ， 终边与 ± π (2 k +1)π ， k ∈ Z 表示终边在 x 轴负半轴 6 相同的角，故 C 错误； 上的角， (4 k ±1)π ， k ∈ Z 表示与 ± π 终边相同的角，故 D 正确． 故选 D． 10.【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查了扇形的面积计算，涉及弧长公式，属于基础题． 根据弧长与直径求得扇形中心角 α ，再根据扇形面积公式即可求解． 【解答】 解：因为弧长 8 步，其所在圆的直径是 4 步， ¿ 8 1 α = =4 所以扇形的中心角 弧度，所以由题意可得： S= × 4 × 22=8 ¿ 平方步 2 2 ¿ 故选 A． 11.【答案】CD 【解析】 【分析】 本题考查终边相同的角的概念，属于基础题． 利用终边相同的角的概念对选项逐一判断即可． 【解答】 解：对于 A， π 2 的终边在 y 轴非负半轴上， 的终边在 y 轴的非正 半轴上，故选项 A 不是； 对于 B， 与 终边相同在第三象限， − π 3 的终边在第四象限，故 选项 B 不是； 7π 11 π 和 9 9 是终边相同的角，故选项 C 是； 对于 C， ， ∴− 对于 D， 终边在第一象限， 项 D 是． 故选 CD． 终边在第一象限，故选 π 12.【答案】 3 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式与扇形面积公式的相关知识，试题难度容易 【解答】解：由扇形的面积公式得到 故答案为 ． ． 13.【答案】 4π 3 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式与扇形面积公式的相关知识，试题难度较易 【解答】 解：如图，连接 AO，OB， 因为 ∠ ACB= π 6 ， 所以 ∠ AOB= π 3 ． 又 OA=OB ， 所以 △ AOB 为等边三角形， ⏜ π 4π × 4= 故圆 O 的半径 r= AB=4 ，劣弧 AB 的长为 3 3 ． 4π π 2π 14.【答案】 15 ， 3 ， 5 【解析】 【分析】 本题考查弧度制，三角形的内角和，是基础题． 由三角形内角和定理求出三个角的弧度数． 【解答】 解：设三角形的三个内角的弧度分别为 4x，5x，6x，则有 4 x +5 x +6 x=π ，解得 x= π 15 ． 所以三内角的弧度分别为 4 x = 故答案为 4π π 2π ， 5 x= ， 6 x= 15 3 5 ． 4π π 2π 15 ， 3 ， 5 nπ 15.【答案】 {α ∨α= 2 , n∈ Z