5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（二）-【新教材】人 教 A 版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解 析） 一．单选题 1. 函数 y=cos 2 x 在下列哪个区间上是减函数 () A. 2. 3. [ − π π , 4 4 ] π 3π , 4 4 ] 下列函数中，周期为 π ，且在 ( A. y=sin 2 x + C. y=sin x+ π 2 C. [ ] ) ( π2 ) π π , 4 2 [ ] 0, π 2 D. [ ] ¿ ¿ ¿ 上为减函数的是 ( B. y=cos 2 x+ D. y=cos x + π 2 π ,π 2 ) ( π2 ) 使 y=sinx 和 y=cosx 均为减函数的一个区间是 () π A. (0, 2 ) 4. [ B. π B. ( 2 , π ) 设函数 f ( x)=cos(x + 3π C. (π , 2 ) 3π D. ( 2 ,2 π) π ) () 3 ，则下列结论错误的是 A. f ( x) 的一个周期为 −2 π B. 8π y=f ( x) 的图象关于直线 x= 3 对称 π C. f (x+ π ) 的一个零点为 x= 6 π D. f ( x) 在 ( 2 , π ) 单调递减 5. 函数 y=2 sin ( π6 x − π3 ) (0 ≤ x ≤9) A. 2− ❑√3 6. B. 0 ( 函数 y=sin 2 x + 5π 2 ) ¿ 的最大值与最小值之和为 ¿ C. −1 ¿ D. −1 − ❑√ 3 ¿ 的图象的对称轴可以是直线 ¿ ¿ x=− A. 7. β> α x=− π 4 C. x= π 8 D. x= 5π 4 π B. α + β> 2 π C. α + β< 2 D. β< α 2 函数 f (x)=sin x +cosx −1 的值域为 () 1 A. [− 2, 4 ] 9. B. 已知 α ， β 是锐角，且 cosα >sinβ ，则 α ， β 满足 ( ) A. 8. π 2 1 B. [0, 4 ] 1 1 C. [− 4 , 4 ] 1 D. [− 1, 4 ] 已知函数 y=2 cos x (0 ≤ x ≤ 2 π ) 的图像和直线 y=2 围成了一个封闭的平面 图形，则这个封闭图形的面积为 () A. 4 C. 2 π B. 8 D. 4 π 10. 已知函数 y=cos (2 ωx +φ)(ω >0) 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π ω 的值是 ¿¿ 2 ，则 A. 1 2 ¿ B. 1 C. 2 D. 3 二．多选题 11. 已知函数 g( x)=cos (x − A. ( C. π )+1 ，则下列结论正确的是 3 π g( x) 的图象关于直线 x= 3 对称 B. g( x) 的图象关于点 D. 7π ) g(x) 在区间 (0, 6 5π ,0) 对称 6 π π g( x) 在区间 (− , ) 上单调递增 6 6 上有两个零点 12. 下列几个式子不正确的是 () A. cos 1<cos 2 三．填空题 B. sin 1<sin 2 C. sin 1<cos 1 D. sin 2<cos 2 13. 设函数 f ( x)=sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|< π ) 2 ，给出以下四个论断： ① 它的最小正周期为 π ； π ② 它的图象关于直线 x= 12 成轴对称图形； π ③ 它的图象关于点 ( , 0) 成中心对称图形； 3 ④ 在区间 ¿ 上是增函数． 以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题___ ¿ _____ ¿ 用序号表示即可 ¿ ． 3 1 14. 已知函数 y=a+bcosx 的最大值是 2 ，最小值是 − 2 ，则 a=¿ b=¿ ， ． π 15. 函数 y=2 sin 6 − 2 x +1( x ∈[0, π ]) 的单调递增区间为________． ( π 16. 函数 y=sin 2 x + 3 ( ) ) 的图象的对称中心为________． 2 17. 已知方程 cos x+ 4 sinx − a=0 在 x ∈[0, π ] 时有解，求实数 a 的取值范围__ ______． 三．解答题 1 π 18. 已知函数 f (x)=2 cos ( 2 x − 3 ) ． (1) 求函数 f (x) 的单调递减区间． (2) 若 x ∈[− π , π ] ，求 f (x) 的最大值和最小值． π 1 19. 已知函数 f ( x )=sin 2 ωx − 6 + 2 (ω> 0) 的最小正周期为 π ． ( ) (1) 求 ω 的值； 2π ] 上的取值范围． (2) 求函数 f ( x) 在区间 [0, 3 | ( )| π 20. 已知函数 f (x)=sin (2 x + φ) ，其中 φ ∈[− π , π ] ，若 f (x) ≤ f 6 意 x ∈ R 恒成立，且 f 间． ( π2 )> f (π ) 对任 ，求函数 f (x) 的解析式与单调递减区 答案和解析 1.【答案】C 【解析】 【分析】 本题主要考查的是三角函数的单调性，属于基础题． 结合余弦函数的单调性及复合函数的单调性求解即可． 【解答】 解：因为函数 y=cos x 在 [0, π ] 上是减函数， 所以函数 y=cos 2 x 在 [ ] 0, π 2 上是减函数， 故选 C． 2.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查正余弦函数，以及三角函数 y= Asin(ωx +φ) 的图象和性质属于基础题， 可直接利用相关定义和正余弦函数单调性以及单调区间进行作答． 【解答】 解：考虑函数周期为 T =π ，于是对形如 y= Asin(ωx +φ) 的三角函数，必有 又 时，有 又因为正弦函数 y=sin t 在区间 ，因此排除选 C、D， ， 上单调递减，于是选项 A 符合题意， 余弦函数 y=cos t 在区间 上单调递增，故选项 B 错误． 故本题选项为 A． 3.【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查了正余弦函数的单调区间，属于基础题． 先写出正余弦函数的单调递减区间，再求它们在 上的交集即可． 【解答】 解： ∵ 正弦函数的单调递减区间为 ， 余弦函数的单调递减区间为 ， ∴ 当 k =0 时可利用交集求得正余弦函数的一个单调递减区间为 ， 故选 B． 4.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查函数 y= Acos(ωx+ φ) 的图象与性质，属于中档题． 根据 y= Acos( ωx+ φ) 的图象与性质，对各选项逐一分析，即可得到答案． 【解答】 解： A . 最小正周期 T = 2π =2 π ，则 kT ( k ∈ Z , k ≠ 0 ) 也是 f (x) 的周期， ω 故 −2 π 是 f (x) 的一个周期． B.把 x= 8π 8π 8π =−1 ，故直线 x= 代入函数解析式，得 f 3 3 为 3 ( ) y=f ( x ) 图像的对称轴． C. f ( π6 +π )=cos( π6 + π + π3 )=0 ，所以 x= D.原函数相当于 y=cos x 的图像左移 ( π2 , π ) π f ( x + π ) 的一个零点． 6 为 π 3 个单位长度后所得图像对应的函数，在 上先减后增，故错误． 故选 D 5.【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数 y= Asin(ωx +φ) 的图象与性质的相关知识，试题难度一 般 【解答】 解：因为 0 ≤ x ≤ 9 ， π π x≤9× 6 6 ， 所以 0 ≤ 所以 − 所以 − π π π 7π ≤ x− ≤ 3 6 3 6 ， ❑ √3 ⩽sin( π x − π ) ⩽1 ， ( π6 x − π3 ) ≤ 2 ． 2 ❑ 所以 − √ 3≤ 2 sin 6 所以函数 y=2 sin 6.【答案】A 【解析】 3 ( π6 x − π3 ) (0 ≤ x ≤9) ❑ 的最大值与最小值之和为 2− √ 3 ． 【分析】 本题主要考查了三角函数的对称性，诱导公式，属于基础题． 利用诱导公式得出 y=cos 2 x ，即可得出函数的对称轴． 【解答】 解： y=sin (2 x + 令 5π )=cos 2 x 2 ，则 ． 只有选项 A 符合题意， 故选 A． 7.【答案】C 【解析】 【分析】 本题主要考查了三角函数的单调性以及诱导公式，属于基础题． 首先利用诱导公式得出 得出 ，再利用正弦函数在锐角范围内是增函数 ，即可得出选项． 【解答】 解：因为 cosα >sinβ ， 所以 ， 因为 y=sinx 在 所以 故选 C． 8.【答案】A 【解析】 上是增函数， ，则 α + β< π 2 ． 【分析】 本题考查的知识要点：同角三角函数的基本关系，余弦函数的性质的应用，属于基础 题型． 首先利用同角三角函数基本关系化简 f (x) 解析式，结合余弦函数和二次函数的性 质最后确定函数的值域． 【解答】 2 解：函数 f (x)=sin x +cosx −1 ¿ 1− cos2 x+ cosx− 1=− cos2 x+ cosx 1 1 cosx − ¿2 + 2 4 ， ¿−¿ 因为 cosx ∈[− 1,1] ， 1 x ¿ max= 1 cosx= 4 ， 当 2 时， f¿ 当 cosx=−1 时， x ¿ min=− 2 ， f¿ 所以函数 f (x) 的值域为 [− 2, 1 ]. 4 故选：A． 9.【答案】D 【解析】 【分析】本题考查余弦函数性质，属于基础题． 由余弦函数的图像关于点 ( π 3π , 0) 和点 ( ,0) 成中心对称，可得 2 2 y=2 cosx ( 0≤ x ≤ 2 π ) 的图像和直线 y=2 围成的封闭图形的面积为 2 π ×2=4 π ． 【解答】解：由余弦函数的图像关于点 ( π 3π , 0) 和点 ( ,0) 成中心对称， 2 2 可得 y=2 cos x (0 ≤ x ≤ 2 π ) 的图像和直线 y=2 围成的封闭图形的面积为 2 π ×2=4 π ． 10.【答案】B