4.5 函数的应用（二)——能力提升 （共 24 题） 一、选择题（共 14 题） y=1+ 1. 函数 A． 1 x 的零点是 ( −1,0 ) B． () −1 C． 1 D． 2 f ( x )=2 x − − a 的一个零点在区间 ( 1,2 ) 内，则实数 a x 2. 若函数 A． ( 1,3 ) B． ( 1,2 ) C． ( 0,3 ) f ( x )=2 x − 1 的零点是 () 1 A． 2 B． 2 0 的取值范围是 () D． ( 0,2 ) 3. 函数 4. 用二分法研究函数 f ( x )=x 5 +8 x 3 −1 C． − D． 的零点时，第一次经过计算得 中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为 ( 0,0.5 ) ， f ( 0.125 ) C． ( 0.5,1 ) ， f ( 0.75 ) 1 2 −2 f ( 0 )< 0 ， f ( 0.5 )> 0 ，则其 () ( 0.5,1 ) ， f ( 0.25 ) D． ( 0,0.5 ) ， f ( 0.25 ) 5. 下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是 ( ) A． A． B． f ( x )=ln x − 6. 函数 B． 2 x C． 的零点所在的大致区间的 D． () ( 1,2 ) B． ( 2,3 ) C． ( e , 3 ) D． ( e ,+ ∞ ) 7. 函数 f ( x )=ln x + x − 3 的零点所在区间是 ( ) A． ( 0,1 ) B． ( 1,2 ) C． ( 2,3 ) D． ( 3,4 ) 1 8. 已知 f ( x )= − ln x 在区间 ( 1,2 ) 内有一个零点 x 0 ，若用二分法求 x 0 的近似值（精确度为 x A． 0.2 )，则最少需要将区间等分的次数为 () A． 3 B． 4 C． 5 2 ❑ 2 9. 设 k 是实数，关于 x 的方程 x −2 √ 3 kx+3 k =0 A．有两个不相等的实根 C．没有实根 6 的根的情况是 () D． B．有两个相等的实根 D．与实数 k 的具体取值有关 10. 某 种 计 算 机 病 毒 是 通 过 电 子 邮 件 进 行 传 播 的 ， 下 表 是 某 公 司 前 5 天监测到的数据： 则下列函数模型中，能较好地反映计算机在第 x y 天被感染的数量 A． C． x 与 之间的关系的是 () y=10 x B． y=5 x 2 − 5 x +10 y=10 log 2 x+ 10 D． y=5 ×2 x f ( x )=x 2 + x+ 3 的零点的个数是 () 11. 函数 A． 0 1 B． 12. 下列图象表示的函数中没有零点的是 A． B． C． D． C． 2 D． 3 () 360 千克，如果该乡镇人口平均每年增长 1.2 ，粮食总产量平均每 年后，若人均一年占有粮食 y 千克，则 y 关于 x 的解析式为 13. 某乡镇现在人均一年占有粮食 4 ，那么 年增长 x () A． y=360 × ( x 1.04 −1 1.012 ) B． y=360 ×1. 04 x x 1.04 360 ×1. 04 x D． y=360 × 1.012 1.012 14. 用二分法求函数 y=f ( x ) 在区间 ( 2,4 ) 上的唯一零点的近似值时，验证 C． ( 2,4 ) 的中点 A． ( y= x 1= ( 2,4 ) ) 2+ 4 =3 ，计算得 f ( 2 ) ⋅f ( x 1 ) <0 ，则此时零点 2 B． ( 2,3 ) 二、填空题（共 6 题） 15. 常见函数模型 （ 1 ）一次函数模型： （ 2 ）二次函数模型： ( k ≠ 0) ； ( a ≠ 0) ； C． ( 3,4 ) f ( 2 ) ⋅f ( 4 ) <0 ，取区间 x 0 所在的区间是 () D．无法确定 （ 3 ）反比例函数模型： (k ≠ 0) ； f (x), ¿ x∈ I1 g( x) , （ 4 ）分段函数模型： x∈ I2 ⋯⋯. ¿ ¿ y =¿ 16. 在用二分法求方程 3 x −2 x − 1=0 步可断定该根所在区间为 的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间 f (x) 的 部 分 对 应 值 如 表 所 示 ， x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f ( x ) 有零点的区间是 f ( x ) 11 7 −2 1 6 3 − 4 −3 −2 则函数 f (x) 18. 用二分法求图象连续不断的函数 ( 1,5 ) 的中点 x0 ∈ 则此时零点 在区间 x 1= [ 1,5 ] 上的近似解，验证 1+5 =3 ，计算得 2 ． f ( 1 ) ⋅f ( 5 ) <0 ，给定精度 f ( 1 ) ⋅f ( x 1 ) <0 ， f ( x 1 ) ⋅ f ( 5 ) >0 ， ．（填区间） 19. 函数 f ( x )=x −1 的零点为 20. 已知 λ ∈ R ，函数 值范围是 内，则下一 ． 17. 图 象 为 一 条 连 续 的 曲 线 的 函 数 ɛ=0.01 ，取区间 [ 1,2 ] f ( x )= ． { x −4, x ≥λ ，若函数 x − 4 x +3, x< λ 2 f (x) 恰有 2 个零点，则 λ 的取 ． 三、解答题（共 4 题） 21. 已知函数 f ( x )=∣ x 2 −2 x ∣− a ，求满足下列条件时 a 的取值范围． f ( x ) 没有零点； (2) 函数 f ( x ) 有两个零点； (3) 函数 f ( x ) 有三个零点； (1) 函数 (4) 函数 f ( x ) 有四个零点． 22. 用二分法求方程的近似解 （ 1 ）二分法：对于区间 y=f ( x ) [ a , b] 上连续不断且 f ( a ) f ( b ) <0 （ 2 ）用二分法求函数零点的近似值的步骤： ② 求区间 y=f ( x ) ，通过每次把 的零点所在的区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的 近似值的方法叫做二分法． ① 确定区间 的函数 [ a , b] ，验证 ( a , b ) 的中点 f ( a ) f ( b ) <0 ，给定精确度 ɛ ； x1 ， a．若 f ( x 1 )=0 ，则 b．若 f ( a ) ⋅ f ( x1 ) < 0 ，则令 b=x1 （此时零点 x 0 ∈ ( a , x1 ) ）； c．若 f ( x 1 ) ⋅ f ( b )< 0 ，则令 a=x1 （此时零点 x 0 ∈ ( x1 , b ) ）； d．判断是否达到精确度 若 x 1 就是函数的零点； ɛ ． ∣a − b ∣<ɛ ，则得到零点的近似值 a （或 b ），否则重复 b ∼d ，直到达到精确度要求为 止． 二分法能求所有的零点吗？ x （百台），总成本为 C ( x ) （万元），其中固定成本为 2 万元，每生产 1 百台成本增加 1 万元，销售收入为 R ( x ) （万元）．且 R ( x ) 与 x 之间的函数关系式 23. 某厂生产某种产品 为： R ( x ) = { 4 x− 1 2 1 x − , 0≤x ≤4 2 2 ． 7.5, x>4 假定该产品产销平衡． (1) 该厂若要不亏本，产量 x 应控制在什么范围内？ (2) 生产多少台时，可使利润最大？ (3) 求利润最大时产品的售价（保留三位有效数字）． 24. 根据函数 f ( x ) 在 [ −4,4 ] 上的图象，确定方程 f ( x )=0 的根的个数． 答案 一、选择题（共 14 题） 1. B 2. C 3. B 4. D 5. C 6. B 7. C 8. A 9. B 10. D 11. A 12. A 13. D 14. B 二、填空题（共 6 题） 15. y=kx+ b ； y=a x 2 +bx +c 17. 3 ( , 2) 2 (2,3) ， (3,4) ， (6,7) 18. (1,3) 19. x=1 20. ¿ ∪( 4,+ ∞) 16. ； y= k x 三、解答题（共 4 题） 21. (1) 设 函数 g ( x ) =∣ x 2 − 2 x ∣ ， y=a ，作出它们的图象，如图所示． f ( x ) 没有零点，即直线 a< 0 ． y=a 与 g ( x ) =∣ x 2 − 2 x ∣ 的图象没有交点，观察图象可知，此时 (2) 函数 f ( x) 知，此时 a=0 或 a>1 ． (3) 函数 f ( x) 知，此时 a=1 ． (4) 函数 f ( x) 知，此时 0<a<1 ． 有两个零点，即直线 有三个零点，即直线 有四个零点，即直线 y=a 与 g ( x ) =∣ x 2 − 2 x ∣ 的图象有两个交点，观察图象可 y=a 与 g ( x ) =∣ x 2 − 2 x ∣ 的图象有三个交点，观察图象可 y=a 与 g ( x ) =∣ x 2 − 2 x ∣ 的图象有四个交点，观察图象可 22. 二分法只能求变号零点，也就是零点邻近的左右两边的函数值正负相反； 不能求零点附近左右两侧函数值的符号相同的零点． 23. (1) 由题意，成本函数为 设利润为 C ( x )=2+ x ， L ( x ) （万元）， 则利润函数为 { 2 L ( x )=R ( x ) −C ( x )= 3 x − 0.5 x −2.5, 0≤ x ≤ 4 5.5− x . x>4 L ( x ) ≥ 0 ，分段解不等式 L ( x ) ≥ 0 ，得 1≤ x ≤ 5.5 ． 故要不亏本，产量 x 应控制在 1≤ x ≤ 5.5 的范围内． (2) 当 0 ≤ x ≤ 4 时，从二次函数 L ( x ) 的性质可知： b 当 x=− 2 a =3 时，函数取得最大值 Lmax =2 ； 当 x> 4 时， L ( x )=5.5 − x<5.5 − 4=1.5 ． 所以取 x=3 ，即生产 300 台时，可使利润最大． (3) 由（ 2 ）知当 x=3 时，利润最大，设售价为 P ． R ( 3 ) L ( 3 )