2021-2022 学年高二数学（人教 A 版 2019 选择性必修一） 3.1.2 椭圆的简单几何性质 同步课时训练 一、单选题。本大题共 8 小题，每小题只有一个选项符合题意。 x2 y 2 x2 y2  1   k (k  0) 1．曲线 16 9 与曲线 16 9 的（ ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 x2 y2 2．若直线 mx+ny=4 和圆 x2+y2=4 没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆 9 + 4 =1 的交点的个数为（ ） A．0 或 1 B．2 C．1 D．0 x2 y 2 x2 y 2 x2 y2   1 a  b  0  2  1 a  b  0      1 2 b 3．已知椭圆 a 2 b 2 与椭圆 25 16 有相同的长轴，椭圆 a 的短轴长与 y2 x2  1 21 9 的短轴长相等，则（ A． a 2  15 ， b 2  16 ） B． 2 2 C． a  25 ， b  9 a2  9 ， b 2  25 2 2 2 2 D． a  25 ， b  9 或 a  9 ， b  25 4．德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦 点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比为 29 : 30 ，那么地球运行轨道所在椭 圆的离心率是（ ） 2 B． 59 1 A． 59 29 C． 59 30 D． 59 x2 y2   1 b  0  5．已知直线 y  kx  1 k �R  与焦点在 x 轴上的椭圆 4 b 2 总有公共点，则实数 b 的取值范围 是（ ） A．  1, 2  B．  1, � C．  1, � x2 y2  1 2 6．若直线 y  kx  2 与椭圆 3 相切，则斜率 k 的值是（ 6 A． 3 B．  D． ） 6 C．± 3 6 3  1, 2  3 D．± 3 x2 y2  1 7．已知 F 是椭圆 25 9 的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积的最大值为（ A．6 B．15 C．20 ） D．12 x2 y2 1  2  1(a  b  0) e 2 a b 2 ，左焦点为 F ， A ， B ， C 分别为左顶点、上顶 8．如图所示，椭圆 的离心率 点和下顶点，直线 CF 与 AB 交于点 D ，则 tan �ADF 的值为（ A． 3 3 3 C． 5 B． 3 3 ） D．  3 5 二、多选题。本大题共 4 小题，每小题有两项或以上符合题意。 x2 y2  3 ＝1 的右焦点为 F，直线 y＝m（0＜m＜ 3 ）与椭圆交于 A，B 两点，下列结论正确为 9．设椭圆 9 （ ） A．|AF|+|BF|为定值 B．△ABF 的周长的取值范围是[6，12] 3 C．当 m＝ 2 时，△ABF 为直角三角形 D．当 m＝1 时，△ABF 的面积为 6 ． 5 1 10．黄金分割比例 2 具有严格的比例性、艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值．这一比值能够 引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例．我们把离心率 下说法正确的是（ e 5 1 2 的椭圆称为“黄金椭圆”，则以 ） x2 y2  1 A．椭圆 2 5  1 是“黄金椭圆” x2 y2  2  1(a  b  0) 2 2 b B．若椭圆 a 的右焦点为 F  c, 0  ，且满足 b  ac ，则该椭圆为“黄金椭圆” x2 y2  2  1(a  b  0) 2 b C．设椭圆 a 的左焦点为 F，上顶点为 B，右顶点为 A，若 �ABF  90�，则该椭圆为“黄 金椭圆” x2 y2  2  1(a  b  0) 2 b D．设椭圆 a 的左、右顶点分别是 A，B，左、右焦点分别是 F1 ， F2 ，若 2 F1 F2  AF1 �F1 B ，则该椭圆为“黄金椭圆” 11．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的 长半轴长分别为 A． a1 和 a2 a1  c1  2  a2  c2  C． e1  e2  1 2 e1 e2 c1 c2 ，半焦距分别为 和 ，离心率分别为 和 ，则下列结论正确的是（ B． ） a1c2  a2 c1 D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁 12．中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019 年 9 月 25 日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过 程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球 后，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在 P 点第二 次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用 2c1 和 2c2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是（ A．a1+c1=a2+c2 c1 c2  a C． 1 a2 B．a1-c1=a2-c2 ） c1 c2  a D． 1 a2 三、填空题。本大题共 4 小题。 y2 x2   1(m  4) 13．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： m m  4 ，点 A  2, 2  是椭圆内一点， B  0, 2  ， 若椭圆上存在一点 P，使得 PA  PB  8 ，当 m 取得最大值时，椭圆的离心率为______． x2 y2   1(a  b  0) 14．设椭圆 a 2 b 2 的右顶点是 A  a, 0  ，其上存在一点 P ，使 �APO  90�，则椭圆的离心率 的取值范围为______． 1 1 3e x2 y2    1 a  3 2 3 15．设椭圆 a 的右焦点为 F ，右顶点为 A ，已知 | OF | | OA | | FA | ，其中 O 为坐标原   点， e 为椭圆的离心率，则椭圆的方程为______． x2 y 2  1 3 16．已知椭圆 C ： 4 的右焦点为 F ，直线 l 经过椭圆的右焦点 F ，交椭圆 C 于 P ， Q 两点（点 P 在第二象限）．若点 Q x 关于 轴的对称点为 Q� ，且满足 PQ  FQ � l ，则直线 的方程是______． 四、解答题。本大题共 6 小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。 17．某海面上有 A，B 两个观测点，点 B 在点 A 正东方向 4 n mile 处．经多年观察研究，发现某种鱼群 （将鱼群视为点 P）洄游的路线是以 A，B 为焦点的椭圆 C．现有渔船发现该鱼群在与点 A，点 B 距离之 和为 8 n mile 处．在点 A，B，P 所在的平面内，以 A，B 所在的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系． （1）求椭圆 C 的方程； （2）某日，研究人员在 A，B 两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群（探测过程中，信号传播速度 相同且鱼群移动的路程忽略不计），A，B 两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为 5 : 3 ，试确定此时 鱼群 P 的位置（即点 P 的坐标）． 18．求满足下列条件的椭圆的标准方程． 2 （1）长轴在 x 轴上，长轴长等于 12，离心率等于 3 ； 6 （2）椭圆过点  3, 0  ，离心率为 3 ； （3）在 x 轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为 8． 19．已知椭圆 C : � 3� � 3� x2 y2 P 1, P  1, � � � � 3 4   1 a  b  0   ，四点 P1  1,1 ， P2  0,1 ， � � � � � 2 �， � 2 �中恰有三点在椭圆 a 2 b2 C 上，求 C 的方程． 20．已知椭圆 C: x2 y 2  1 9 4 的两个焦点分别是 F1 ， F2 ，点 P 在椭圆 C 上，且 PF1  F1F2 ，求 PF2 的值． x2 y2 2 3  2  1(a  b  0) (1, ) 2 21．已知椭圆 C： a b 过点 E 3 ， A1 , A2 为椭圆的左右顶点，且直线 A1 E , A2 E 的斜率 2 的乘积为  3 . （1）求椭圆 C 的方程； （2）过右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，线段 MN 的垂直平分线交直线 l 于点 P，交直线 PQ x  2 于点 Q，求 MN 的最小值. 22．已知椭圆 E: x2 y 2   1 a  b  0  a 2 b2 的右顶点为 A ，右焦点为 F ，上、下顶点分别为 B ， C ， AB  7 ， 直线 CF 交线段 AB 于点 D ，且 BD  2 DA ． （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）是否存在直线 l ，使得 l 交 E 于 M ， N 两点，且 F 恰是△ BMN 的垂心？若存在，求出 l 的方程；若 不存在，请说明理由． 参考答案 1．D x2 y 2  1 【解析】解：由方程形式可知，曲线 16 9 的长轴长是 8，短轴长是 6，焦距是 2 7 ，离心率 e c 7  a 4 ； x2 y 2 x2 y2   1(k  0)   k ( k  0) 将 16 9 化简为标准方程 为 16k 9k ，可知该椭圆的长轴长是 8 k ，短轴长是 6 k ，焦距是 2 7k ，离心率 e c 7  a 4 ，所以离心率相等． 故选：D． 2．B 4 【解析】因为直线 mx+ny=4 和圆 x2+y2=4 没有交点，所以 m 2  n 2 >2，所以 m2+n2<4， 2 x y2 m 2 n 2 m2 n 2 而 9 + 4 ≤ 4 + 4 <1，因此点(m，n)在椭圆内部，从而过点(m，n)的直线与椭圆 9 + 4 =1 必有两个交 点. 故选：B. 3．C x2 y 2  2  1 a  b  0  2 b 【解析】椭