4.4 对数函数 4.4.3 不同函数增长的差异 复习引入 思考：在前面，我们学习过的一次函数、指数函数、对 数函数，这些函数在情况下的是增函数？ y  kx  b y  ax ( k  0) ( a  1) y  log a x (a  1) 虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这 种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映 . 如果我们知道不同函数增长方式的差异，就可以根据现实 问题中的增长情况，选择合适的函数模型来刻画其变化规 律。 下面就来研究一次函数 ，指数函数 ，对数函数内增 长方式的差异 . 知识探究 问题 1 ：选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在 区间 [0,+∞) 上增长差异，你能描述一下指数函数的增长的特 x 点吗？ 以函数和 y2 为例 y  2x x 1.作出函数和 y  2的图象 y  2x 列表 x y=2x 0 0 1 1 2 3 1 0. 1.41 5 4 2 1. 5 2.82 84 5.65 2 7 8 2. .. 5 . 3 4 5 6 .. . 描点，连线得图象 ... y y=2x y  2x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 o y  2x 1 2 3 x 2. 观察两个函数图象及其增长方式 , 回答下面问 题： (1) 函数 两函数图象的交点是什么？ y=2x 与 y=2x 有 两个交点： (1,2) ， (2,4) ；(2) 两图像的关系是什 么？ 在区间 [0,1) 上， y=2x 的图 象位于 y=2x 上方； 在区间 (1,2) 上， y=2x 的图 象位于 y=2x 下方； 在区间 (1,2) 上， y=2x 的图 象位于 y=2x 下方。 �(2, 4) �(1, 2) (3) 总结两图像增长变化情况 ？ x 与 y=2x 都是增函数，但是它们的增长速度不同 y=2 。 x 函数 y=2x 的增长速度不变， y=2 的增长速度是变化 (4) 当自变量 x 值越来越大时，两个函数图象的关系会 的。 怎样？ 2. 观察两个函数图象及其增长方式 , 回答下面问题： (4) 当自变量 x 值越来越大时，两个函数图象的关系会 怎样？ 随着自变量 x 的取值越来越大， y=2x 的图象几 乎会与 x 轴垂直，函值快速增长，而 y=2x 的图象仍是 匀速向上延伸，函数增长速度不变，这与 y=2x 的增长 速度相比几乎微不足道 . 2. 观察两个函数图象及其增长方式 , 回答下面问题： (5) 考查 2x 与 2x 的大小，你认为是否存在一个 x0 ，当 x>x0 时，恒有 2x> 2x? 结论一 函数 y=2x 与 y=2x 在 [0,+∞) 上都是单调递增 ，但它们的增长速度不同，而且不在一个“档次”. 随着 x 的增大， y=2x 的增长速度越来越快， 会超过并远远大于 y=2x 的增长速度 . 尽管在 x 的一定范围内 , 2x <2 x, 但由于 y=2x 的增长最终会快于 y=2x 的增长 , 因此 , 总 会存在一个 x0, 当 x>x0 时 , 恒有 2x >2x. (6) 类比上述能否推广到一般情况 ？ 结论二 一般地,指数函数与一次函数 y  a x (a  1) y  kx ( k  0) 的增长差异都与上述情况类。 似 即使的值远远大于的值，的增长速度最 k a y  a x (a  1) 终都会大大超过的增长速度。 y  kx ( k  0) y  a x (a  1)的这种增长方式通常称为指数爆炸增长。 问题 2 ：选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在 区间 [0,+∞) 上增长差异，你能描述一下指数函数的增长的特 点吗？ 1 以函数和 y  lg 为例 x y x 10 1 1.作出函数和 y  lg 的图象 x y x 10 列表 y / 1 1.304 1.477 1.60 2.699 1 1.77 8 .. . 0 1 2 6 5 3 5 6 1 描点，连线得图象 1 x 10 4 3 4 .. . y y  lg x 2 o 10 20 30 40 50 60 x 2. 观察两个函数图象及其增长方式 , 回答下面问 题： 1 (1) 根据图象分析两函数增长快慢？ 函数与在上都 y  lg x y  x (0, �) 10 单调递增但增长速度存在着明显的差异. , 1 y的增长保持不变.  x 10 1 随着的增长，函数的图象 x y x 10 离轴越来越远 x . y  lg x 的增长速度在不断变化。 随着的增长，的图象越来越平缓，就像与轴平行一样. x y  lg x x (2) 你能根据解析式进行分析吗？ 对于有 lg x lg10=1,lg100=2,lg1000=3 ， lg10000=4, ... 1 1 1 �10 = 1，，，. �100.=. 10 �1000 = 100 10 10 10 1  函数的增长比慢得多 y  lg x y x 10 1 对于有 x 10 y  1000 lg x (2)如果将放大倍，再对函数与 lg x 1000 y 的增长情况进行比较，那么还有上述的规律吗？ 1 x 10 y  1000 lg x y 1 (3)考查和的大小，你认为是否存在一个当 lg x x 10 1 时，恒有lg x  x? 10 1 在一定范围内，大于但随着 lg x x, 10 的增长的增长速度将慢于 , y  lg x x 1 x, 10 且越来越慢。因此总存在一个当 x0 , x  x 0 1 时恒有 , lg x  x。 10 y 1 x 10 x0 , x  x0 (3) 类比上述能否推广到一般情况 ？ 结论三 一般地，对数函数与一次函数 y  log a x(a  1) y  kx( k  0) 在区间，上单调递增，但是它们增 (0  �) 长速度不同。 随着的增大，一次函数保持固定的增长速度 x y  kx ( k  0) , 对数函数y  log a (a  1) 的增长速度越来越慢。 不论的值比的值大多少，在一定范围内，可能大于 a k log a x kx , 但由于的增长速度慢于的增长，因此总存在 y  log a x y  kx 一个,当时， x0 x  x 0 恒有 log a x  kx . y  log a x( a  1) 的这种增长方式通 常称为对数增长(蜗牛式增长)。 y  kx ( k  0) 的这种增长方式通 常称为线性增长(直线上升。 ) 问题 3 ： (1) 画出一次函数 y=2x ，对数函数 y=lgx 和 指数函数 y=2x 的图象，并比较它们的增长差异？ y y  2x y  2x �(2, 4) �(1, 2) �(1, 0) y  lg x y  lg x o x 函数 y=2x ， y=lgx 与 y=2x 在 (0,+∞) 上都是单调递增， 但它们的增长速度存在明显差异 . y=2x 在 (0,+∞) 上增长速度不变，函数 y=lgx 与 y=2x 在 (0,+∞) 上的增长速度在变化 . 函数 y=2x 的增长速度越来越快，图象越来越陡，就像与 x 轴垂直一样；函数 y=lgx 的增长速度越来越慢，图象越来越 平缓，就像与 x 轴平行一样 . (2) 概括一次函数 y=kx(k>0) , 对数函数 y=logax(a>1) 和指 x 数函数 y=bx(b>1) 的增长差异 . y yb y  kx 一般地，一次函数 y=kx(k>0) , 对数函数 y=logax(a>1) 和指数函数 y=bx(b>1) 在 (0,+∞) 上都是单调递增 ，但它们的增长速度不同 . y  log a x 随着 x 的增大，一次函数 y=kx(k>0) 保持固定的增长速度， x 而指数函数 y=bx(b>1) 的增长速度越 o 来越快；对数函数 y=logax(a>1 的增 不论 b 值比 k. 值小多少，在一定范围内， bx 可能会小于 长速度越来越慢 kx ，但由于 y=bx 的增长会快于 y=kx 的增长，因此总存在一 个 x0 ，当 x>x0 时，恒有 bx>kx. ； 不论 a 值比 k 值大多少，在一定范围内， logax 可能会大 于 kx ，但由于 y=logax 的增长会慢于 y=kx 的增长，因此总存 在一个 x0 ，当 x>x0 时，恒有 kx>logax. (3) 讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸” 的含义． (1) 直线上升 : y=kx(k>0) 的增长方式 增长速度不变，是一个固定的值； (2) 对数增长： y=logax(a>1) 的增长方式 增长速度越来越慢，图象越来越平缓，就像与 x 轴平行一样； (3) 指数爆炸： y=ax(a>1) 的增长方式 增长速度越来越快，以相同倍数增加，图象越 来越陡，最终就像与 x 轴垂直一样 . 例析 例 1.(1) 随着 x 的不断增加，下列函数中增长速度最快的是 A ( 　　 ) A.y=2 021x ； B.y=x2 021; C.y=log2 021x; D.y=2 021 x (2) 当我们在做化学实验时，常常需要将溶液注入容器中， 当溶液注入容器 ( 设单位时间内流入的溶液量相同 ) 时，溶 液的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹 配的图象， _______ ； C 对应 (1) ； B 对应 (3) (2) (4) A 对应 _______ _______ ； D 对应 _______.  例 2. 已知函数 f(x)=2x 和 g(x)=x3 的图象如图 , 设两个函数的 图象相交于点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2), 且 x1<x2. (1) 请指出图中曲线 C1,C2 分别对应哪一个函数 ; (2) 若 x1∈[a,a+1], x2∈[b,b+1], 且 a, b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, 指出 a, b 的值 , 并说明理由 . 解： (1) 由指数函数与幂函数的增长速度 知 C1 对应函数 g(x)=x3, (2) x 1), 1)=g(x C 由图象得 对应函数 f(x f(x)=2 . 2 f(x2)=g(x2) 当 x<x1 时 , 2x>x3, 即 f(x)>g(x); 当 x1<x<x2 时 , f(x)<g(x); 当